1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(28) Если у(х) есть некоторое решение этого уравнения, удовлетворяющее предельным условиям, то, поскольку сре(х) удовлетворяет однородному уравнению и предельным условиям, сумма у(х)+ с!ро(х) при произвольном постоянном С также будет удовлетворять уравнению (28) и предельным условиям; и для определения произвольной постоянной с мы введем еще новое до. полнительное условие, а именно условие ортогональности функ- ововшвинья атнкция ггина ции 0[х, $) к функции фо(х): ь ~ [6(х, $)]фо(х)с(х=О.
(29) о Наличие правой части в уравнении (28) имеет простой физиче. ский смысл. Если Х = О есть собственное значение задачи, то мы имеем резонанс при частоте, равной нулю, и нам не удается получить конечное статическое отклонение при наличии сосредоточенной силы. Чтобы получить такое отклонение, мы должны, кроме сосредоточенной силы, добавить непрерывно распределенную силу, что и характеризуется добавлением правой части в уравнении (28).
Будем строить обобщенную функцию Грина аналогично тому, как это мы сделали в [741. Пусть оо(х) есть какое-либо решение неоднородного уравнения 7-(оо) = фо(ь) фо(х) (30) и ф1 (х) — решение соответствующего однородного уравнения, линейно-независимое с фо(х) и такое, что р (х) [фо (х) ф', (х) — ф, (х) ф,'(х)1 = 1.
(31) Вспоминая, что общий интеграл неоднородного уравнения есть сумма его решения оо(х) и общего интеграла однородного уравнения, мы должны положить: 6(х; $)=оь(х)+с,фо(х)+соф~(х) (х($), 6(х: $) = оо(х) + софо(х)+ сьф, (х) (х~)$). (32) Эта функция должна удовлетворять предельным условиям (2).
Принимая во внимание, что фо(х) удовлетворяет этим условиям, получаем два равенства: а,оь(а) + а оо'(а) + с,[а ф, (а) + аоф1(а)) = О, й,оь (Ь) + р оо' (Ь) + с, [й,ф, (Ь) + (),ф',(Ь)) = О, из которых определяются со и сь Коэ' фициенты при со и сь от. личны от нуля, так как ф1(х), линейно-независимое с фо(х), ие может удовлетворять ни одному нз условий (2) [74). Условия непрерывности в точке х = 5 и разрыва производной в этой точке приводят, к следующим двум равенствам: (с1 со) фо (ь) + (ся сь) ф| (ь) О~ [с1 — со) фо (э) + [со — со) ф1 ($) = 1: р Я), которые могут быть, в силу (31), переписаны в виде сь — с, = — ф1 ($); со — с„= фо Я).
(34) ГЛ и. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЮО Остается еще удовлетворить условию (29). Постоянные сз и со уже определены формулами (33). Первое из равенств (34) дает с~ — — сз — ф~(е). Подставляя в первую из формул (32), мы сможем определить со из условия (29) н с~ определится по только что написанной формуле. Все постоянные уже определены без использования второго из равенств (34), и нам остается проверить тот факт, что со и св определенные по формулам (33), удовлетворяют второму из равенств (34). Напишем для этого формулу (14): фо(х) ~(в) — в(х) 7-(фо) = — „~р(х)(фов' — вфла)). Проинтегрируем обе части этого равенства по основному промежутку]а, Ь].
Принимая во внимание равенство 7.(фо) = О, уравнение (30) и нормированность функции фо(х), получим фо (е) = (.р (х) (фо" вфоЦ (36) Второе из равенств (34), которое нам надо проверить, может быть записано, в силу (33), в виде Р,в (Ь) + Ров'(Ь) а,в (а) + аов' (а) Збр фо (6У. ~36 РГР1(Ь)+Роф1(Ь) а ф~(а)+а ф,(а) Для фо(х) мы имеем предельные условия: аф,(а)+а,ф'(а)=0; р,ф (Ь)+й,ф'(Ь)=0. (37) Написав равенство (31) при х = а и х = Ь, сможем определить из полученных равенств и равенств (37): ф,(а), ф,'(а), ф (Ь) ф,'(Ь), Подставляя полученные выражения в доказанное равенство (35), придем к равенству (36), Проделаем вычисления для предельных условий: у(а) = у(Ь)=0, т. е.
для того случая, когда аз = ро — — О. При этом формула (36) перепишется в виде ф (е) = р (а) в (а) ф,' (а) — р (Ь) в (Ь) ф, (Ь). Формула (31) при х = а и х = Ь даст р (а) ф, (а) фо (а) = р (Ь) ф, (Ь) ф', (Ь) = — 1, т. е. р (а) ф' (а) = — —; р (Ь) ф' (Ь) = —— о ф, (а) ' о р,(Ы' и подставляя в предыдущую формулу, получим — = фо(Е)~ в (Ь) в (а) ф~(Ь) ф,(а) а это и есть равенство (36) в случае ао —— йо = О. Для доказательства симметричности обобщенной функции Грина мы напишем два уравнения: 7 (О (х; оь1)] = фо Я1) фо (х) ~ 7 (О (х| оьо)] = фо (оьо) фо (х). Умножая первое на 6(х, $о), второе на 6(х; $1), вычитаем почленно и интегрируем по основному промежутку.
Пользуясь фор- Ововшзнняя Фэнкция ГРинА 243 мулой Грина, предельными условиями и условием (29), мы при. дем к равенству [Р(х)(6(х; ьь)6'(х; ь1) — 6(х; ьь)6'(х; ьь))] -з+о+[ ] - +о=0. откуда и получится непосредственно, как и раньше, 6(вь $ь)= = 6($ь $~). Отметим, что при интегрировании по основному промежутку нам надо так же, как и в [76], разбить этот про- межуток на три части. Обратимся теперь к рассмотрению неоднородного уравнения й (у) = — [(х), (38) где [(х) — заданная непрерывная функция, ортогональная к ььь(х). Уравнение (38) может иметь только одно решение, удо- влетворяюшее предельным условиям и ортогональное к уь(х).
Действительно, если бы их было два, то их разность должна была бы удовлетворять однородному уравнению и предельным условиям, т. е. должна была бы иметь вид сщ(х) и не могла бы быть ортогональной к ~рь(х). Покажем теперь, что это единствен- ное ортогональное к ~рь(х) решение уравнения (38) определяется формулой ь у (х) = ~ 6 (х, $) [ (5) с$. (39) а Действительно, разбивая промежуток интегрирования на части [а, х] и [х, о], мы докажем, как и выше в [75], что ь- (у) = ~ Ь [6 (х, ь)] ь (ь) дь — 7 (х).
Пользуясь уравнением (28), мы получим отсюда ь (. (у) = рь(х) ] рь(з) ) (з) Нз — 1(х), а а из этой формулы непосредственно вытекает (38), поскольку, по условию, [(х) ортогональна к Чьь(х). Итак, если [(х) ортого- нальна к фь(х), то уравнение (38) имеет единственное решение, удовлетворяющее предельным условиям (2) и ортогональное к <рь(х), и это решение определяется формулой (39) Если г(х) — любая функция, ортогональная к ьрь(х), удовле- творяющая предельным условиям и имеющая непрерывные производные до второго порядка, то, полагая [(х) = — 7.(Р), мы можем выразить Р(х) формулой (39). Для доказательства этого утверждения нам достаточно убедиться в том, что построенная нами функция Цх) ортогнальна к фь(х).
Для этого напишем формулу Грина (14) для и=уз(х) и о=Р(х). Принимая во внимание, что С(ьрь)=0 и предельные условия для ~рь(х) (г гл и пгвдвльныв злдлчи 244 Р(х), мы путем интегрирования упомянутой формулы Грина по основному промежутку и обнаружим ортогональность функций фз(х) и 1(х). Отметим еще, что формула (39) при любом выборе непрерывной функции 1(х) дает функцию, ортогональную к уэ(х), поскольку ядро 0(х, $) обладает этим свойством. Обратимся теперь к предельной задаче для уравнения .(. (у) = — „„(р (х) у'] — д (х) у = — Ху (40) с предельными условиями (2). Всякая собственная функция этой задачи, отличная от уэ(х), т.
е. соответствующая собственному значению, отличному от нуля, должна быть ортогональной к <рэ(х) и, принимая во внимание все сказанное выше, мы видим, что поставленная предельная задача (с исключением функции ~рз(х) ) равносильна интегральному уравнению ь у (х) = Х ~ 0 (х, $) у Я) о$. я (41) Обратимся теперь к теореме разложения по собственным функ. циям для написанного уравнения.
Нам надо выяснить вопрос о представимости функции через ядро. Выше мы видели, что всякая функция, имеющая непрерывные производные до вто рого порядка, удовлетворяющая предельным условиям и орто. гональная к <рэ(х), представима через ядро, и, следовательно, для всякой такой функции мы будем иметь абсолютно и равно. мерно сходящееся разложение в ряд Фурье по собственным функциям уравнения (41). Отметим, что дополнительное условие ортогональности разлагаемой функции к ~рз(х) является необходимым, поскольку все собственные функции уравнения (41) ортогональны к <рэ(х).
Из последнего факта непосредственно вытекает, что ядро уравнения (41) не будет полным. В указанной выше теореме разложения, как всегда, можно непрерывность второй производной заменить ее кусочной непрерывностью. Отметим еще другой, более элементарный метод, при помощи которого можно рассмотреть тот случай, когда Х = 0 есть собственное значение.
Уравнение (41) будет иметь собственное значение, наименьшее по абсолютной величине, и пусть гп — его абсолютная величина'. Внутри промежутка 1 — т, +гп] будет иметься единственное собственное значение Х = 0 нашей пре* дельной задачи.,Возьмем внутри указанного промежутка какое- нибудь значени~ Х', отличное от нуля, и введем вместо Х в уравнение (40) новмй параметр р, полагая ) =ьХ'+)х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
