1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Вне К функция 1» совпадает с 1, и условие (172>) очевидно выполнено во всякой точке впе К при достаточно малом 6. Внутри К функция !» — гармоническая, и (172>) выполнено со знаком равенства. Остается проверить выполнение (172!) в точках окружности круга К. Пусть (х,, у,) — такая точка, причем если упомянутая окружность имеет точки, общие с контуром обла. сти В, то мы считаем, что (х,, уо) лежит внутри В.
Мы имеем 2» 1 1»(хо уо) — 1(хо Уо) ~~ ~ ) >г(хо+ Р сов ч>. уо+Р з>п !У) с(ч> (Р (6) о Внутри К, в силу теоремы П, 1» ) 1, а вне К будет !» — — 7, еле довательно, и подавно 2л 1 1» (х„уо) ( — ~ 1» (хо+ Р соз ч>, уо + Р зн> ч>) д'Р» о что и требовалось доказать. 119. Метод нижних н верхних функций. Мы переходим сейчас к изложению метода Пуанкаре в Перрона. Пусть на плоскости имеется ограниченная область В и 1 ее граница, о которой мы не делаем пока никаких предположений.
Положим, что на 1 задана функция ы(А>) = о>(х, у), относительно которой мы предположим пока только, что она ограничена, т. е., что су>цествуют два таких числа а и Ь, что а - о>(д>) (Ь. (177) Назовем нижней функциеи всякую функцию !Р(М), которая является непрерывной функцией в замкнутой области, субгармонической внутри области, и на контуре удовлетворяет условию <Р(А>) ( ы(А>). Аналогично верхняя функция ф(М) должна быть супергармонической внутри и на контуре должна удовлетворять условию ч>(А>) ) о>(>ч'). Существует, очевидно, бесчисленное множество тех и других функций.
Например, всякая постоянная, которая не превосходит а, будет нижней функцией, Пусть !р — некоторая нижняя и >р— п>9 тл. и. пнпдвльныв злдкчи ззз верхняя функции. Выражение 11 = >р — >)> = гр+( — >р), как сумма двух субгармонических функций, будет субгармоническоп функцией и т ( О на 1. Отсюда следует, что у < О в В, т. е. ф = >!> в В. Иначе говоря, всякая нижняя функция не больше всякой верхней в В. Из теорем 1 и 1' непосредственно следует, что если 7>(М), 1г(М), ..., 1 (М) — нижние функции, то и функция >>>(М), определяемая формулой (17э,), также нижняя функция, аналогично и для верхних функций и формулы (!75>). Точно так же из теорем !П и П!' следует, что если ! (М) — нижняя функция, то и функция (к(М) — нижняя функция, и аналогично, если ) (М) — верхняя функция, то и )к(М) — верхняя функция.
Совершенно очевидно, что нижние функции ограничены сверху некоторым числом, а верхние ограничены снизу. Например, число Ь, фигурирующее в неравенстве (177), есть верхняя функция, и мы имеем для любой нижней функции >р(Л1) ( Ь. Совершенно аналогично для любой верхней функции >г(Л1) ~ ~и. Таким образом, мноясество значений всевозможных верхних функций ф (М) в любой фиксированной точке М, лежащей внутри В, имеет тонну>о низкнюю границу [1; 42), кагору>о л>ы обозначим через и(М).
Это будет некоторая функция, определенная внутри В. Из >р (Л1) = а следует, что и(М)) а, а поскольку постоянная Ь есть верхняя функция, мы имеем и(М)(Ь, т. е. по. строенная функция и(М) удовлетворяет условию а ( и(Л1) -. Ь. Согласно определению точной нижней границы для каждой точки М>ь лежащей внутри В, существует такая последовательность >р,(М) верхних функций, что >ы(Мь) — и(М,) при л- оо. Если существует такая верхняя функция >!> (М), что ф> (Мь) = и(Мь), то мы можем, например, считать ф„(М)= ф(М) при любом значке л. Для разных точек Л1, последовательности >р (М) могут быть разными.
Докажем теорему: Теорем а. и(М) — гармоническая внутри В функция. Отметим, что дальше значки у функций мы будем писать не снизу, а сверху в скобках. Предварительно докажем лемму: Л е м м а. Если Р— произво,аьная фиксированная точки, лежащая внутри В, то существует монотонная лоследовательность верхних функций: Фш(М)) >р>г>(М)) ... (М в В) (178) таких, что >р< ">(Р)-э и(Р). Как мы видели выше, существует последовательность >(>. (М) верхних функций таких, что ф„(Р)->-и(Р).
Положим >ры>(М) = ппп (>(» (М), фг(М) ° ° ' фч(М)). (179) Функции >р<">(М), как мы видели выше,— непрерывные верхние функции. При возрастании л увеличивается число функций метод нижних и ВеРхних Функции зз фз(М), из которых составляется минимум, и, следоватсл.по, ф'"'(М) удовлетворяют условию (178). Из того, что функция и(М) есть точная нижняя граница верхних функций, и из (179) следует, что и(Р) ( гр~ю(Р) ( ф,(Р), а отсюда, в силу ф„(Р)- -+ и(Р), вытекает, что и ф<"~(Р)-~-и(Р).
Лемма доказана. 3 а м е ч а н и е. Пусть К вЂ” любой круг с центром Р, лежащий внутри В. Построим функции ф'(Л1), как это указано в теореме !1!'. Поскольку па окружности круга К соблюдаются неравенства (178), то аналогичные неравенства соблюдаются н во всем замкнутом кру~е К Вне круга К функции ф'"'(М совпадают с фса(Л1), и, следовательно, тоже удовлетворяют условию (!78); фхп'(Л!)) ф'Я(М)) " (М в В) Кроме того, сс(М)(ф„".'(М)<фсп(М), и, в силу фм!(Р)- и(Р) мы имеем ф!(Р)- и(Р). Таким образом, мы можем считать, что функции ф<ю(М), фигурируюирве в лемме,— гармонические внутри любого фиксированного круга с центром Р, принадлежаи1его В.
Переходим к доказатсльству теоремы. Достаточно показать, что а(М) — гармоническая функция внутри любого круга К, лежагдего внутри В. Пусть Р— центр этого круга. Строим, согласно лемме и замечанию к ней, функции ф~ю(М), гармонические внутри К. Эти функции имеют предел и(Р) в точке Р. Согласно теореме Гарнака эти фупкцпи стремятся во всех точках внутри К к некоторой гармонической функции фм'(М) -~ о (М) (М внутри К', причем сходимость равномерная во всяком замкнутом круге К' с центром Р, лежащем внутри К. Докажем, что о(М) = и(М) внутри К. Этим теорема будет доказана. Доказываем от обратного.
Пусть в некоторой точке Рь лежащей внутри К, мы имеем о(Р1) Фи(Р,). Поскольку фпп(Р,)- о(Р,) и и(Р,) сеть точная нижняя граница значений верхних функций в точке Рь мы должны иметь о(Р,) ) и(Р,). Тем самым должна существовать верхняя функция в(М), такая, что гв(Р,) ( о(Р,). Пусть К'— круг с центром Р, на окружности которого находится точка Рь Составим верхние функции; ргм(М)=ппп!ю(М), феп(М)1 и рх!(М), причем фл! (М) ( рпв (М) Поскольку фоп(М) равномерно в замкнутом круге К' сходится к а(М), мы можем утверждать, что и роп(М) равномерно П!9 зво гл и пгвделы1ыа злдхчи сходится там же к предельной функции: р(М) = т(п(ш(М), в(М)). Тем самым равномерная сходимость имеет место на окружности круга К' и мы можем утверждать, что и гармонические внутри К' функции р)Ч)(М) сходятся равномерно в замкнутом круге К' к некоторой гармонической функции р,(М).
Поскольку и1(Р1) ~ < о(Р1), мы имеем р(Р1) < о(Р1), и вообще во всех точках окружности круга К' мы имеем р(М) < о(М). Таким образом, по теореме о среднем для гармонических функций р,(Р) < в (Р). 1(о о(Р) = и(Р), и, следовательно, р„,(Р) <и(Р). В точке Р функция р,(М) есть предел верхних функций ркьа)(М), и неравенство р„,(Р) < и(Р) противоречит тому, что и(Р) есть точная нижняя граница значений верхних функций в точке Р. Таким образом, теорема о том, что и(М) — гармоническая внутри В функция, доказана. В трехмерном случае доказательство буквально такое же.
Таким образом, при любой заданной на границе 1 ограниченной функции 99(й1) строится указанным выше методом фуннция и(М), гармоническая внутри В. Вместо того, чтобы строить точную ни1кню9о границу и(М) верхних функций, мы могли бы строить точную верхнюю границу иа(М) нижних функций. Если 91(й1) есть непрерывная на границе 1 функция, то можно показать, что и9(М) совпадает с и(М). В дальнейшем мы всегда будем говорить о точной нижней границе верхних функций. Как мы уже упоминали, все построение без изменения пе.
реносится на трехмерный случай. Функцию и(М) называют обобщенным решением задачи Цирихле с предельными значениями 19(й1). Смысл этого выяснится в следующем параграфе. 3 а м е ч а н и е. Указанное выше обобщенное решение задачи Дирихле и(М) при непрерывности функции 19(й1) на гравице 1 можно построить еще одним способом, который мы сейчас ука. жсм.
Продолжим функцию 19(1У) на всю плоскость, сохраняя ее непрерывность. Положим далее, что В. (и = 1, 2, ...) есть по. следовательность областей, которые лежат вместе со своими границами 1„внутри В и стремятся к В, так что всякая точка М, лежащая внутри В, находится внутри всех областей В„ начи. ная с некоторого номера л. Области В„ могут быть, например, составленными из конечного числа кругов. Положим, что для областей В. мы умеем решать задачу Дирихле с непрерывными значениями на 1,.
Пусть и„(М) — решение задачи Дирнхле для В„причем предельные значения на 1. задаются как продолжение функции ы(Ф), о котором мы говорили. Можно доказать, что при беспре. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИИ ЗЕ1 дельном возрастании и функции и (М) стромятся к построенному выше обобщенному решению и(М) задачи Дирихле, причем это стремление равномерное во всякой замкнутой области, лежащей внутри В. Таким образом, оказывается, предел и„(М) не зависит ни от способа продолжения ы(й1), яи от выбора областей В„. Важны лишь те свойства этих областей, о которых го. варилось выше. Доказательство этих фактов можно найти в об зорной статье М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
