1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 62
Текст из файла (страница 62)
е. оба они должны равняться нулю, откуда непосредственно еле дует, что и(М) = О. Все предыдущие результаты имеют место и для случая пло скости. До сих пор мы рассматривали так называемые внутренние задачи, при которых требуется определить гармоническую функцию в ограниченной области при некотором предельном условии. Мы переходим теперь к в н е ш н и м з а д а ч а м, когда ищется гармоническая функция в бесконечной части пространства, находящейся вне некоторой замкнутой поверхности (или вне нескольких замкнутых поверхностей).
Аналогично ставится задача для плоскости. Существенную роль играет при этом то требование, которое мы налагаем на искомую функцию в окрест ности бесконечно далекой точки. Этот вопрос будет решатьс» различно для плоскости и для пространства. Мы начнем с выяс4 нения упомянутого требования на бесконечности и сначала разя берем случай плоскости. Гл и пеедсльные зодочн н 5 Зза 105. Внешние задачи в случае плоскости. Функцию и(01), гармоническ)чо в окрестности бесконечно далекой точки, мы назовем регулярной в бесконечно далекой точке, если при стремле.
нии точки М к бесконечности функция и(М) имеет конечный предел. Выясним смысл этого определения. Построим в окрссгности бесконечно далекой точки функцию о(М), гармон сопряженную с и(М) [Шо! 2]. При обходе бесконечно далекой точки против часовой стрелки функция о(М) может приобрести постоянное слагаемое, которое мы обозначим через у. Функция комплексного переменного )(г) и(г)+в() 2 1К будет однозначной и регулярной в окрестности бесконечно далекой точки и, следовательно, должна разлагаться в этой окрест. ности в ряд Лорана по целым степеням г. Покажем, что в этом разложении вовсе нет членов с положительными степенями г.
Действительно, если бы таких членов было бы бесконечное множество, то функция 1(г) прн 1г)- оо могла бы принимать значения, сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу ((!!!о! 17), а на самом деле вещественная часть функции, т. е. и(г) — — !я ! г ! нлн стремится к бесконечности, если у Ф О, так т 2п как, по условию, и(г) имеет конечный предел, или имеет конечный предел при !г)- оо, если у = О.
Если бы членов с положительными степенями было конечное число, т. е. если бы ) (г) = а го' + а — 1г'" ' + ... + ао + — ~ + ... (а Ф 0), то мы имели бы и (г) — — „!ц р = гр"' соз (пир + ф) + + Ке[а,г -'+ ... +ао+ —,' + ° ° ~ (г=ре'о, а =ге'о; Ве — знак вещественной части). Если разделить обе части равенства на р~ и устремить р к бесконечности при фиксированном ч~, то левая часть будет очевидно стремиться к нулю, а правая будет иметь предел г сов(нщ+ ф), зависящий от <р, который не всегда равен нулю. Мы придем, таким образом, к противоречию и, следовательно, в разложении 1(г) будет только свободный член и члены с отрицательными степенями.
1 (г) = по + —,' + —,,' + ... (105) При )г(-о оо функция 1(г) имеет конечный и определенный предел ао, и отсюда енепосредственно вытекает, что постоянная Внешнив зАЛАчи В случАе плоскости ~ ~ ~( — ) + ( — ) [ ах а'у = ~ и ( — „) Нз, в ! Ь( —,'.") — (д".)1й = .
(106) (107) у должна быть равна нулю, т. е. если и(М) регулярна в бесконечно далекой точке и и(М) — сопряженная функция, то 1(г) = =и(г)+1и(г) имеет в окрестности бесконечно далекой точки разложение (105). Из предыдуших рассуждений непосредственно вытекает, что для получения этого результата достаточно предположить, что и(М) просто ограничена по абсолютной величине в окрестности бесконечно далекой точки. Отсюда уже будет вытекать разложение (105) и, тем самым, существование конечного предела у и(М) при стремлении точки М к бесконечности. Внешняя задача Дирихле сводится к нахождению функции и(М), гармонической вне замкнутого контура 1, регулярной на бесконечности и принимающей на контуре 1 заданные значения 1(1ч).
Пусть ге — некоторая точка, находящаяся внутри 1. Со- 1 вершим конформное преобразование плоскости щ =— Часть плоскости, находящаяся вне 1, перейдет в некоторую ограниченную область В, гармонические функции перейдут в гарА1О- ннческпе функции [П!к1 31), точка г = ио перейдет в ш = О, н 1(г) будет регулярной функцией от ш при ш = О.
Формулированная выше внешняя задача Дирихле перейдет во внутреннюю задачу для преобразованной области, и мы, очевидно, можем иметь только одно решение поставленной задачи. Пользуясь разложением (!05), дифференцируя его по г н принимая во внимание, что 21 (2)-+ — а 1 при )21 +СО, мы можем утверждать, что если гармоническая функция и(М) регулярна в бесконечно далекой точке, то произведения р — и дч дк т ди рт —, где р = (г(, остаются ограниченными прн беспредельном ду ' удалении точки М.
Отсюда непосредсгвенно вытекает, что и произведение р —, где т — любое направление, которос может и дч д~я ' изменяться при перемещении точки М, остается ограниченным при беспредельном удалении точки М. Если В есть часть плоскости, находящаяся вне замкнутого контура 1, а и(М) и и(М)— функции, гармонические в В, непрерывные в бесконечно далекой точке и непрерывные вместе с производными первого порядка вплоть до контура, то имеют место формулы З22 ГЛ. 11.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 1106 (1'5' на 1) (108) при стремлении М к Л' по нормали, и сохраняется требование регулярности функции и(М) на бесконечности. Пусть решение задачи и(М) существует, и предположим, что и(М) имеет правильную нормальную производную на 1. Проводя окружность С достаточно' большого радиуса )г н применяя формулу (107) к и(М) и о(М) = 1 для области, ограниченной ! и С, получим (109) /ди 5 1 Но на С производная ~ — ) имеет порядок —,, откуда сле- 1. ди), Яе ' дует, что интеграл по С стремится к нулю при )5-~со, и мы получаем в пределе, в силу (108), ~ 1 (М) 1(З = О.
(110) Это необходимое условие мы получили и для внутренней задачи Неймана. Пользуясь формулой (106), можно доказать единственность решения внешней задачи Неймана при условии правильности нормальной производной (ср. [104[). В трехмер. ном пространстве мы не будем иметь условия, аналогичного (110), для разрешимости внешней задачи Неймана. 1 Отметим тот факт, что основное сингулярное решение 11т— не будет регулярным в бесконечно далекой точке.
При г- оо 505 (Р оно стремится к со. Второе сингулярное решение —, соответ. Г ствующее днполю, уже будет регулярным в бесконечно далекой точке, и оно обращается в втой точке в нуль, В трехмерном про- где и — направление нормали к 1, внешней по отношению к области В. Формулы доказываются совершенно так же, как это делалось в [!02) для трехмерного случая. Достаточно иметь в виду, что на окружности С с центром в фиксированной точке О Г ди Х / ди Х и радиусом )г произведения о ~ — ) и и [ — ) имеют оценку ~ ди )е [.
ди )в — а длина окружности — 2п)г. Как и в [102], формулы (106) А и (107) остаются справедливыми, если вместо непрерывности производных первого порядка вплоть до ! потребовать существования правильных нормальных производных у и(М) и п(М). Переходим к внешней задаче Неймана, когда на ! имеется предельное условие 323 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЕЛЬВИНА странстве не только потенциал диполя, но н основное сингуляр- 1 иое решение — обращается в бесконечно далекой точке в нуль. Г Потенциал простого слоя (81), дающий гармоническую функцию вне 1, не будет, вообще говоря, регулярным в бесконечно далекой точке. Если общий заряд равен нулю, т.
е. если (111) то в этом частном случае потенциал (8!) будет регулярным. Действительно, пусть !г — расстояние точки М до начала. Вводя в интеграл (1!!) множитель 1дЯ, не зависящий от переменной точки интегрирования Ф, мы можем написать потенциал (81) в виде и(М) = ~ !А(й!)1п —,дз, и при беспредельном удалении точки М выражение !п — стре1г Г мится к нулю равномерно по отношению к точкам Ф, лежащим иа !.
Таким образом, мы видим, что потенциал действительно будет регулярным в бесконечно далекой точке и равным нулю. Докажем еще одно свойство гармонических функций. Положим, что и(М) — гарлгоническая функция в некотором круге, центр которого примем за начало координат й!ь, кроме, л1ожет быть, самого начала, и ограничена по абсолютной величине в этом круге.
Покажем, что существует предел и(М) при М-+-Уь, и если принять этот предел за значение и(!Уь), то и(М) будет гармонической во всел~ круге, включая начало. Чтобы убедиться в этом, достаточно проделать те рассуждения, которые привели нас к разложению (!05), заменив бесконечно далекую точку началом. Вместо (105) будем иметь 1(г) аь+ а!г+ атг + откуда и следует наше утверждение. 106. Преобразование Кельвина. При рассмотрении гармонических функций в трехмерном пространстве мы уже не имеем больше того важного вспомогательного аппарата, каким являлась в случае плоскости теория функций комплексного переменного и, в частности, конформиое преобразование, переводящее всякую гармоническую функцию тоже в гармоническую функцию. В случае трехмерного пространства имеется все же некоторое точечное преобразование совершенно специального вида, которое обладает тем же свойством, а именно: если и(х, у, г)— 324 ГЛ.
П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ гармоническая функция в некоторой области Р, то функция Р е(х', у', г')= —,и ~ — „, ~, — „) (г"=х'+у" +г") (112) будет, гармонической в области Р', которая получается из Р прн помощи преобразования: > ' у = > ' г = 1 (г~=х~+у~+г~). (113 ) Заметим прежде всего, что г = — и что преобразование, обрат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
