1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Все функции, стоящие под знаком интеграла, ограничены, и из (67) следует, что ~ Льфьь(х)(М, где М вЂ” некоторая постоянная. Заменим Ль на ~/Ль Т/Ль и применим к отрезку ряда (65) неравенство Коши а(~."р /а(+р (л ар 2: Л,[с„фь(х)[~ ~Ч~/ ~ Льсрь ~: Льф'„(х) (68) или р(+ р /т-р р ~ Л (с фь(х))( Р1(/ 2' Л сьь у/М, (69) Мы имеем ь л-1 чь оа= ~ р(х)~[/'(х) — ~ч) сь(р,',(х)~ а(х= а Е Ь-1 ь а-1 =(л( )[Г(*) — Л .а)( )1 '.(*)Р— а ь-! ь ь = ~ р(х) /'(х) га(х) а)х — (~) сь ~ р(х) !р'(х)г'„(х)((х.
Ь 1 а и из этого неравенства и сходимости ряда с членами Л,с' непосредственно следует, что ряд (65) сходится равномерно на промежутке [а, ()1, т. е. ряд (62) сходится регулярно. С другой стороны мы знаем, что его сумма равна /(х) [!У)13). Приведем еще одно доказательство теоремы разложения без предположения д(х) ) О и прн прежних предположениях относительно /(х). Оно также принадлежит В. А.
Стеклову. Вводя обозначение (58), докажем прежде всего, что существует такая постоянная С (не зависящая от и), что ь о ~ р(х)~г(х)дх(С а 266 ГЛ. 11. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Интегрируя последний интеграл по частям и принимая во вни. мание (56), а также ортогоиальность г„(х) к функциям [рь(х)' (Ф = 1, 2, ..., п — 1), получим ь ь ь о„= ~ р (х) [' (х) г'„(х) [[х + ~ д (х) г„(х) 1 (х) йх — ~ [1 (х) г'„(х) [(х, а О О откуда, обозначая через [ть наибольшее значение ~д(х) ~ в про. межутке (а, Ь1 и применяя неравенство Буняковского, причем в первом интеграле заменяем р(х)= 1/р(х) 1/р(х), получим /ь о„('~/ ~ р(х) [' (х)[[х ~/о„+ а ь [[ь ь + ча ~ 11 (Х) дХ ~/ ~ ГЗО (Х) Ь[Х + ОО ~ ГЗО (Х) О[Х. а а а Принимая во внимание, что, в силу уравнения замкнутости, ь Б[п 1 г'„(х) [ь'х = О, а+в 4 а мы получаем для оа неравенство вида О„»(С[ ~О„+ СЗ, где с[ и сь — положительные постоянные.
Из этого неравенства видно, что о, при возрастании п остается ограниченной, и мы получаем (69). Далее из Х д г'„(1) г11 = т'„(х) — г'„($) л Ф следует, что Х гь (х)=гз ($)+ 2 ~ г (Г)г' (1)Ж, откуда, применяя неравенство Буняковского и считая $ (х, по. лучим [[Х [[ Х г~ (х)( »гз $) + 2 х~/ ~ г'„([) Ж ° х~/ ~ т'„~ ([) Ж ~ /ь /ь (» г~ (6) + 2 ~/ ~ г' ([) [[[ ° ~/ ~ г'„~(!) [й.
а О В случае х ( $ мы должны поменять пределы интегрирования $ и х. Интегрируя обе части по $ на промежутке [а, Ь|, по. лучим ь /ь 1ь (Ь вЂ” а) го (х) (~ ~ г~ ($) о($ + 2 (Ь вЂ” а) '1„I ~ г'„(1) ь(1 ° ~/ ~ г„'~ (1) Ж. ь и и Обозначая через ро наименьшее значение положительной функ- ции р(х) в промежутке [а, Ь), можем написать, в силу (69), что ь ь г„'~ (1) Ж ( — ~ р (1) г„'~ (1) о(1 ( —, Ро,ю о и предыдущее неравенство дает ь /ь го (х) ~( — ~ го(1) ь(1+ 2 ~( — ь~~/ ~ го (1) Ж.
Г Гс ~ Ро Правая часть не зависит от х и при беспредельном возраста. нии и стремится к нулю, откуда следует, что г„(х) — о-0 равномерно в промежутке [а, Ь], т. е. ряд (62) равномерно сходится в этом промежутке и его сумма равна 1(х). Можно доказать и без предположения д(х) ) О, что ряд (62) регулярно сходится. 85. Оправдание метода Фурье для уравнения теплопроводности. Рассмотрим уравнение с частными производными: ди д г диз — = — [р (х) — 1 — о) (х) и, д1 дх [ дх[ (70) которое соответствует распространению тепла в неоднородном стержне с учетом лучеиспускания с поверхности стержня. Счн- тая а ( х ( Ь, будем искать решение уравнения (70) при на« чальном условии и 1о-о=1(х) (а(~х~(Ь) (7!) и предельных условиях и(„,=0; и(„ь=О. (72) Применяя метод Фурье, получим решение задачи в виде и(х, 1) = ~ сье ~о'ори(х), (73) А 1 где Хо и оро(х) — собственные значения и собственные функции уравнениЯ вЂ” [р (х) у') + [Х вЂ” д (х)3 у = 0 (74) оо) метОд ФуРье для уРАВнения теплопРОВОдности 257 гл.
и. ппвдвльныв з»д»чи Газ при предельных условиях у(а) =у(Ь) =О, (75) и с» — коэффициенты Фурье (69) функции Ях). Будем считать, что а(х) ) 0 и что ((х) имеет непрерывную производную в (а, Ь] и удовлетворяет предельным условиям (72). Отметим, что все Л» — положительны, ибо д(х) ) О.
Покажем, что функция (73) удовлетворяет всем условиям задачи, т. е. удовлетворяет (7!), (72), а также уравнению (70) при г) О. Как мы доказали, ряд (73) регулярно сходится в промежутке (а, Ь]. Принимая во внимание, что Л»-) О, можем утверждать, что ряд (73) сходится абсолютно и равномерно при !) 0 и а < х < Ь. Тем самым его сумма есть непрерывная функция при указанных значениях аргументов, т. е.
)!гп и(х, г) = и(х, 0) = ~ с»~р» (х) = ! (х). г-»+о »-1 Этим доказано выполнение начального условия (7!). Предельные условия (72) выполняются в силу того, что все функции ф»(х) удовлетворяют условиям (72). Остается проверить уравнение (70) при ! ) О. Каждый член ряда (73) удовлетворяет уравнению (70) по самому его построению, и нам достаточно показать, что ряд (73) можно почленно дифференцировать один раз по г и два раза по х, а для этого достаточно показать, что ряды О ~ Л»с»е "»'ф»(х); (76~) » 1 с е ~»'~р' (х); (76») ~ с»е» <р»" (х) (76з) »-1 равномерно сходятся при ! ) с», где и — любое положительное' число, н при а < х < Ь.
Так как Л»-»-+со при Ь-»-+со, то Л»е "' — О, и Л»е» <Л,е»' при 1) с», т. е. существует такое й! (не зависящее от г), что Л„е» < ! при г ) а и Ь ) ЛГ. Отсюда, принимая во внимание равномерную сходнмость ряда (63), получаем равномерную сходимость ряда (76~) при ! ) а и а<х<Ь. Совершенно так же доказывается возможность почленного дифференцирования ряда (73) по г сколько угодно раз при ! ) О.
Для исследования следующих рядов напишем выражение (64) для гр»(х), пользуясь (7): х ь (р» (х) Л»у~ (х) ~ у, ($) <р» Я) г$ + Л»у» (х) ~ у, Я) <р» ($) г$, » х метод оттьв для тглвнвння колевхнии 2б9 откуда Х ь ~рь (х) = Л„у', (х) ~ у ($) Ф„(б) йб + Л у,' (х) $ у, (К) ~р ($) а$ н сье " ~р'„(х) = я ь =у',(х)~ у (б)Л е ~ьрь(В)об+у'(х) ~ у,(б)Лье ~ь~Ф ($)Щ.
(77) а е Принимая во внимание равномерную, относительно х, сходи. масть ряда (761) в промежутке (а, Ь1 при 1) О, мы можем утверждать, что ряды ~ Уэ($)Лье " фьЯ) и ~„, У1(б)Лье ь~Рь($) ь 1 ь 1 равномерно сходятся в промежутке (а, Ь], откуда, в силу (77), следует и равномерная сходимость ряда (76а). Остается иссле. довать ряд (76ь). Для этого воспользуемся уравнением (56) для собственных функций.
Из него следует: с„е ~ь'~р'„'(х) = — [ — р' (х) с е ь'~р'„ (х) + +д(х)сье ~ь~Фь(х) — Лье„е ~"~щ(х)), (78) и отсюда, в силу равномерной сходимости рядов (73), (76,) и (76,) в промежутке (а, Ь) при любом 1) О, следует и равномер ная сходимость ряда (76ь). Тем самым доказано, что функция и(х, 1), определяемая формулой (73), имеет соответствуюцгие частные производные и удовлетворяет уравнению (70) при () О. Мы получаем таким образом следуюгцую теорему: Теорема. Если функция 1(х), входящая в начальное условие, имеет непрерывную производную в промежутке (а, Ь) и удовлетворяет предельным условиям (72), то функция и(х,1), определяемая формулой (73), удовлетворяет начальному условию (71), предельньгм условиям (72), а также уравнению (70) при 1) О. Возможно почленное дифференцирование ряда (73)' по 1 любое число раз и по х два раза при 1) О.
86. Оправдание метода Фурье для уравнения колебаний. Рассмотрим теперь, вместо (70), уравнение дьи д Г диз дд = д '1Р(х) д ~ Ч(х)и. Здесь, кроме предельных условий (72), мы имеем два началь. ных условия; и 1~ ь 1(х); ф,, )1(х), (80) гл и пьвдвльньш з»д»чи !»6 и применение метода Фурье дает решение задачи в виде О и(х, 1)= ~' (а»совал»!+Ь»з(п 3/Л»1)ф»(х), (81) »-! где Л» и ф»(х) имеют прежние значения, а ь ь ໠— — ~ ! (х) <р»(х) ь(х; Ь» — — — ~ 1! (х) !р»(х) ь(х.
! О .1(Л„ (82) Как и в [85], нам достаточно показать, что ряд (81) и ряды, которые из него получаются при двукратном дифференцировании по 1 и х, будут равномерно сходяшимися в промежутке [а, Ь] при любом 1. Разобьем ряд (81) на два ряда и будем сначала рассматривать ряд ~„ а» соз т!!Л» гф»(х). » ! (83) Л» [а»ф»(х) [ »-! (84) равномерно сходится в промежутке [а, Ь], то отсюда, повторяя буквально рассуждения из [85], мы докажем все указанные выше утверждения о почленном дифференцировании ряда (83) Действительно, зто очевидно для самого ряда (83), ибо Л»-ь +со, а для рядов, которые получаются дифференцированием и!р 1,— в силу того, что Л[Л» (Л„при всех достаточно больших Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
