1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 54
Текст из файла (страница 54)
При указанном изменении р(х) и д(х) дополнительные условия (109) остаются прежними, а интеграл (108) может только увеличиться при фиксированной функции у. Поскольку совокупность функций у остается прежней при упомянутой замене коэф. фициентов, и точная нижняя граница гп(гп ..,, г, 1) значений что и дает окончательно теорему Куранта. Следствие. Если мы примем г~ =~р~(х), ...,'г„~ = ~р, 1(х), то, как мы видели выше, наименьшее значение инте. трала (108) при условиях (109) будет равно в точности Л„и будет достигаться при у = ~р„(х). Таким образом, мы можем сказать, что Л„есть наибольшее значение всевозможных нижних границ т„(гь ..., г„,) значений интеграла (108) при дополнительных условиях (109) в классе функций у(х), удовлетворяющих предельным условиям и имеющих нгпргрывныг производныг до второго порядка, причем это наибольшее значение точных нижних границ достигается при гч = ~рг(х) и у = щ„(х), Это максимально-минимальное свойство собственных значений Л„остается справедливым для широкого класса уравнений с частными производными и играет основную роль при исследова.
нии собственных значений. 90. Асимптотическое выражение собствеиныхзначеиий. Заменим в уравнении (1) р(х) и д(х) новыми функциями р~(х) и д1(х), не меньшими прежних во всем промежутке р,(х)) р(х); а~(х))о(х) (а(х(~Ь) (р (х) > 0; г (х) > О). 272 ГЛ. Н. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ интеграла (108) во всяком случае не уменьшится, а следовательно, не уменьшится и наибольшее из чисел т(г1, ..., е, 1), т. е.
2,„. Что и требовалось доказать. Оставим теперь неизменными функции р(х) и о(х) и заменим г(х) на г,(х), причем г1(х) ) г(х) при а < х < (1. В этом случае нельзя уже говорить о сохранении класса конкурирующих функций у, ибо если у удовлетворяет первому из условий (109), то после подстановки вместо г(х) функции г1(х) будем иметь ь ~ г, (х) у' йх ) 1.
а Легко, однако, из функции у получить допустимую функцию новой задачи. Для этого достаточно подобрать число О, удовлетворяющее условию 0 < 0 < 1 так, чтобы ь .,(х) О уь йх = !. а Нетрудно видеть, что функция Оу удовлетворяет и остальным условиям (109), правда, для других функций гь(х). Действительно, так как 0 есть постоянная, то из (109) вытекает, что ь Хь (Х) Г (Х) г1(х) ь (х) Оуйх=0 (й=1, 2, ..., й — 1). г, (х) а Но это и есть опять условия вида (109) для видоизмененного уравнения, причем вместо функций га(х) здесь взяты функции х (х) г (х) Яь (х) = г,(х) Каждой системе функций гь(х) будет соответствовать система функций йь(х), и наоборот.
Обратный переход от функции Оу для преобразованного уравнения к таким же функциям для первоначального уравнения будет совершаться при помощи деления Оу на 8. При замене у на Оу значение интеграла (108) не может увеличиться. Следовательно, не может увеличиться и точная нижняя граница этих значений, а потому не может увеличиться и число ) „, являющееся наибольшей из этих точных нижних границ. Мы приходим, таким образом, к следующему общему предложению: если измененные коэффициенты р1(х) и д1(х) удовлетворяют условию (112), то собственное значение )1„ не может уменьшиться, а если измененный коэффициент г1(х) удовлетворяет условшо г1(х) ) г(х), то 7 не может увеличиться. Применим доказанное предложение к асимптотической оценке собственных значений ),„при больших значениях а.
Пусть ю1 асимптотическое выважвнив совстввиных значении втз (р, Р), (д, Я), (г, Я) — наименьшие н наибольшие значения функций р(х), п(х), г(х) в промежутке ]а, Ь]. Заменим в заданном уравнении (1) р(х) на Р, д(х) на Я и г(х) на г. Полученное новое уравнение с постоянными коэффициентами: Ру" + (Аг — Я) у = О, (!! 3) будет иметь собственные значения Х'„, во всяком случае не меньшие, чем собственные значения Х„первоначального уравнения.
Но мы легко можем найти А,'. Для этого заметим прежде всего, что уравнение (113) может иметь решение, удовлетворяющее Хг — О предельным условиям (95) только в том случае, если — > ) О. Принимая это во внимание, мы напишем общий интеграл уравнения (1!3) в виде I аг — Я аг — 0 у=С1 сов ~~ Р х+С,з1п, х. Для простоты в дальнейших вычислениях примем за основной промежуток [а, Ь] промежуток [О, !]. Из предельного условия у(О) = 0 следует С1 — — О, и второе предельное условие у(!)=О дает нам уравнение для определения Х, а именно: откуда яз я' зз — Р+ Я и лз — Р+ я и Х'„=, и, следовательно, Х„з~ Совершенно так же, заменяя Р(х), п(х), г(х) соответственно на р, д, Я, мЫ докажем, что яг лз-э- р+ д ~л~~ л и получаем таким образом следующую оценку для собственных значений: я2 , пз лз — Р+ 0 Р и+1 ~1эл~~ Отсюда вытекает, что Х„при больших и есть величина порядка и' и ряд 1 л ! есть ряд сходящийся.
Пользуясь максимально-минимальным свойством Х., можно получить более точную оценку, если предварительно преобразовать исходное уравнение. Предположим, Ач! Асимтотическое ВЫРАжение для совств Фтикции 27$ и обозначим через Л', и Л" ,соответствующие собственные зна. чения, то получим Л'„>Л >Л'„'. (1!9) Но числа Л,' и Л'„' вычисляются элементарно из решений уран пений и" + (Л вЂ” а) и = 0 и иР + (Л + о) и = 0 при предельных условиях и(0) = и(!)=О, и мы имеем а2я2 „ я2я2 Л„' = —, + а; Л'„' = —, — а. В силу (119) получим Л„= —, + А„(!А„!~о) (120) или Л„= — ",',"' + О(1), (121) где через 0(!) мы, как всегда, обозначаем величину, которая остается ограниченной по абсолютной величине при всех значе.
пнях и. Возвращаясь к старым переменным, получим (122) н, следовательно, (123) Точна такие же асимптотические выражения собственных зна. чений мы получим н для других предельных условий. Это непосредственно получается, если рассмотреть уравнение и" + ри = =0 для различных предельных условий. 91.
Асимптотическое выражение для собственных функций. Имея асимптотическое выражение для собственных значений, мы можем получить и асимптотнческие выражения для собственных функций, пользуясь тем же самым методом, который мы при. меняли раньше при выводе асимптотических выражений полино мов Эрмита и Лежандра [! И2, 163, 1641. При помощи указанного выше преобразования переменных мы можем привести наше уравнение к виду (116): иР(!)+ (Л вЂ” з(г)) и(!) = О. При больших значениях п собственные значения Л„будут, как мы знаем [781, положительными, и в дальнейшем мы будем гл и пгвдгльные злдлчи 276 считать, что п настолько велико, что Х„) О. Пусть и, (1) — собственные функции, соответствующие собствс" .ым зпз ~ч '., Мы можем написать: и,"(1) + А,и,(1) = з (1) и„(1), и получим и„(1) = а„з!п ~/Х„1+ Ь„соз т/Х„1+ + — ~ з (т) и„ (т) з)п !/Х„ (1 — т) Нт.
1 о ()24)~, т 8 ч2 г ~ г (т) и„(т) з!и т/Г„(1 — т) д1~ (~ и'„(т) г(т ~ зз(т) з!пз „/Л„(1 — т) г(т, о о о откуда следует, что при всяком 1 из промежутка (О, 1] с с -!з ~ з(т)и„(т) з(п ~/Ли (1 — т) г(т~ ~(~ ~(т)г(т, ()25) о о причем мы приняли во вниманнр нормированность функций и„(1). Пусть ~р„(х) — собственная функция исходного уравнения (!), получаемая из и„(1) при помощи преобразований (((4) и (()5). Из этих преобразований непосредственно следует ь ~ г (х) ~р'„(х) а!х = ~ и'„(1) Ж = (, т.
е. обычная нормировка и„(1) равносильна нормировке ~р,(х) с весом г(х). Предельное условие и(0) = 0 дает нам Ь„=9, и мы можем переписать формулу ()24) в следующем виде: и„(1) = а„з!п 1/~.„1+ —" ~/л„ где, в силу неравенства (!25), функция гп„(1) остается ограниченной при всех целых положительных и и всех 1 из промежутка [О, 1], т. е.
существует такое положительное число А, что ] т„(1) ] ( (А. ((28) Возводя обе части (!27) в квадрат, интегрируя по рсновному промежутку н принимая во внимание нормированностй функций Применим к интегралу, стоящему в правой части, неравенство Буняковского: ил(1), можем написать: с 1 = ао ~ з)по Л/Лл (с(1+ —" ~ ил (1) з)п Л/Лл 1с(1+ — ~ ио (1) с(1.
о о ло Первый из написанных интегралов вычисляется до конца, а остальные два, в силу условия (128), будут ограниченными по абсолютной величине при всех значениях и. Таким образом мы получим по по 1 л р + о1о 2 ~Лл 1 ал 1 2 л 4Ч/Лл л -~Л л Лл л' (! 29) где Рл и с1„остаются ограниченными по абсолютной величине при возрастании и. Вынесем в правой части а'„за скобки: ' ~1 Мозг/Л„с 1 л 2 4,1/Л + 17Л Рл+ оЛ '7л л л л лл л Если бы при возрастании гс мы встречались со сколь угодно большими значениями ао, то при таких значениях п выраже- 1 ние, стоящее в скобках, стремилось бы к пределу —, отличному 2 ' от нуля, и произведение, стоящее в правой части последней формулы, не могло бы равняться единице.
Отсюда мы можем заключить, что ал остается ограниченным при возрастании и. Принимая это во внимание, мы можем переписать формулу (!29) в виде 1= — по+ О(=), (130) Г 1 где, как всегда, через О ~ — ) мы обозначаем такую величину„ Лхл ) / 1 что произведение хл . О ~ †„ ) остается ограниченным при бес«л предельном возрастании п. Мы можем переписать последнюю формулу следующим образом: 2+ откуда вытекает: ах = ~/ — + О( — ). Подетавляя это в (127), получим ил(Г)= ~/ з1п Л/Л„1+ О( — ), (131) ос! АСИМТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ СОБСТВ. ФУНКЦИИ 2тс' гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
