1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Функции, имеющие непрерывные производные до вто ро порядка и удовлетворяющие это"1у уравнению, называются га, !" щческнми Основное сингулярное решение имеет вид г — (и > 2), гл ' причем постоянную С выбирают равной ( где м„— (и — 2) лгл ' площадь поверхности сферы единичного радиуса в и-мерном пространстве, так что основное сингулярное решение имеет вид !рг(г) = „ (л ) 2).
Объем о, и-мерного шара радиуса г выражается формулой [11; 1О1] (2г!) л л= л(л 2) 2 ле! л-! 2 г л в гл л (, при четном л, прн нечетном л, что, как легко проверить, может быть записано единообразно в форме 2((гл ) лГ( — ) откуда, дифференцируя по г и полагая г = 1, получим 2(((л ) г[ — ) Для гармонической в области 0 с поверхностью 5 функции имеет место формула [Н) 204[ н (М) ~ ('('л (г) лл и лл ) ~(~ причем везде мы будем писать лишь один знак интеграла.' Величина г есть расстояние переменной точки интегрирования по- м21 ФУНКЦИЯ ГРПИА ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА верхности 5 до М Справедливы основные свойства гармониче- ских функций, среди них теорема о среднем для значения гар- монической функции в центре сферы, а также единственность решения задачи Дирихле Формула, решающая задачу Дирихле для сферы с радиусом !(, имеет вид и(М) = — ~ ((й() Р „, (188) (й~+ Р' — зйр сов 0) где р — расстояние от центра О сферы до М, У вЂ” переменная точка на сфере и 0 — угол между Ой( и ОМ.
На и-мерное пространство без изменения переносится метод верхних и нижних функций для решения задачи Дирихле, при- чем имеет место доказанное раньше условие регулярности точек поверхности 122. Функция Грина оператора Лапласа. Мы можем опреде- лить функцию Грина и для уравнения с частными производными аналогично тому, как зто мы делали для обыкновенного диффе- ренциального уравнения. Начнем с определения функции Грина для уравнения Лапласа при одном из следующих однородных предельных условий: и!а=О, (189 вв -1- р(Л/) и~ = 0 (р(Л/) > О), (190) причем мы рассматриваем трехмерный случай Мы можем строить функцию Грина как для конечной области О„находя- щейся внутри 5, так и для бесконечной области О, вне 5 Нач- нем с конечной области О, Функция Грина 6(Р, О) должна быть функцией пары точек (Р, О), причем, как функция Р, она должна внутри О, иметь везде, кроме точки О, непрерывные производные до второго порядка и удовлетворять уравне~ пю Лапласа, а на границе — предельному условию.
Далее, 6(Р, О) как функция Р, должна иметь особенность в точке О, соотвс г- ствующую конечному заряду (или массе), сосредоточенном! в точке О Принимая во внимание множитель 4п, входящий "фор- мулу [!1, 201) ь[[[! — ~ ]= — 4 р~мА м, О, ( =3м М3), ~~9 ~) Г п(А(! о, мы определим функцию Грина для условий (189) или (190) сле. дующим образом: О яр е дел е н ц е Функцией Грина оператора Лапласа, со- ответствующей предельным условиям (189) или (! 90), на:. у- вается функция 6(Р, Я), удовлетворяющая, как функция Р, Н22 ГЛ П ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Зба при произвольно фиксированной точке Я ее 0, следующим условиям: 1) внутри 0„крол)е точки 0, зта функция еармоническая; 2) она удовлетворяет предельному условию (189) или (190)! 8) она может быть представлена в виде 4л(Р', Я) = 0 (хр у, ац й, 11, ~) = 4, + у(Р; 42), (192) где г = !РЦ и у(Р; Я) — гарл)оническая функция везде внутри 0ь Построение функции ! рина сводится к нахождению ее ре.
гулярной части у(Р; Я). В случае предельного условия (189) гармоническая внутри 01 функция д(Р; Я) должна иа 5 иметь предельные значения у(Л'; Я)= — 4„', Ф~=-Я, (р =)УЯ!). (193) В случае (190) предельные условия для у(Р; Я) имеют вид ! ! д— ( р „' ) .рр)ж)р)р; ч) = — — ! — ' -р~). р рррр) Таким образом, построение функции Грина сводится к решению первой или третьей предельной задачи для уравнения Лапласа, н мы можем считать установленным существование функции Грина, если Я вЂ” поверхность Ляпунова. Для внешней области О, к определению функции Грина до. бавляется условие ее регулярности на бесконечности, т. е. 6(Р; 1,р) при любом фиксированном Я на конечном расстоянии должна стремиться к нулю, если точка Р стремится к бесконеч. ности.
Пусть 01 — любая ограниченная область и о — множество ее граничных точек. В О, существует обобщенное решение задачи Дирихле с предельным условием (193). При этом формула (192) определяет обобщенную функцню Грина для области 01 при предельном условии (189). Если № — регулярная точка границы, то 0(Р; 1,))-р.О при Р- № Можно доказать и обратное утверждение: если 6(Р; Я)-р-0 при Р— 1)ь, то № — регулярная точка границы.
В случае плоскости определение функции Грина совершенно аналогично, но только вместо (!92) будет иметь место формула а(Р;®=,~„18 ! +у(Р; е (195) Из формул (!92) и (195) следует, что функция Грина абра. щается в бесконечность при совпадении Р и Я, причем при Р до- ФУНКЦИЯ ГРИНА ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА ! 22! 369 статочно близких к Я функция Грина положительна. Точка Я называется полюсом функции Грина. Дальше мы будем рассма. трнвать функцию Грина лишь при предельном условии (189).
Покажем, что б(Р; СС) есть непрерывная функция точек Р и 1,1 внутри О„если эти точки не совпадают. Принимая во внимание (!92), можем утверждать, что доказательство непрерывности б(Р; Я) может быть сведено к доказательству непрерывности у(Р; !е). Оценим разность у(Р', 2,!') — 9(Р"; 1„!"); добавляя и отнимая у(Р'! ге"), получим ! у(Р; (с') — у(Р™; Я") ! <! 9(Р'! !Е') — р(Р'1 1;1ч) !+ ! а (Р'! !Ч") — а (Р™; !Е") !. Разность д(Р', гг") — ь(Р"; Я") есть разность значений у(Р; !ч'") в точках Р' и Р", и она очевидно стремится к нулю при Р"- Р', Разность д(Р', !е') — д(Р'; !е") представляет собо1о значение в точке Р' гармонической функции д(Р; ! !') — д(Р; 1,1") с предель.
1 Г1. 1Х ными значениЯми — ~ —,' — — „т! на 5, где г' и г" РасстоЯииЯ 4п (,г' г" ) переменной точки Лг на 5 от то11ек (;!' и !Е". Если !ч" достаточно близко к Я', то абсолютное зпаченив Г1 1 Разности 1ч —, — — „) сколь Угодно мало пРи изменении !У на 5. г гНо гармоническая функция у(Р; 1,г) — д(Р; Я")принимает наи- меньшее и наибольшее значения на границе 5, и мы можсм утверждать, что д(Р', !!') — д(Р'! !',!")-ь-О при 1;1"-~Я'. Этим и доказывается непрерывность функции у(Р; Я), а тем самым и О(Р; Р). Функции О(Р; !ч) — положительна в окрестности точки (с и равна нулю на 5, и, слсдовагельно, она положительна внутри области О,.
То же рассуждение в трехмерном случае годится и для О,. Выведем еще одно простое неравенство для О(Р; !ч). Функция у(Р; 1;1) имеет на 5 отрицательные предельные значе- ния (!93). Тем самым, у (Р, !1) ( О в замкнутой области О„и, следовательно, О < О(Р; Я) < — внутри О, (г=! РЯ !). (!96) Такая же оценка справедлива и для О,. Проведем теперь рассуждения для случая плоскости. Пусть с( — диаметр конечной области В на плоскости, т.
е. наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими замк- ! 1 путай области В. Гармоническая функция у(Р; ®+ 2„1к ~ 1 г принимает на границе 1 значения — 1п — — отрицательные при 2п в любом положении полюса 1,! внутри В. Таким образом, мы имеем гл и пзсдель!!ыв задачи 370 т. е. имеет место неравенство вида 0 < 6(Р; 1;!) < а1я — + Ь (внутри В), (197) где а и Ь вЂ” постоянные. Неравенства (196) и (197) дают нам оценки функции Грина, зависящие от расстояния г между точками Р и Я. 123.
Свойства функции Грина. Рассмотрим функцию Грина в О„обозначая, как и выше, через г расстояние от переменной точки пространства до точки Цен О,. Определим функцию й(Р; Э, Рг— : Оо о(Р) = — — РенО. 4пг ' е (198) Она — гармоническая, как внутри О„так и внутри О„и равна нулю на бесконечности. В О, она имеет производные любого по- рядна, непрерывные вплоть до 5. Мы можем рассматривать и(Р) в О, как решение задачи Неймана с предельными значениямв: д ( )' ! д ! (199) и можем представить, таким образом, о(Р) в О, как потенциал простого слоя с непрерывной плотностью: о (Р) =- ) ) !, д5 (200) (г' =1 МР (). Значения этого потенциала на 5 равны ( — — ), где г = (М!с1.
! т. е. такие же, что и у д(М; Я). Отсюда видно, что формула (200) для функции и(Р), определенной равенством (!98), справедлива во всем пространстве, т. е. ~~ и(~т),(В (20 1) (Р в О,), н, следовательно, й(Р; Я) имеет в О, правильные нормальные производные на Я. То же можно, очевидно, утверждать н относительно 6(Р; Я). а(Р; Я)+ — „1п — < О, т.
е. 8(Р; Я)< — — „!я — внутри В. Это ! ! ! 1 дает нам 6(Р; Я) < — !и — — — !д— ! ! 1 ! 2п г 2я своиствл оинк1зии и и!(д зу! 1 Отметим, в связи с предельным условием (!99), что функция —, при г любом положении точки Я внутри (Зь иглеет производные всех порядков не только на 5, но и в пространстве вблизи 5 На 5 прапая часть (!99) удо- влетворяет, очевидно, условию Липшица.
)((ут) — ((Ч,) ((аг, х (г, з —— ) у,уз) ), и мы можем утверждать, что и М(хг) удовлетворяет условяю Липюш!а (98), и, следовательно, 0(Р, Я) имеет непрерывные вплоть до 5 производные пер- вого порядка (100) Докажем теперь симметрию функции Грина: 6(Р; (;)) = 6((;); Р). (202) При этом заметим, что в силу доказанного выше, 6(Р; (,)) имеет правильные нормальные производные на 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
