1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В трехмерном случае функция, имела, вообще говоря, полярность при совпадении М с ло. Для потенциала двойного слоя (82) можно доказать формулы, аналогичные (42): гв,(й1о)=ге(Жо)+пц(й1о)=~ н(1У) ' г(з+ г1 (Ъ), (85) юе Жо) гв (й10) п1о (й~о) ~ Р (й1) о(з ~Ч~ (й10)в го где го = [й1оМ[ и (г,, и) — угол, образованный направлением Йол1 с направлением и внешней нормали к 1 в точке И, Из (85) следует Фг (йго) — гав (й1о) = 2пр (Мо) . (86) Потенциал простого слоя (81) определен во всех точках плоскости и непрерывен на всей плоскости.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЬГ ( ГЭ) П усть № — некоторая точка на 5 и по — направление нор- мали в этой точке. Мы имеем, если М не на 3 о 1 (й() " ( =~ (й() "'" "',( (87 ! ! При приближении М к Гуо по нормали изнутри и извне 5 произ. водная (87) имеет пределы, которые определяются по формулам Г ди(ЛГ~) ~ Г соо(ГФ по) ()у') ' " Г!5+ !он(№), Г (88) нз которых следует ( "д( о! ) — ( "д( д ) = 2яр (Гоо ). Вместо (84) мы будем иметь со5 (Го, во) !х(5) — х (Хо)1У (55) — 1У (5) — У(оо))х (аа) Го [к (5) — х (5о)1 + 1У (5) — У (ао)! и, как и выше, можно показать, что это выражение остается не.
прерывным н прн совпадении 5 н го. Отметим, что потенциал простого слоя (81) ие обращается, вообще говоря, в нуль на бесконечности. !02 Интег тегральные формулы и параллельные поверхноспо. В дальнейшем нам придется пользоваться следующими инте- гральными формулами (11; 2031: 111с а Ф вЂ”:; —:.::~"= = ~ ~ и д„" (5- Я и йв И, (90) 3 о! ЭЭЭ(поп — вои)ГГХ Э) (,и дх э дх)ЕГ5, (91) и, 5 где 0 — ча т ! — часть пространства, ограниченная поверхностью 5, и и — направление внешней нормали к 5.
Они явля!отея следствия- ми равенства (107) из (48). Эти формулы справедливы при сле- дую!них предположениях: и, э и их частные произво вого по я р дка непрерывны в О, вплоть до 5 частные про пр изводнйе пер- ные вто ого р порядка непрерывны внутри О! и интегралй по !Э„ производ- содержащие би н ЬУ, имеют смысл. Если Ьи и Ли не обладают гл и пгвдвльныв зхдлчи п02 з~г ёо вторая квадратная скобка равна нулю, ибо Р)У есть нормаль к 5 Отсюда следует, что и первая скобка равна нулю, а это равносильно тому, что касательная к У перпендикулярна к РИ.
Отсюда непосредственно следует, что РЖ есть нормаль и к 5ы Мы считаем, что всякую точку 5 можно поместить внутрь куска поверхности с упомянутыми свойствами. Поверхность 5ь называется поверхностью, параллельной поверхности 5. Положим теперь, что гармонические внутри 5 функции и и о имеют правильные нормальные производные при стремлении М к гу по нормали, причем сами и и о непрерывны в замкнутой области Р,. Мы можем при этом применить все указаинь1е выше формулы для области, ограниченной поверхностью 5, Принимая во внимание равномерное стремление к пределу для и, о н их нормальных производных, а также совпадение нормалей у 5е и 5, мы получим прн 6-+-О в пределе все эти формулы и для Рь Тройной интеграл по Р, надо при этом считать несобственным, как предел интегралов по внутренним областям, при нх стремлении к Рь Так как подыитегральная функция положительна, то несущественно, каким именно образом эти внутренннв области стремятся к Р, В частности, можно нспользовать области, ограниченные 5ы При предельном переходе надо еще иметь в виду и изменение площади поверхности Элемент этой плошади выражается через коэффициенты первой Гауссовой формы в виде (11; 142]: й5 = у' Еб — Ех йх йу, если принять, например, х н у за параметры, и из (98) следует, что Е, 0 и Р— полиномы второй степени от 6.
Указанные выше соображения применимы и для Р,. При этом в формулах (98) надо знак минус заменить на плюс. Если гармонические функции и(М) и о(М) представимы потенциалами простого слоя с непрерывными плотностями, то они непрерывны вплоть до 5 и имеют правильные нормальные производные. Таким образом, мы имеем: Т е о р е м а. Если возможно построение параллельных поверхностей изнутри и извне 5 с указанными выше свойствами, то для потенциалов простого слоя и(М) и о(М) с непрерыенылш плотностями применимы вышеуказанные формулы. Выясним теперь некоторые достаточные условия существования поверхностей 5ы параллельных 5.
Положим, что поверхность 5 есть поверхность Ляпунова, причем в условии (3) а = 1. Покажем, что при этом поверхность 5г при достаточно малых 6 есть замкнутая поверхность без кратных точек, т. е, что разным й Ф на 5 отвечают и разные Р. Положим пока, что 6 < —. и бу. з' дем считать, что для разных точен )у1(хь уь а1), )уа(хм ум еа), ннтсГРАльныа ФОРмулы 102( згз мы получим одну и ту же точку Р, т.
е. х~ — 6 соз (пь Х) = х, — 6 соз (пм Х), у~ — 6 соз (пь У) = уы — 6 соз (нгы У), з1 — 6 сов(пь Х) =аз — Ьсоз(пм Я), (99) г, з = Ь 1/2 (1 — соз б), где () есть угол между п~ и пм Но, в силу (6), при а = 1 мы имеем 1 — соз 9 ( — а'г',, и потому гь У ~ аЬгь ы Если взять 6 < —, то мы приходим к противоречию. Итак, ( для поверхности Ляпунова, при (х = 1, поверхность 5Ф не имеет д 1 кратных точек, если Ь< — и 6< —. Кроме того, из условий, налагаемых на 5 194], непосредственно следует, что все точки Р при Ь ( И находятся внутри (или вне) 5.
Если мы, кромр того, предположим, что уравнение куска поверхности з = з(х, у) в местных координатах таково, что я(х, у) имеет непрерывные производные до второго порядка, то поверхность 5з будет иметь касательную плоскость, непрерывно меняющуюся при перемв. щении вдоль 5м Замкнутость 5з непосредственно следует из того, что при непрерывном перемещении точки М, находящейся внутри 0ь к поверхности 5 кратчайшее расстояние от М до 5 будет, при некотором положении М, равным 6. 3 а м еч а ни е.
Положим, что и(М) — непрерывна вместе с производными первого порядка внутри 5 и имеет правильную нормальную производную. При этом предельные значения по. следней ~ — ) представляют собою непрерывную на 5 функгды(М) ъ ды у~ цию [98], откуда следует, что существует такое число В, что ~(дыд'~') ~(В (й( 5). С другой сторояы, в силу равномерного стремления нормальной производной к пределу, при любом заданном положительном а существует такое число та что — ( — ) ~(~а при ]М)у'((ть причем точка М находится внутри 5 и на нормали к 5 в точке Й. Фиксируя е, мы получаем ~ — ~((В+а) при ]Мй(](Ч, ди (М) где п~ и пу — направление внешних нормалей к 5 в точках № и й(в Отметим, что й(э лежит внутри сферы с центром № и радиу- сом с(. Обозначая через гь1 расстоанне ]№№], получим, в силу (99), гл.
и пгвдвльныс зкдьчи К и, (х, у) (100) гармонические функции внутри ограниченной области В и непрергчвные функции в замкнутой области В, и ряд равномерно сходится на контуре 1 этой области, то он равномерно сходится во всей замкнутой области и сумма ряда есть гармоническая функция внутри В.
откуда [и(Мг) — и(М~) [((В + е) бь и где бь т —— [М~М, [. Отсюда следует, что и(М) имеет определенный предел и(У) при М- Ж по нормали. Мы можем далее написать: ь и(М) — и(У) = $ о ' йбь о где М~ — переменная точка на нормали, 6, = [АГМ~[ и 6 =[УМ[, причем 6~ ( 6 < т1. Из предыдущей оценки нормальной производной следует: [и(М) — и(У) [((В+ е)6, откуда видно, что и(М)-~и(Аг) равномерно относительно положения Ф на 5. Принимая это во внимание, нетрудно показать (ср. [100]), что и(М) стремится к и(У) при любом законе стремления М к М и что п(М) — непрерывна вплоть до 5.
Аналогичные рассуждения применимы н для О,. Итак, при наличии правильной' нормальной производной функция и(М) непрерывна вплоть до 5. Таким образом, применение указанных вьиие интегральных формул обусловлено лишь наличиелг правильных нормальных производных у и(М) и о(М). Все сказанное выше для В, переносится н на случай плоскости. В случае бесконечной области на плоскости дело будет обстоять несколько иначе, о чем мы будем говорить ниже.
103. Последовательности гармонических функций. Прежде чем переходить к решению предельных задач для уравнения Лапласа при помощи потенциалов простого и двойного слоя, мы установим некоторые свойства гармонических функций в до. полненне к тем, которые мы имели раньше. Рассмотрим последовательности гармонических функций или, что то же, ряды, члены которых — гармонические функции. Мы будем проводить все доказательства в случае плоскости. Для трехмерного пространства они буквально такие же.
Достаточно только вместо формулы Пуассона применить формулу, дающую решение задачи Днрихле для сферы. Основная теорема о равномерно сходящихся рядах гармони. ческих функций чрезвычайно похожа на аналогичную теорему из теории регулярных функций комплексного переменного ,[111г', 12]; Если членьь ряда ив1 последовательности гармонических фрикции З(З Пусть е — наперед заданное положительное число. Ввиду равномерной сходимости на контуре 1 существует такое й(, что при всяком п ) Ф и любом положительном р имеет место пера- венство ! с.~.о и„(х, у) (~а [(х, у) на 1).
Написанная конечная сумма гармонических функций будет гар. монической функцией внутри В и непрерывной в замкнутой об. ласти В, и, в силу основного свойства гармонических функций относительно достижения экстремумов на контуре [!1; 204), мы можем утверждать, что раз написанное неравенство соблюдено на контуре, то тем более оно соблюдено и во всех внутренних точках, т. е., иначе говоря, оно соблюдено и во всей замкнутой области, что и дает равномерную сходимость ряда (100) во всей замкнутой области. Таким образом, сумма Я(х, у) ряда (100) есть непрерывная функция в замкнутой области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
