1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Покажем теперь, что этн же результаты будут иметь место и для любой поверхности Ляпунова при и = 1, причем мы ис- пользуем результаты из ]102], основанные па возможности по. строения параллельных поверхносзсй. Будем исходить сейчас из уравнения (133) и рассмотрим соответствуюнгее однородное уравнение прн Х = 1: р (!Уо) = ) ) и ()У) ~(~ (5(о й~) 45. (136) Пусть ре(Ф) — непрерывное решение этого уравнения.
Нам надо показать, что иа(Ф) = О. Потенциал простого слон с плот- ностью !ы(й), даст нам функцию иа(М), гармоническую в Рв ГЛ П. ПРЯДЯЛЪИЫЯ ЗАДАЧИ и Р„непрерывную во всем пространстве, у которой предельные значения нормальной производной ~ — ~ на 5 равны нулю. Г дио(У) Х да Л Последнее следует из того, что ро(1)!) по условию удовлетворяет уравнению (136). К потенциалу простого слоя и,()ч) применима формула (94), из которой следует, что иэ(л!) есть постоянная в Р,.
На бесконечности потенциал простого слоя равен нулю, и, следовательно, иа = О в Р„и, в частности, на 5. При этом гармоническая функция иа(М) =О и внутри 5, т. е. иа(М) = — О во всем пространстве. Принимая во внимание (64), получим: )'о('")= 4 ~( д ) ( д ) ]= (на 5) что и требовалось доказать. Таким образом, можем утверждать, что Х =! не есть собственное значение уравнений (132) и (133). Однородное уравнение (135) при Х = — 1 имеет, в силу (26), решение, равное произвольной постоянной, т.
е. ). = — 1 есть собственное значение уравнений (132) и (133). Покажем, что его ранг равен единице. Достаточно показать, что однородное уравнение (133) при ) = — 1: )!(Л!о)= )) !!(о') 7(! (Л!а )Ч)г!5 (137) ) ) )г! ()У) !(5, (138) дающий общее количество электричества, находящегося в рав- новесии на проводящей поверхности 5, отличен от нуля. Как мы уже упоминали, и! сохраняет постоянное значение в Р, и формула (54) дает (139) имеет, с точностью до произвольного постоянного множителя, только одну собственную функцию. Пусть р!(!У) — собственная функция уравнения (137).
Потенциал простого слоя с плотностью )г!(Ж) дает функцию и!(М), гармоническую в Р„для которой предел ~ — ) на 5 равен' /ди! !!У) Х дл нулю. Как и выше, формула (92) покажет, что и!(М) есть постоянная в Р! и на 5, т. е. плотность )!!(Ж) дает потенциал простого слоя, сохраняющий на 5 и внутри 5 постоянное значение. Иначе говоря, )г!(йг) есть электростатическая плотность. Покажем, что интеграл ззв исследоВАние интегРАльных уРАВнении кв1 Если бы интеграл (138) был равен нулю, то мы имели бы 33 ( л ) сБ= О. (140) (141) необходимость которого мы видели уже и выше. При сделанных предположениях оно оказывается и достаточным.
Если это условие выполнено, то решение неоднородного уравнения определено с точностью до слагаемого, являющегося решением однородного уравнения (137), т. е. с точностью до слагаемого, которое является электростатической плотностью. Подстановка этого слагаемого в потенциал простого слоя приводит к постоянному потенциалу, а постоянное слагаемое не играет существенной роли при решении внутренней задачи Неймана. Применим к и, формулу (94).
На 5 функция щ сохраняет постоянное значение, и интеграл (140) равен нулю. Отсюда следует, что обе части формулы (94) равны нулю при и = иь т. е. и~ равна постоянной в Р„и формула (139) покажет нам, что 1А~(Ф) равно нулю на 5, а это противоречит основному предположению, что 1А1(М) есть решение однородного уравнения (137), не равное тождественно нулю. Таким образом интеграл (138) действительно отличен от нуля. Умножая р1(АГ) на постоянный множитель, мы можем придать интегралу (138) любое наперед заданное значение.
Покажем теперь, что уравнение (137) имеет с точностью до постоянного множителя только одно решение. Пусть рз(М)— какое-либо решение этого уравнения, отличное от нулевого. Существует такая постоянная с, что интеграл (138) при замене И,(М) на Из(Лг) — с1А1(Ж) равен нулю. При этом !Аз(Ф) — ср,(М) есть также решение уравнения (137), и, в силу только что доказанного, рз(М) — ср1(Ф) = 0 на 5, откуда из(й) = с1А1(АГ), т. е. формула И(й1) = ср! (М) при произвольном постоянном с дает все решения уравнения (137).
Из приведенных рассуждений следует, что уравнения (132) и (133) для Х = 1 прн любом свободном члене имеют определенное решение, и мы получаем, таким образом, решение вну. тренней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана. Обратимся теперь к уравнению (133) при Х = — 1. Оно дает плотность потенциала (128), решающего внутреннюю задачу Неймана. Для существования решения необходимо и достаточно, чтобы свободный член интегрального уравнения был ортогональным к собственной функции однородного союзного уравнения, т. е. к постоянной. Это приводит к условию: 1109 ГЛ.
П ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ззв Рассмотрим теперь уравнение (132) прн Х = — 1, что соответствует внешней задаче Дирихле. Для разрешимости уравнения необходимо и достаточно, чтобы свободный член уравнения был ортогональным к решению однородного уравнения (137), т. е. к электростатической плотности р~(У): 11 р,(М))'(йг)(З=б. (142) Это дополнительное условие не связано с существом задачи, а происходит лишь от того, что мы ищем решение внешней задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя.
Из вида такого потенциала непосредственно вытекает, что он обращается в нуль при г- оо порядка !/г'. Такое усиленное обращение в нуль в бесконечно далекой точке не является необходимым при решении внешней задачи Дирихле, и именно это обстоятельство и вызывает наличие дополнительного условия (142).
Покажем, что можно решить внешнюю задачу Дирихле без всякого дополнительного условия, налагаемого на ((йг), при помощи суммы потенциалов простого и двойного слоя. Действительно, пусть р~(М) — электростатическая плотность, для,которой интеграл (138) равен единице, и и1(М) — соответствующий ей потенциал простого слоя. Потенциал и1(М) имеет на Я предельные значения, равные некоторой постоянной й, отличной от нуля. Выберем постоянную с так, чтобы имело место равенство ~~ р,(1У)(1(У) — с) ИЯ=-О, т с положим с = Ц, (М) 1(У) !3. 5 Мы можем, согласно предыдущему, образовать потенциал двойного слоя гв(М), решающий внешнюю задачу Дирихле с предельными значениями !" (И) — с. Прн этом сумма ю(М)+ —,и, (М) будет решать внешшою задачу Дирпхлс с задапнымп предельными значениями !(М). 3 а м е ч а н не.
В настоящем параграфе мы предполагали, что область, для которой мы решаем предельную задачу, ограничена одной поверхностью 5 Результаты будут иными, если конечная область Р ограничена извне поверхностью Яз и изнузри поверхностями ЯА (й = 1, 2, ..., гп). Будем для этой обласзи искать решение задачи Днрихле в виде потенциала двойного слоя. Для плотности мы по прежнему получим уравнение (!32) исслепов»ннв 'интвгя»ль»»ык»'Ранив»»мя ззт при ).
= 1, причем 5 будет полной границей О, т. е. 5 будет состоять из поверхностей 5» и 5» (Ф = 1, 2, ..., т), и на поверхностях 5» нормаль должна быть направлена вовне О, т. е. внутрь 5» (й = 1, ..., гп). Мы имеем, таким образом, внутреннюю задачу Дирихле. Уравнению (133) при Х = 1 соответствует вне~пняя задача Неймана. В данном случае она состоит в нахождении функции, гармонической внутри каждой из поверхностей 5» и вне 5», причем заданы значения ее нормальной производной на этих поверхностях.
На бесконечности, как всегда, функция должна быть регулярной. Если заданные значения нормальной производной равны пулю, то имеем однородное уравнение (133) при Х =!. Как мы только что видели, это уравнение имеет только нулевое решение, если О ограничена одной поверхностью. В данном случае это будет не так. Действительно, представим себе все поверхности проводящими. На поверхности 5~ поместим единицу положительного электричества, а поверхность 5» соединим с землей и положим, что на всех поверхностях установился электростатический режим. На поверхностях 5» (! = 2, ..., и») мы будем иметь 'индуцированное распределение электричества с общим зарядом нуль. Пусть )»~ (1»') — плотность полученного электростатического распределения на 5.
Потенциал простого слоя с такой плотностью будет, очевидно, постоянным внутри каждой поверхности 5» и равным нулю вне 5,, т. е. этот потенциал будет решением внешней задачи Неймана с однородным предельным условием. Иначе говоря, !м(Ж) будет удовлетворять однородному уравнению (!33) при Х = 1. Помещая единицу положительного электричества последовательно иа каждой из поверхностей 5», мы будем иметь т линейно-независимых решений !»»(Х) однородного уравнения (133) при Х = 1 Можно показать, что эти функции !»»(л!) составляют полную систему линейно-независимыт решений )помянутого однородно(о уравнения.
Мы видим, таким образом, что в рассматриваемом случас Х = 1 есгь собственное значение уравнений (132) и (133). Для того чтобы уравнение (!32) было разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы 1(л!) удовлетворяло гп условиям: Если хоть одно из этих условий пе выполнено, то внутренняя задача Дирихле пс разрешима в виде потенциала двойного слоя, Можно показать, что оиа разрешима в виде суммы потенциалов двойного и простого слоев, аналогично»ому, что мы имели выше для -внепшей задачи Дирихле. Подробное рассмотрение задач ГЛ. П.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ п)0 теории потенциала в случае границы, состоящей из нескольких поверхностей, имеется в книге Н. М. Гюнтер а «1а 1))еог[е йц ро(еп((е1...» (Раг!з, 1934). Мы доказали раньше единственность решения задачи Ней. мана при условии, что искомая гармоническая функция непрерывна вплоть до 5. Из приведенных выше рассуждений следует, что это единственное решение задачи Неймана представимо потенциалом простого слоя. 1!О. Сводка результатов, касающихся решений предельных задач. Сформулируем полученные выше результаты, относящиеся к решению задач Дирихле и Неймана, и приведем некоторые новые результаты, относящиеся к этому вопросу. Для любой функции ((Ж), непрерывной на 5, уравнение (123) определяет непрерывную плотность ))())!) так, что потенциал двойного слоя (123) дает решение внутренней задачи Дирихлв при предельном условии (124).
Сопряженное интегральное уравнение (131з) дает непрерывную плотность ))()))) такую, что потенциал простого слоя (128) решает внешнюю задачу Неймана при предельном условии (130з). Если [(й!) удовлетворяет условию (141), то уравнение (129) определяет плотность )ь()))) такую, что потенциал простого слоя решает внутреннюю задачу Неймана.
Сделаем важные звмеяанвя па поводу решеввя задач Неймана. В ураввевяях (!29) в (!3!») интегральное слагаемое правой части удовлетворяет уславяю Лппшица [99]. Если функция [(Аг) ганжа удовлетворяет такому условя)а, та яз упомянутых ураввевай следует, чта в р(У) удавлетваря«т такому же условию. На тогда яз [100) следует, чга прв этом соответствуюшяй потенциал простого слоя, т.е. решение задачи Неймана не только само непрерывно енлагь до 5, на и имеет нгнрерыаные вплоть да 5 наггные производные первого порядка. Вернемся теперь к условию (141) разрешимости внутренней задачи Неймана.
Оно было нами получено в предположении, что решение и(М) имеет правильную нормальную производную. Тем самым и(М) должно быть непрерывно вплоть до 5 1102). Покажем, что из одной непрерывности м(М) вплоть до 5 вытекает необходимость условия (141). Положим, что (()))) не удовлетворяет этому условию, но все же существует решение задачи Неймана и(М), непрерывное вплоть до 5, и приведем это к проти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
