1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Построим гармоническую функцию 6(М) = — „' [Р(Л4) — Р,(Л4)!. (158) Ее предельные значения внутри а~ будут нуль и внутри 8,— единица. Кроме того, в силу сказанного выше относительно Р(Л(), при приближении М к М~ или Уз предельные значения 0(Л() должны обязательно принадлежать промежутку !О, !). В силу принципа максимума и минимума и все внутренние значения функции (!58) будут находиться внутри этого промежутка, т. е.
0 (0(М) ( 1, если Л! внутри Вь Положим, что 0~ и 9, суть углы, образованные касательными к линии !)з в точках У~ и Мз с касательными к контуру области В~ в этих же точках. При приближении вдоль йз к точке М~ функция Р(М) имеет, в силу (157), предел [Р4(М~) — 9~], а функция Р~(Л() с непрерывными предельиыми значениями 7~(М) будет иметь предел (~(М~) = Р (У~) и, в силу (156), функция (!58) будет иметь пред"л 1: — '. Точно так же в точке Мз функция (!58) будеТ вч иметь предел 1 — —.
Оба эти предела меньше единицы, а виу. 349 ПВ) метОД швАРПА !пРОдолжение) три области мы имеем О ( 6(М) (1. Отсюда непосредственно следует, что существует такое положительное число )! ( 1, что 6(М) ( о на От. После этих вспомогательных построений вернемся к функции в(М), упомянутой в лемме.
Заменяя эту функцию на в(М):А, можем считать, что число А, фигурирующее в лемме, равно единице, т. е. гармоническая функция в(М), непрерывная в замкнутой области В), имеет на а! предельные значения, равные нулю, и (в(У) ~ = 1 на Р!. В точках й)! и !))х предельные значения в(М) равны, очевидно, нулю. Составим гармоническу!о функцию Н(М) = 6(М) — в(М).
Ее предельные значения внутри дуги а, равны нулю и внутри дуги й! неотрицательпы, ибо внутри й! имеем 6()))) = 1 и )в(У) ~ ( 1. Прн приближении М к >)>! и № предельные значения Н(М) должны принадлежать промежутку (О, 1). Отсюда непосредственно следует, что Н(М) > О в замкнутон области В„т. е. в(М) ( 6(М) и, следовательно, на (зз мы имеем в(М) ( 6(М) ( д. Совершенно так же 6(М)+ в(М) > О в Вь и отсюда следует, что — в(М)( ( 6(М) ( т) на рт.
Г!олучеипые два неравенства дают (в(М)1( 11, что и доказывает лемму. Это доказательство можег быть повторено и в трехмерном случае'). 11б. Метод Шварца (продолжение). Мы 'рзссмотрели примснение метода Шварца в простейшем случае взаимного располо>кения областей В, и Вь Контуры этих областей могут пересекаться более чем в двух точках (рис.
11), могут иметь общие Ркс. 12. Ркс. 13. Рис. 11. части (рнс. !2). Может случиться, что В! и Вз односвязны, а их сумма многосвязна (рис. 13). На рис. 11 контур области В = = В, + Вт есть линия СВЕГ6Н1КС. На рис. 12 ломаная СЮЕ есть общая часть контуров, и на рис. 13 заштрихованные области явля)отся общей частью областей В! и Вь Во всех случаях построение последовательных приближений в методе Шварца будет буквально таким жа, что и выше.
Несколько видоизменяя метод вычисления, мы, умея решать задачу Дирихле для В, и В,, ') См Курант Р., Г иль берт Д. Методы мзтемзтической физики, т, П.— Мз Гостехиздзт,!951. вво 1пв гл. и. пгвдельныв зхдлчи сможем получить рещение не для суммы этих областей, а для области, которая является общей частью областей В1 и Вь В случае рис. 8 это будет область, ограниченная контуром ()~ + бь На этом контуре нам заданы предельные значения м(У).
Мы будем искать по этим предельным значениям гармоническую функцию в виде суммы во(М) = и(М)+ о(М), (159) где и(М) — гармоническая в В, и о(М) — гармоническая в В,. Такое разбиение искомой функции на два слагаемых, очевидно, не однозначно, что несущественно при дальнейшем построении. Продолжим каким-нибудь образом заданные на 111 значения функции вв(У) на дугу а, так, чтобы получалась непрерывная функция, и это продолжение обозначим через вр~(М). Построим последовательные приближения для и(М) и о(М), как решения задач Дирихле при следующих предельных условиях: ) <р1(М) на аь ) 0 на ав, )~ м(М) на рь ' ~ м(М) — и1(М) на При этом заметим, что разность в(М) — и1(М) равна нулю в точках У, и Мь Для вычисления следующих приближений полагаем ~ чч (М) на аьь 1~а(У) — ол(У) на бь "+' ~в(М) — и„+1(У) на Рь Процесс будет сходящимся, и сумма (159) будет давать решение задачи. Подробное изложение указанного метода можно найти в книге; Канторович Л.
В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего айализа. — М.: Физматгиз, 1982, где этот метод применяется не только для уравнения Лапласа, но и для других уравнений эллиптического типа. Этот метод применим н для трехмерного случая. Укажем еше на одну возможность применения метода Шварца.
Нам придется сейчас иметь дело с решением внешней задачи Дирихле и, в связи с этим, мы будем рассматривать не плоский случай, а случай трехмерного пространства. Пусть в пространстве имеется и замкнутых поверхностей 5в (й = 1, 2, ..., п), причем тела, ограниченные ими, не имеют общих точек.
Обозначим через Р часть пространства, находящуюся вне всех поверхностей 5м и через Рв — часть пространства, находящуюся вне 5ь Положим, что мы умеем решить задачу Дирихле для всех Рв при любых непрерывных значениях на 5м и покажем, О1б! метод швАРцА !продолжение! каким образом можно при этом решить задачу Дирнхле для О. Все области Рд и область Р содержат внутри себя бесконечно далекую точку и, как обычно, при решении задачи Дирихла считается, что гармоническая функция равна нулю на бесконечности.
Итак, требуется найти функцию, гармоническую, внутри 0 и принимающую на поверхностях 5» заданные непрерывные зна. чения: и!э — — )д(Л») (й=1, 2, ..., и)„ (160) На первом шаге находим при каждом й функции ио,д(М) (й = 1, 2, ..., п) — гармонические внутри Р» и принимающие значения 1»(У) на 5». Далее находим функции иьд(М) (й= =1, 2, ..., и), гармонические внутри Рм с предельными значениями: и, д(М)= — ~~', ио, с(йС) на 5д (со=!, 2, ..., п) (!61) сФ« причем суммирование производится по всем с от с 1 до 1= п, кроме с =й. Вообще при всяком целом положительном пс находим функции и, д(М) (/г = 1, 2, », и), гармонические внутри 0» с предельными значениями и, «(1»с) ~з — — — 2 и 1, с(йг) на 5д (1=1, 2, ..., п). (162) смд Функции ~'„им, д(М) (1=1, 2, ..., п), р» о гармонические внутри 0» с предельными значениями р р-1 ~ и„,д(йС)=сд(йс) — ,'сс'" ~.', и„,с(У) на 5« (й=1, 2, ..., п).
р! ос~« Вычитая из обеих частей сумму р-! ~ и , д (с»с), можем переписать предыдущее равенство в виде р — 1 » и, с (!У) = сд (й!) — ир д (с»с) на 5» (й = 1, 2, ..., и). (163) -О -1 Если мы докажем, что при беспредельном возрастании р все функции и, д(М) (й = 1, 2, ..., л) стремятся равномерно в замкнутой области 0 к нулю, то из (163) будет следовать, что ГЛ. П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ !Пе гармоническая внутри Р и непрерывная вплоть до границы функция Р-!» ~„и . »(М) при беспредельном возрастании р и дает решение задачи Ди. рнхле для области Р с предельными значениями !»(й!) на 5». О й и(М)= ~.", Хи .
»(М) (164) Переходим к выяснению условий, при которых функции и»,»(М) стремятся к нулю равномерно в замкнутой области Р. Обозначим через о»(М) (й = 1, 2, ..., л) функцию, гармоническую внутри Р» и равную 1 на 5». При этом п»(й1)) 0 внутри Р„и, в силу того, что о»(М)- 0 при беспредельном удалении точки М, существует такая постоянная д», удовлетворяющая условию 0<в»<1, что в»(М)(д» на 5, при 1чья (й=1, 2, ..., л). (!66) Если ш»(М) (я = 1, 2, ..., л) — какие-нибудь функции, гармо.
ническне внутри Рм непрерывные вплоть до 5» и удовлетворяющие условию ! ге»(М)1~(а» на 5» (й=1, 2, ..., л), (166) где а, — постоянные, то а»п»(М) — ш»(М) будут гармоническими внутри Р» н неотрицательными на 5м откуда следует, что а»о»(М) — ш»(М) ) 0 в замкнутой области Р», т. е. »а»(М) ~ < а»о»(М) в Р». Йе меняя условия (166), мы можем переменить знак у гармонической функции ш»(М), и, таким образом, можем считать, что ш»(М) ) 0 в рассматриваемой точке М.
Таким образом, из предыдущих рассуждений следует, что 1ш»(М) !<а„п»(М), (167) откуда, в силу (166), !гв»(У)1<а»г7» на 5~ при !ай (й=1, 2...,, л). (168) Это неравенство является, таким образом, следствием (!66). Пусть а — такое положительное число, что )1»(!У) ( < а при й = 1, 2, ..., л, н д — наибольшее из чисел дь д», ..., д., причем, очевидно, О < д < 1. В силу (160) мы имеем ) ио, »(й() ! < а на 5». В силу (!61) н (168) мы имеем далее )иь»(У) 1< и-(л — 1)ад на 5» (й = 1, 2, ..., и). Применяя далее (162) при лг = 2 и пользуясь опять (!68), получим !иь»(й!) ! < <(л — 1)'ад» на 5» и, вообще, !и,, »(Р7) ) <(л — 1)»ац» на 5м н, следовательно, !иР,»(М)!(~[(л — 1)ф" а (М в Р») (й=1, р, ..., л), (160) СУБ И СУПЕРГАРМОНИЧЕСКНС ФУНКЦИИ ззз Если число поверхностей и = 2, то отсюда следует, что и», »(М)-+-О при р-» Фо равномерно в 17» и тем более равномерна в замкнутой области Д.
Если и ) 2, то мы получаем следующео достаточное условие того, что и,, »(М)-+-О: (и — 1) д ( 1. (170) Число д, по самому его построению, не зависит от предельных условий !»(1у) н определяется только областью О. Мы могли бы совершенно так же рассмотреть и тот случай, когда область 0 есть конечная область, имеющая внешнюю границу 5~ и вну. тренние границы 5,, 5», ..., 5.. При этом для области 0Н ограниченной поверхностью 5Н мы имели бы внутреннюю задачу Дирихле, а для областей О, (й = 2, ..., п), как и выше, внешнюю задачу. Указанное выше построение принадлежит Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
