1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Доказательство этого условия, проведенное нами в случае плоскости, уже не годится в случае пространства, ибо площадь поверхности сферы радиуса И имеет порядок ЯА, и величина интеграла от ди — по сфере достаточно большого радиуса не должна стреди миться к нулю при Д-э сю. Если предположить, что решение внешней задачи Неймана имеет правильную нормальную производную, то единственность решения задачи непосредственно сле- пв Гл и пгвдельныв з«д«чи дует из формулы (94). Аналогичное рассуждение мы проводили для внутренней задачи Неймана.
Заметим в заключение настоящего параграфа, что указан. ные выше свойства гармонической функции в окрестности бесконечно далекой точки могут быть непосредственно получены из разложения этой функции в окрестности бесконечно далекой точки по сферическим функциям. 167. Единственность решения задачи Неймана. В настоящем параграфе мы дадим доказательство единственности решения внутренней задачи Неймана без предположения правильности нормальной производной. Предварительно рассмотрим тело некоторого специального вида и построим в этом теле гармоническую функцию, обладающую некоторыми свойствами, которые будут ниже указаны. Пусть Т(а,й, й) — тело, ограниченное поверхностью х = й (х' + у') « (116) и плоскостью г = й, где й, а и й — положительные постоянные.
Точку (О, О, 0) назовем вершиной этого тела, и обозначим ее А!«. Буквою о' обозначим ту часть границы этого тела, которая лежит в плоскости х= й и буквою о" — остальную часть границы тела. Пусть далее и«и и! — две вещественные постоянные, причем иа( и!. Построим функцию и!(М) — гармоническую внутри тела Т(а, й, й), непрерывную вплоть до границы, н такую, что в(М)(и, на о', в(М)(ио на с" и в(А!,)= и,. Если г= ~/х'+ у'+ г', Π— угол между радиусом-вектором и осью х и Р.
(х) — функция Лежандра [! 1!м !42), то, как известно ~[!!1«, 136), при любом п функция г"Р„( сов О) будет гармонической внутри тела Т(а, й, й). Будем строить в(М) в виде в(М) = у [г сов О+ г!«аР, (сов О)) + и„(117) где у и р — положительные постоянные, которые будут определены позднее. Мы имеем, очевидно, в(!х«) = и,. Покажем, преж. де всего, что при всех 8, достаточно близких к нулю, Р~н„(0) ( О. (118) Функция Р„(х) есть сумма гипергеометрического ряда: Р„(х)=Р(и+1; — и; 1; ) ([х[< 1), вследствие чего можно написать: Р (О) 1 ("+')" +С ( 1)«("+')("+"-') '("-'+') 2 (Ы)«2« «-а единственность Решения ЗАЛАЧИ ненмАнА' О~ Г А р (р (л — 1) (л+ 2) ~л г 1Ф ТТ (л+ л) (л — л+ 1) л( ) 2 ( ) Ц 2ла А 2 л 1 Мы считаем 1 < п < 2, так что множители, соответствуюшие з = 1 и а = 2, положительны, а остальные (л — 2) отрицательны.
Относя к этим последним множителям ( — 1)А-Е, можем записать их в виде (л+ з) (з — л — 1) з' — л' — л — л 1 О< 2л' — < — (з=З, 4, .... Таким образом, выделяя первые два множителя, получаем неравенство Р (О) (л — 1)(л + 2) ~' (л + 2) (л + 1) л (л — 1) 1 2 16 2а-Е ' А 2 т. е.
/Оъ (л — !) (л + 2) ((л + 1) л 11 откуда и следует, что Р„(0) < О, если л'+ л < 8. Таким образом, (118) доказано при всех положительных р, достаточно близких к нулю. Фиксируем () так, чтобы оно удовлетворяло этому условию, а также условию 6 < а, где а иэ уравнения (116). Принимая во внимание, что г = гсозО, получаем на поверхности (116) г соз О+ г!+4Р„Е(соз О) = йр'+л+ г!+ЕР,! (соз О), где р = т/х' + ф, и, окончательно, на поверхности (116) г сов О+ г'+ЕР,~ (созО) =г' 'а [йг' а МпылО+ Р!.!. (соз О)). Если г- О, то (Š— ь — ", и, в силу (1!8) н 8 < а, квадратная скобка имеет при этом отрицательный предел.
Таким образом, мы можем фиксировать положительное число л настолько малым, чтобы на всей части ол поверхности тела Т(а, й, л) иметь г соз О + г!+"Р!Аа (соз О) (~ О. (1! 9) Выберем, наконец, положительное число у настолько малым, чтобы формула (!17) давала ш(М) < и, на о'. Построенная функция ш(М) удовлетворяет всем указанным выше условиям. На оси тела Т(а, й, й), т. е. на оси 2, мы имеем ш (М) = у (е + е!+6) + иа (е ) О). ГЛ. Н, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Если М вЂ” переменная точка этой оси, то рь (М) — зр (А1~! (120) Докажем теперь теорему: Теорема.
Если и(М) — функция, гармоническая внутри 1)ь отличная от постоянной, иь — конечная точная нижняя граница значений и(М) внутри с)1 и существует токая точка Фь на 5, что и(М)- иь при стремлении М изнутри к №, то при стремлении М к А!ь по нормали, отношение и (М) и !АРр) !ум! остается больше некоторого положительного числа. Мы считаем, что существует тело Т(и, я, и), которое касается 5 в точке А!ь и все точки которого, кроме Фь, лежат внутри 5. Число и фиксировано настолько малым, чтобы иметь (119) на всей части о" поверхности упомянутого тела.
Пусть и1 — наименьшее значение и(М) на части о' поверхности Т(а, я, Ь). Так как и(М) — отлична от постоянной), то ир ( и1, и, выбрав у достаточно малым, мы можем построить ш(М) с указанными выше свойствами. При этом ир(Мь) = и(АГр), и ш(А!) ( и(М) на остальной части поверхности Т(а, я, й). При этом, направив ось Е по внутренней нормали к 5 в точке Аь, по. лучим и! ) — н(А1р) (М) — и(А1р) ) м(М) — рь(АРр! )йМ! г ~ г (121) что и доказывает теорему. Из доказанной теоремы непосредственно следует единственность решения задачи Неймана в следующем смысле: Если гармоническая внутри Рр функция и(М) непрерывна вплоть до 5, и ~ ) = 0 на всей поверхности 5, то и(М)— / ди (Ф) х дп лр постоянна.
Пусть № — та точка 5, где и(М) имеет наименьшее значение, Из (122) непосредственно следует, что производная по нормали в точке Уь не может стремнться к нулю, когда М-~-)чь, оставаясь на нормали. Если бы это было так, то из формулы конечных прнрашений мы получили бы и (М) — и (АРр) — О, что противоречит (!22). Совершенно аналогично проводится доказательство единственности и для внешней задачи Неймана. Приведенное выше доказательство было дано в совместной работе 1'1.
В. Келдыша и М. А. Лаврентьева (ДАН СССР, 1937, 16, № 3). гм1 гвшвнив пгадвльиых злдхч в тгвхмвгном слгчхв зз! Если можно коснуться поверхности 5 изнутри сферой, то доказательство теоремы единственности проводится элементарно (3 а р е м б а С. — УМН, 1946, 1, № 3 —,4) . 108. Решение предельных задач в трехмерном случае. Рассмотрим внутренние задачи Дирихле и Неймана для области Р„ограниченной поверхностью Я. Будем искать решение вну. тренней задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя: п(64) = ~~ Р (61),а' г(6 (г =! ЛЙЧ!)» (123) где г — направление ММ и и — направление внешней нормали в точке Ж поверхности.
Искомой является плотность р(У). Согласно первой из формул (42), внутренняя задача Дирихле с предельным значением (и), ~з=г()Ч) (124) равносильна следующему интегральному уравнению для плот. ности п(Ж): 1(№)= ~~Р(1Ч) ~' с(П+2пм(№) (г'о=! №А11) ° 3 го Вводя ядро К(№: У)= —— 1 соз (г„п) го мы можем переписать последнее уравнение в виде и(№)= — г(№)+)) п(ч)К(№, 'й1)дЯ. (125) Ядро К(№1 )Ч) не симметрично, поскольку нормаль берется в точке )Ч и гз обозначает направление №№ Мы получим транспонированное ядро союзного уравнения (1ЧЫ 9), если будем брать нормаль в № и считать гз от Ф к №. Это транспонированное ядро К~(№, У) определится, таким образом, формулой К, (№; Ч) = К (Ч; №) = ""',"', (126) Зпго где пз — направление внешней нормали в №. Мы переменили знак у ядра, так как в К~(№, )Ч) должны были переменить на.
правление го на противоположное, а в формуле (126) гз обозна. чает по-прежнему направление №№ Решение внутренней за. дачи Неймана с предельным условием (127) НОВ ЗЗ2 -ГЛ. П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ищем в виде потенциала простого слоя: и(М)= ~~ и ОИ. (128) Пользуясь первой из формул (49), приходим к интегральному уравнению, равносильному поставленной задаче: )'(МО)= ~~ р(М) "' ",'"' О(5+2пр(МО).
3 "0 Это уравнение может быть также записаиц в виде )А (Моьг = д„1 (Мо) — ~ ~ р (М) К~ (М01 М) г(8. (! 29) Совершенно так же, используя вторые из формул (42) и (49), мы получим для внешней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана при предельных условиях (и), !з = 1 (М); ("",„"1) =ПМ) (139 ) (130 ) интегральные уравнения р (МО) — — 2 1 (МО) + р (М), Ю~, (131!) 0 р(МО)= — — )(МО)+Яр(М) ', ' «З, (131) 2п а1 2лго причем, как и выше, решение задачи Дирихле ищется в виде (123), а решение задачи Неймана — в виде (128). Напишем уравнения с параметром: р (Мо) = <р (Ло) + Л ~ ~ 1О (Л') К (Л'о! М) ОХЗ, (132) )А(МО) =4'(МО)+Л ~$ р(М)К (М: М)о8, (133) 1 Уравнение (132) при Х = 1 и ~р(МО)= — „1(МО) соответствует внутренней задаче Дирихле, а при Х = — 1 и <р(МО) = 1 = — — 1(М,) — внешней задаче 5ирихле.
Уравнение (133) при 2п ! Х = 1 и 1р(М~) = — — 1(М,) соответствует внешней задаче 2п 1 Неймана, и при Х = — 1 и <р(МО) = — )(МО) — внутренней за2п даче Неймана. Если 5 есть поверхность 'Ляпунова и в условии исслвдовлнив ннтвггхльных хгхвивнии ззз 109! (3) а = 1, то для ядра интегрального уравнения на основании результатов из ]94] мы получаем оценку !К(У,; У) ]< —. (134) и мы можем считать, что для уравнений (!32) и (!33) спра.
всдливы основные теоремы теории интегральных уравнений ]1Ч,; !О]. 109. Исследование интегральных уравнений. Рассмотрим однородное уравнение: и (М ) = Л Ц и (И) К (И~; )УЪ(5. (135) Его исследование проводится совсем просто в случае выпуклой поверхности. Прн этом соз(г,, п) ) О и К(Мз, !У) < О. Положим, что И(М) есть решение уравнения (135), отличное от нуля, и пусть Уа есть та точка, в которой ] ц(йГ) ] имеет наибольшее зна. чение. Если р(М) нс есть постоянная, то мы получим !р(ьг,)!<]Лци(йг,)!Ц ""',"' Ю, или, в силу (26), ! $а(йго) ! < ! к !! и(мо) ! (Р(йго) Ф О), откуда !Х]) 1. Если в формуле (135) мы положим, что И(М) есть постоянная, отличная от нуля, то, пользуясь опягь форму- лой (26), мы получим 1 = — 1.
Таким образом, мы получаем; Если 5 — выпуклая поверхность, то Х =! не есть собствен ное значение уравнения (135), а Х = — 1 есть собственное зна- чение с рангом единица, соответствующая собственная функция И(5Г) = сопя!. Следовательно, мы можем утверждать, что для уравнения (133) Х= 1 также не есть собственное значение, а Х = — ! есть собственное значение ранга единица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
