1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 71
Текст из файла (страница 71)
В. Келдыша (УМН, 1941, 8). 120. Исследование граничных значений. Пока мы не делали никаких предположений о границе области В. Наложим теперь некоторое условие, в формулировке которого будет фигурировать некоторая фиксированная точка й1в границы области В. Множество граничных точек области В будем обозначать бук. вой 1. Условие 1. Существует непрерывная в В и супергармони— ческая внутри В функция и(М) такал, что ы(ФЕ) = 0 и в(М) ) ) 0 в остальных точках В, Докажем теперь следующую теорему: Теорем а. Если выполнено указанное условие и граничная функция ы()ч) непрерывна в точке гчы то и(М) стремится к ы(УЕ) при стремлении М к точке Мв изнутри области.
Обозначим через рч множество тех точек области В, расстоя* ние которых до Ма не превышает т1 ) О. Пусть а — заданное положительное число. В силу непрерывности ы(Ж) в точке ог существует такое положительное число ть что для всех точек границы В, принадлежащих рч, выполняется неравенство ы()УЗ) — а~(ы(Ж)~(ы()ч',)+е (М на 1 и в (1ч).
(180) Построим непрерывную в В и субгармоническую вяутрн В функцию ф ~ (М) = ы ()ч"ч) — е — Си (М), (181) где С вЂ” некоторая положительная постоянная, которую мы сей. час выберем. В силу (180) н ш(М) ) О, мы имеем ф~ (й1) ( в(1у) в точках 1, принадлежащих бч. Выберем С настолько большим, чтобы вне бч мы имели то же самое неравенство в точках 1, т. е. в(М,) — е — Сш()ч')(в(Л/) (й1 на 1 и вне Оч). (182) Во всех точках В, расстояние которых до )чл ие меньше т1, функ. ция ш(М) достигает наименьшего положительного значения, ко.
торое мы обозначим через тч. Это непосредственно следует из того, что указанные точки образуют замкнутое множество, и функция ш(М) непрерывна и положительна на этом множестве 11111 92). Для выполнения неравенства (182) достаточно взять С)шак( '1; 0), ГЛ П ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ иго где а — число, фигуриру>ощее в неравенстве (177). При таком выборе С функция (181) будет нижней функцией. Точно так же при достаточно большом С функция о)>>(М).= (Л(о)+в+С (ЛЦ (188) будет верхней функцией. Из ю(Л>о) = О следует: ч>1 (Л о) = о> (Л>о) е и, в силу непрерывности ц>>(Л!) в В, найдется такое малое поло- жительное бн что в !зо: Ч>,(Л4))ы(йго) — 2е (М в ро,).
Пусть >)>(Л!) — любая верхняя функция. Мы имеем для всех то. чек Л1, принадлежащих В: ф (М) ~ щ(М), и, следовательно, из последнего неравенства следует: >(>(!4) ~) со(Л'о) — 2е (М в р ). Точная нижняя граница >)>(М) также должна удовлетворять этому неравенству, т. е. и(Л1))ы(Л> ) — 2е (М внутри В и в р ). (184) Точно так же из (!83) следует: ф1 (Л'о) = о> (ЛсоЛ+ е, и, следовательно, в силу непрерывности ф(М), существует та- кое малое положительное бл что в !> мы имеем ы >(>, (Л4) ( (о> (Уо) + 2е (М в !о ), и тем более и(М)«=ы(!Уо)+2е (М внутри В н в () ). (185) Пусть б — наименьшее из чисел б> и бь В силу (184) и (185), мы имеем со(Л!о) — 2е(и(М)(ы(Л!о)+2е (Л1 внутри В н в !>о).
(186) Ввиду произвола в выборе е, отсюда следует, что и(М) стремится к ы(Л>о) при М- Л!о изнутри области, и теорема доказана. Доказательство годится как в двумерном, так и в трехмерном случае. Если ы(Л>) — непрерывна в каждой точке границы и в каждой точке выполняется условие 1, то функция и(М) непрерывна в замкнутой области В и принимает в граничных точках значения ы(Л!).
О п р е д ел е н и е. Если лри любом выборе непрерывной на ! функции о>(Л>) функция и(М) стремится к о>(!чо) при М вЂ” «Л>о, то точка Л>о назо>вается регулярной точкой границы. Точки гра- ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИИ заз 122! аюи!ие этим чками гранш ной выше тсо човнс рсгулярн срь для трехи рического хар то точка с"с'о г ет сфера, кото . Пусть М!— ез г расстоя! ю 1 ! ис(М) = — —— 14 г" (г) = — —. ! 1ях Когда г двигается в В, то оно не может обойти вокруг начала, и г(г) есть однозначная в В функция, регулярная внутри В и непрерывная в В, причем г" (О) = О. Полагая г = ре'т, получим для вещественной части Г(г) вы- ражение 1я Р ~(г) (1я )с 1, 2 причем )ц р ( О.
Эта гармоническая функция удовлетворяет всем указанным выше условиям. В частности, вие р, мы имеем ш(г) )— 1я й !1к 41 + сто где срс — наибольшее значение ср в В и Р— наибольшее расстояние от начала до точек В. Положим теперь, что № лежит на внутреннем контуре 12. Выбираем внутри 12 какую-либо точку а и совершаем конформное нис(ы, не облад свойство.и, называются и р р е г улярными го 1ы. Из доказан рсмы следуст, что условие 1 есть достаточное ус. ости точки №.
Укажем теп ерноео случая простое достаточное условие геомст актера регулярности точки границы. Положим, ч раннцы обладает следующим свойством: существу рая не содержит никаких точек В, кроме точки Фс центр этой сферы и Я вЂ” ее радиус. Обозначая чер сие )МсМ ), построим функцн Ас Эта функция удовлетворяет, очевидно, всем требованиям условия 1, причсм внутри В Рис.
14. она — гармоническая. Рассмотрпс! теперь плоский случай, и пусть гранина В состоит из конечного числа простых здмкнутых кривых, имеющих уравнения: х = х(!), у = у(1), где х(1) и у(!) — непрерывные периодические функции параметра ! (рис. 14). Положим сначала, что точка № находится на внешнем контуре 1! (рис. 14). Поместим в нее начюто координат г = О и выберем масштаб так, чтобы область В помещалась внутри круга 1г~ ( 1. Составим функцию >но 364 Гл.
н, пгедслы!ые зхдочи преобразование плоскости: Контур 1. переходит во внешний контур, и мы для рассматриваемой точки № можем построить функцию ю(М) указанным выше способом. Переходя к прежней переменной г, получаем требуемую функцию. Таким образом, если о>(1У) — непрерывна во всех точках рассмотренного контура 1, то и(М) будет непрерывна вплоть до контура и на контуре равна о>(1о). Положим теперь, что № есть точка разрыва о>(Ж), причем о>(1>1) при стремлении )У к >Уо вдоль контура с обеих сторон имеет пределы, но эти пределы различны (разрыв первого рода). Обозначим пх через о»(№) и о>о(1Уо), и пусть о>>(Л>о)( ( о>о(Фо).
Рассуждая совершенно так же, как и выше, получим вместо [184) и (М) ~ )о> > (г1о) — 2а и (М) ( о>, (Фо) + 2а, и вместо (!85) При стремлении М к № изнутри области В функция и(М) может иметь различные пределы. Но для любого из этих пределов ио мы имеем, в силу предыдущих неравенств и произвольности а о» (Уо) ( ио ~ ~о>> (>то). (187) Если о>(Ф) — ограниченная функция, т. е. удовлетворяет усло. виям (177), то и функция и(М), как мы виделн, удовлетворяет этому услови>о.
Таким образом, и(М) есть ограниченная гармо. ническая функция, принимающая предельные значения ы(1>1) во всех точках непрерывности этой функции. Вернемся к трехмерному случаю. Можно построить сравни. тельно простую замкнутую поверхность, имею>дую иррегуляр. ные точки. Это обстоятельство было открыто Лебегом и затем, независимо от него, П. С. Урысоном. Более подробное выяснение вопроса о предельных значениях можно найти в статье М. В. Келдыша (УМ!4, 1941, 8).
Приведем еще пример в случае плоскости. Пусть  — круг с центром в начале координат и с исключенным центром, Мно. жество 1 граничных точек состоит нз окружности круга и его центра. Пусть м(1>>) = 0 на окружности н о>(1>1)= 1 в центре.
Такая функция о>(11) непрерывна на 1. Тармоническая функция и(М) стремится, очевидно, к нулю при приближении М к точ. кам окружности. Покажем, что и(М) не может стремиться к единице при приближении к центру. Если бы это было так, то мп УРАВНЕННЕ ЛЛПЛЛСА В ь МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 365 и(М) была бы гармонической внутри все~о круга, если принять ее значение в центре равным единице [105). Но это противоречит теореме о среднем значении гармонической функции в центре круга. Таким образом, начало координат — иррегулярная точка границы.
Нетрудно показать, что в рассматриваемом случае и(М) = О. Действительно, и(М) ограничена, а потому имеет предел при стремлении М к центру [105[, и если принять этот предел равным значению и(М) в центре, то и(М) — гармоническая везде внутри круга [105] и равна нулю на окружности, т. е. и(М) = =О. Отметим еще, что 'вместо условия ! можно поставить условие регулярности, которое касается только окрестности точки йггн причем можно показать, что это новое условие равносильно условию !. Уел О в и е ! !. Для некоторой окрестности [!и точки Мь существует функция юч(М), непрерывная в (!и вплоть до границы, супергармоническая внутри !)ч и такая, что юч(УР) = О и юч(М) ) О В остальных точках Цч.
Можно показать, что в трехмерном случае точка Мь удовле. творяет условию !1, если эта точка является вершиной кругового конуса, все точки которого, достаточно близкие к №, лежат вне В (кроме точки №). Таким образом, такие точки регулярны. (См. П етр о в с к и й И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — Мл Физматгиз, 1961.) В дальнейшем мы будем всегда считать, если не будет соот ветствующих оговорок, что контуры или поверхности, ограничи вающие области, о которых будет идти речь, таковы, что все их точки суть регулярные точки.
Таковыми будут, например, по. верхности Ляпунова. Для них мы построили решение задачи Дирихле при помогци теории потенциала и интегральных уравнений. Если на границе задана непрерывная функция м(~Ч), и все точки границы регулярны, то построенная гармоническая функция и(М) непрерывна вплоть до границы и на границе прини. мает значения ы(й!).
Мы знаем, что может существовать только одна такая функция. Если на границе имеются нерегулярные точки, то гармоническая функция и(М) ограничена внутри области и принимает во всех регулярных точках границы значения хе(Р!). Кожно показать, что может существовать только одна функция с такими свойствами. Доказательство этого утверждения и ряда других интересных фактов, в том числе критерия регулярности Винера, можно найти в упомянутой выше статье М. В. Келдыша. !21. Уравнение .Лапласа в и-мерном пространстве.
До сих пор мы рассматривали уравнение Лапласа на плоскости и в трехмерном пространстве. нг! гл !! пггдглынге злллчн Результаты легко распростраьяюгся и на случай и-мерного пр странства, где ураг! еш е имеет внд л Ьи=- ~~' и, „= О. '~"! П; =лдем основные результаты, каса)ошиеся решений этого ур .! ения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
