1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 55
Текст из файла (страница 55)
и. пвядяльныя зядачи где причем р„(!) ограничена по абсолютной величине при всех а и всех ! из промежутка О ( ! ( 1, Из (121) вытекает: !Ьи (з ~1 + О ( з )~ ИЛН ит/Хи 1 + О 1( ) откуда и„(!) ~/- 31п — !+ О( — „). (132) Возвращаясь к старым переменным согласно (114) и (115), мы получим следующую асимптотнческую формулу: гр (х) 4 31п 1 ~ ~/ с(х + О ( ) (133) гг зги'тя ~ ' . "*' з где собственные функции ф,(х) нормированы согласно (126) и О )ч — г1 = —, где г„(х) огРаничена по абсолютной величине Г 1 Х г„ (х) 'чи) п при всех и и всех х из [а, Ь|. 92.
Метод Ритца. Уравнение — !р (х) у'1+(Хг (х) — р (х)! у = О г( г(х (134) есть уравнение Эйлера для интеграла ~ (р (х) ™ + д (х) уз] пх и (! 35) при дополнительном условии ь г (х) уз (х) ох 1, а , как мы видели, разыскание последовательных собственных значений и собтвенных функций сводится к экстремальным задачам для интеграла (135).
з(п !/Л„! = 3!и — + О ( — „), где 01 — 1= —, где г)„(Г) — ограничена по абсолютной ве. г 1ч уи(0 ~и1 — и личине прн всех а и всех ! нз (О,!). Подставляя зто в (131), по« лучим следующие асимптотические выражения для нормированных функций ии(!): ыитод питт|А (136) н подставляем ее в интеграл 1(у) ~ (р (х) у' + (у (х) — Лг (х)) уз) г!х. В результате получим квадратичную форму величин а|а"1. Приравнивая ее частные производные по а|"| нулю, придем к системе л однородных уравнений с и неизвестными а~~,"1. Полагая определитель этой системы рваным нулю, получим у|завненне и-й степени относительно Л. Корни этого уравнения Л||"|, ..., Л„"| могут быть приняты за приближенные значения первых и соб.
ственных значений задачи. Для каждого из них может быть найдена из упо мянутой однородной системы система чисел аь, и по ней, согласно (138), (и) построена соответствующая функция у, которая приближенно может быть принята за соответствующую собственную функцию. Сходимость этого про. цесса существенно зависит от выбора координатных функций о*(х). По этому попаду мы приведем лишь некоторые результаты из работ академика Н. М. Крылова (Мет. Зсй Май., 1931, 49). Положим, что уравнение имеет вид у" +Лг(х) у=б (г(х) > О). (137) Предельные условия берем в простейшей форме: у(О) = у(1) = О. Если поло. жить о„(х)=чг2 з!паях, то разность между истинным значением л и п-м приближением к этому числу может быть оценена следующим образом: 2Л,„гпах гж (х) (а + 1) пх ппц чУг (х) — 2лгв и|ах гз|з (х) нли (138) где А = (гпах г (к) — гп|п г (х)) .; В 2 и|ах г (х).
гпах г (х) ш!и г (х) В практических вычислениях часто пользуются не тригонометрическими функциями, а многочленами Положим, что мы по-прежнему имеем уравнение (137) с предельными условиями у( — 1) ~ у(1) = О, и примем о,(х) = = (1 — хз)х"-' (множитель (1 — х') обеспечивает удовлетворение предельных условий). При таком выборе функций о,(х) имеют место следующие оценки: Лф — Л,„Лф гп ах г (х) (139) Лю (и+ 1) (а+ 2) ( Это приводит к практически удобному способу приближенного определения собственных значений н собственных функций.
Мы уже описывали этот способ (метод Ритца) в применении к отысканию абсолютного экстремума ин. теграла. Берем последовательность линейно независимых функций пг(х), оз(х), ..., удовлетворяющих предельным условиям, составляем линейную комбинацию у ~ а'„"|о (х) ' з 1 230 ГЛ. Н. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Эта оценка справедлива, если предположить только непрерывность функции г(х). Если эта функция имеет еще непрерывную производную, то можно полу.
чить более точную оценку, а именно: где Более точная оценка получается в предположении существования второй непрерывной производной у функции г(х). 93. 11ример ритце. Приведем один пример приближенного вычисления собственных значений и собственных функций. В этом примере собственные значения и собственные функции могут быть определены точно в конечном виде, и это даст нам возможность выяснить быстроту сходнмости процесса. Приводимый пример находится в мемуаре Ритца (3, геше ппб апцечг.
Ма()г., 1909, 135). Рассмотрим уравнение у"+й'у=О при предельных условиях у( — 1) = у(!)= О, причем й' играет роль пара. метра Х. К такой предельной задаче приводит задача колебания струны, закрепленной на концах. Основной тон струны дается решением лх л у! =соя —, й! = — 1 2' 21 первый обертон— второй обертон— уз з!пах, йз=л; Злх Зл уз соз йз — н т, д. 2 ' 2 Ограничиваясь лишь двумя членами у (! — х') (а, + а,х') и подставляя их в интеграл ! 7(у) ~ (у з йз(з) эх -1 мы получим у) 315 Ь(!05 — 2й ) ао + (42 — 12й ) аоа! + (33 — 2й ) аД. Приравнивая нулю частные производные по ао н аз, придем н системе (35 — 14й') аз+ (7 — 2й') а, = О, (2! — бйз) ао -1- (33 — 2йз) аз = О, и равенство нулю определителя даст нам уравнение йо — 28йз + 63 О, Ищем приближенно четные решения в виде многочлена, расположенного по четным степеням х.
Общий внд такого многочлена, удовлетворяющего предельным условиям, будет у (1 — «')(ао+а!х + ... +а„х "). пРимеР Рит((а корни которого будут йз 2 46744' йэ з25,8. Иэ точных же решений, приведенных выше, получается: йв 2 467401100 ' ' йз ' 22 207' з Я йп* 4 з При втором приближении у (1 — хв) (аз+ а,ха+ азхв). Для определения йз будем иметь уравнение 4йв 45054 + 8 9!Ойз 19 305 0 иэ которого находим йз! = 2 467401108 ' йз = 23 301 Подставляя это полученное приближенное значение для йз! в коэффициенты системы, служащей для определения ав, а„ав, мы найдем и эти коэффи. циенты с точностью до постоянного множителя, которым можно распоря.
диться так, чтобы полученное решение удовлетворяло условию ! ув в(х = 1, — ! пх которому удовлетверяет точное решение у =соя —. Таким путем мы прн- 2 дем к следующему приближенному решению. у = (1 — хз) (1 — 0,233430хв + 0,018962х'). лх Насколько мало отличается у от соз —, показывает следующая таблица, 2 в которой приведены мантиссы десятичных логарифмов этих функций: Собственные эначеиия и функции, которые представляют собой нечетные функции х, можно приближенно искать в виде у (1 — х )(авх+ а,х + ...
+ алхза+'). ГЛ. 1!. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ $ Я. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 94. Ньютонов потенциал. Мы переходим сейчас к рассмотре. нию предельных задач для уравнений с частными производны. мн. Начнем с уравнения Лапласа. Мы уже решали задачу Ди. рихле для этого уравнения в случае круга и сферы. Кроме уравнения Лапласа, мы рассмотрим в настоящем параграфе и другие уравнения эллиптического типа. Для этих уравнений можно ставить задачи, аналогичные задачам Дирнхле и Неймана для уравнения Лапласа. Физически уравнения эти возникают обычно при рассмотрении статических задач или установившихся режимов. Напомним, что самое уравнение Лапласа получается, например, при рассмотрении электростатического поля и установившегося потока тепла.
Большое значение при рассмотрении предельных задач для уравнения Лапласа имеет ньютонов потенциал. Напомним основные определения, касающиеся ньютонова потенциала, а также введем и некоторые новые понятия. Пусть Р— ограниченная область трехмерного пространства, р(М) — непрерывная функция точки в этой области и г — расстояние от точки М до переменной точки А1 области Р. Потенциал объемных масс определяется, как известно, формулой Точно так же потенциал простого слоя, распределенного по поверхности 5 с плотностью 11(А1), определяется формулой и (М) = Д ~ ( ) и'з.
(2) Как мы знаем 111; 90, 2101, вне масс функции и(М) и п(М) имеют производные всех порядков н удовлетворяют уравнению Лапласа. Для дальнейшего изложения важно прежде всего указать те ограничения, которые мы будем налагать на поверхность 5, которую в дальнейшем будем считать замкнутой. Это было впервые точно сформулировано А. М. Ляпуновым в его работе «О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле» (1898 г.). Работа эта сыграла выдающуюся роль в развитии теории потенциала и иск(едовании предельных задач для уравнения Лапласа. В этом и дальнейших параграфах мы будем следовать изложению этой работы. На поверхность 5 налагаются следующие требования.
1. В каждой точке 5 существует касательная плоскость. 2. Существует такое д ) О, что если № — любая точка 5, то всякая сфера с центром № радиуса д или меньшего радиуса ньютонов потвнпихл (4) Через ($, кь ь) мы будем обозначать всегда координаты переменной точки Ф поверхности 5, а через (х, у, г) — координаты лю« бой точки М пространства. Указанные выше координатные оси назовем местными осями в точке №. Из существования касательной плоскости и ее непрерывного изменения следует существование и непрерывность производных пеРвого поРЯдка Цо(5, о1) и Ь„Д, т1).
Мы считаем, что 1( взито до. статочио малым. Например, можно принять условие аЫ'~(1, (б) так что угол бо между нормалью в № и нормалью в любой точке й1 куска поверхности 5, находящегося внутри сферы Со, ие достигает —. Обозначая через то расстояние УоУ(то ( т(), будем иметь соз 9 ) 1 бт) 1 аоста 1 1 о 2 о 2 о э (6) откуда (7) делит 5 на две части, из которых одна заключается внутри и другая вне сферы, и прямые, параллельные нормали к 5 в точке Фо, пересекают часть 5, находящуюся внутри упомянутой сферы, в одной точке.
3. Если 6 — острый угол, образованный нормалями к 8 в двух ее точках У1 и №, и т1, э — расстояние между этими двумя точками, то существуют два положительных числа а и а, не за. висящих от выбора № н №, таких, что имеет место неравенство: б~~ато, (и(~1) (3) при любых положениях № и Уо на 5, Замкнутые поверхности, удовлетворяющие этим условиям, называются обычно поверхностями Ляпунова. Дальше мы вве. дем еще некоторые предположения относительно 5, а сейчас вы. ведем из сделанных предположений некоторые следствия. Из (3) непосредственно следует, что касательная плоскость меняется непрерывно при перемещении точки касания вдоль по. верхности. Укажем теперь важное для дальнейшего следствие из третьего условия.
Пусть )Уо — некоторая точка поверхности 3, Поместим в ней начало координат, ось Я направим по внешней нормали к 5 в 7то, а оси Х н У расположим каким-либо образом в касательной плоскости. При этом можно представить в явном виде уравнение куска 5, заключенного внутри сферы Со с цен. тром № и радиусом ай йз4 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
