1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Умно. жим это решение Н, (й») на такой постоянный множитель, что. !т! 1 бы сингуляриость при» = О сводилась к!и —. Мы получим та. г ким образом решение о= "НОЯ(й»). 2! (261) Как и выше, можно показать, что принципу излучения будут удовлетворять и решения Н' ~(я»)свата; Н'~(й») япт<р (т=1, 2, 3, ...). (262) 131. Теорема единственности.
При наличии принципа излучения может быть доказана теорема единственности, т, е. если функция о удовлетворяет вне некоторого замкнутого контура 1 уравнению (252), на бесконечности принципу излучения и на контуре 1 однородному предельному условшо, например уело« ди ~ вию о1! = О или — ~ =О, то она тождественна равна нолю. ди !! Применим формулу ди! ди, Х ~ (и, Лиэ — и~ Ьи!) д т = ~ ~ (и! —. — из — ) г(з (263) ди ди ) де~ в, ! ~ Г ди — ди дг — = — 1йо+о (» '); — =(яд+о (» дг н таким образом мы приходим к равенству ! х » 2(й ~~ о Рдз+ ~ о ° о(» 2)а!з+ ~ о ° о(» ')с(з=О. Так как .1/» о и т/» д ограничены при»-! оо, то последние два слагаемых стремятся к нулю, и, вводя полярный угол !р иа к области Вн ограниченной изнутри контуром 1 и извне окруж. востью 5, с центром в некоторой фиксированной точке и достаточно большим радиусом, и положим и! = о и иг — — б, где б— комплексно сопряженная с о.
Считаем, что о непрерывна вплоть до 1 и имеет правильную нормальную производную. В силу (252) двойной интеграл будет равен нулю, и, в силу предельного условия, интеграл по 1 также будет равен нулю. Останется интеграл по 5„ и иа этом контуре направление и совпадает с направлением г. Условие (257) дает нам возможность заменить' гл. и, песдвльныи злдхчи окружности 5„мы имеем 2л ~ ~ ага ~ г1ф-+О. о (264) Применим теперь формулу Грина к решению и и к первому из решений (262). Двойной интеграл по-прежнему сократится и останутся интегралы по 1 и 5„а потому величина интеграла по 5, не зависит от г. Оба взятые решения удовлетворяют принципу излучения, причем решения (262) удовлетворяют условшо (267) в усиленной форме, как и решение Нь'(йг).
Пользуясь, как н выше, условием (257), мы получим, что интеграл по 5, стремится к нулю, н поскольку его величина не зависит от г, он просто равен нулю, т. е. Г да нР~~ (ьг) Н '(йг) ~ — сов пгфсйр — ™ ~ псозпнрсйр=О. ) аг дг зг з~ Если положить 1 л (г) ~ о соз ггнр Йд, то это дает Н"' (йг) 1 (г) = — 1 (г), сш~~~ (ьг) откуда 1 (г) =- с Н<н(йг), где г — постоянная, причем гл = =0,1, .... Совершенно аналогично получим для а (г) = ~ о з!и т~р Йр Б выражения д (г) = г( Н'~(йг), где д — тоже постоянная. Уравнение замкнутости (1Чп 3] и формула (264) показывают, что при фиксированном ш и г- со с,„.~~гН'„' (Аг) и г(,„~7г11'„,'(йг)-+ О.
Но из асимптотического выражения Н (йг) следует, что и) ~/гН (йг) остается по модулю большим некоторого положив~ тельного числа при больших г, откуда следует, что с = д =О, т. е. )„(г)=п„(г) =О, а отсюда вытекает, в силу уравнения замкнутости, что и равно нулю на окружностях 5,. Если 1 есть окружность, то, взяв за 5, окружности, концентрические с 1, мы получим, что и тождественно равно нулю впе 1, что н требовалось доказать, В случае 'общего контура преды- 1321 принцип ппвдельнои амплитуды и поглощения 396 дущие рассуждения показывают, что о обращается в нуль в окрестности бесконечно далекой точки.
Дальше мы покажем [1321, что о(х, у) должна быть, как н для уравнения Лапласа, аналитической функцией, н, согласно принципу аналитического продолжения, из обращения о в нуль в окрестности бесконечно далекой точки следует, что о = 0 везде вне й Совершенно аналогичным образом теорема единственности доказывается н в трехмерном случае. 132. Принцип предельной амнлнтуды и принцип предельного поглощения.
Как н в предыдущем пункте, можно показать, что условие излучения выделяет единственное решение ураннення да+ асс = — Е (Р) (й > О), (2гйс] определенное во всем пространстве Будем считать Г(Р) непрерывно днфферснцнруемой функцией точки трехмерного эвклидова пространства, определенной во всем пространстве и равпон нулю впе некоторой конечной области О.
Тогда указанное решение оцрсделястся равенством (Р]= — „Ш вЂ” ', Р(О]НтО ( =]Р()]]. (264») о К нему же мы придем, рассматривая нестационарную задачу о вьснуждснных колебаниях, происходящих под дсйствисм периодической силы. Именно, испо. средственно из формулы Кярхгофа (П; 212] следует, что о (Р) = ]ип и (Р, 1) е с-»+ где и(Р, 1) есть решение волнового уравнения аи — исс= — Р(1')с сас удовлетворяющее нулевым начальным условиям.
Поэтому про рсшгнис о(Р) говорят, что оно есть «предельная амплитуда периодического колебания, уста. навливаюшегося прн больших 1 под действием периодической силы». Такой принцип выделения решений уравнений (264~) называется принципом про. дельной амплитуды с(рутой принцип выдсленяя решений уравнения (2641), так называемый принцип предельного поглощения (см Игнатовсняй В.
С. Апп, Р]суа., 1906, 16], состоит в следующем: в уравнение вводят комплексный параметр -се (в > 0) («поглощеннс»): апе+ (Ь вЂ” св) "в= Р (Р) и берут то решенно па(Р), которое стремится к нулю на бесконечности (та кос решение одно): -сг(а -сь ) ' =+К о где аа — сЬ« =З/й' — св(а, > О, Ь, > 0), причем Ьа-»0 при ° -ь+О. При е- +О предельная для а,(Р) функция существует и совпадает е п(Р), определенной формулой (264»]. Указанные в (130) и здесь три приниипа выделения решений в рассмот. ренном нами простейшем случае приводят, как мы указали, к одному н тому гл и пггпгльнын задачи же решению (264»). Естественно ожндагь, что они применимы и к более об.
шим задачам к краевым задачам для эллиптических уравнений в неограниченных областях. Однако область применимости этих принципов разная. Так, принцип излучения пригоден для тех случаев, когда уравнение (264е) рассматривается во всем пространстве или в области Е, содержащей бесконечна удаленную точку внутри себя (1ЗЦ. Если же область Е является, например, полосой 0 ( г ( 1, то уравнение (261,) не имеет ни одного решения, равного нулю при л = 0 и л =! и удовлетворяющсго условиям излучения в виде (254) и (255) (Р(О) Ф 0). Однако, если зти условия несколько видоизменить, то задача будет иметь единственное решение (см С в е ш н и к о в А.
Г. О принципе излучения. — ДАН СССР, 1950, 73, № 5). На основании двух других принципов, применимых здесь без каких-либо изменений, этот пример показывает, что «условия излучения» должны зависеть от формы области Е на бесконечностн. Некоторые соображсния физического характера указывают на то, что и принцип предельного поглогценпя не всегла применим в указанной выше форме, если Е достаточно быстро сужается на бесконечности.
Вообще, вопрос о применимости формулированных здесь принципов ис. следован пе полностью. Укажем в связи с этим на работы Ф. Реллаха (за)згезьег. Рсорасн. Мань Уст«1п, 63, 37), в которых рассматривается форма «условий излучения» для уравнения (264~) в неограниченных областях разного вида, на работу А. Я. Повзнера «О разложении функций по собственным фуннциям оператора — Ьи + си» (Мате«.
сб, 1953, 32, № 1, с. 107 †!56), в которой дается обоснование принципа предельного поглощения для уравнения Ьг» + д (Р) и + й'и = — Р (Р) в безграничном трехмерном пространстве, н заметку О. А. Ладыженской «О принципе предельной амплитуды» (УМН, 1957, 12, № 3, с. !6! — 164). Эта заметка посвящена принципу предельной амплитуды для написанного выше уравнения.
Из работ Повзнера и Ладыженской следует, что принцип предельного поглощения имеет более широкую область применимости,чем принцип предель. вой амплитулы, па крайней мере в той форме, как он сформулирован выше. Именно, предел решсний уравнений Ао« + 9 (Р) пе + (й~ — ге) и« = Р (1») равных нулю на бесконечности, при е -» +О существуетг если только й» не Есть собственное значение оператора Ьо + д(Р)о; предел от решений соответствующей нестационарной задачи, 1пп и (Р, 1) е Мг, может не суше.
г-»е ствовать, если оператор имеет хотя бы какое-нибудь собственное значение. Отметим, что число с называется собственным значением оператора Аи + 4(Р)о, если уравнение Ьо + г)(Р)и + со = 0 имеет решение, отличное от нулевого, квадрат модуля которого интегрируем цо всему пространству. Исследованию этих принципов для более общих урапнеиий посвящены работы Д. М. Эйдуса, Б.
Р. Вайнберга н др. 1ЗЗ. Предельные задачи для уравнения Гельмгольца. Реше. 1 нне (258) уравнения (252) имеет при г=О полярность —, и это дает нам возможность построить для уравнения (252) теорию потенциала, совершенно аналогичную теории ньютонова потенциала для уравнении Лапласа. Обозначая через г расстоя- 333> ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 397 ние между переменной точкой Л>' поверхности 5 и точкой Р, мы будем иметь в трехмерном случае следующие аналоги потенциа. лов простого и двойного слоя: (266) ( д ' ) =2л»(Л'о)+ ~~ »(Л>) дн ( г )'(5' (г3=[ Л>ЬЛ> [) [ (266) (, ' ) — — 2 н Нн ) -щ- >[ н (и) — „( — )ня ю> (Л>о) 2п» (Ло) $ ~ н.(Л~) д А ) с(5, $ (267) .(и,)= — 2 ц (нН вЂ” '>[ н(н) — „( — ')ня, $ причем в (266) ядро интеграла представляет собою значение производной по направлению нормали л, в точке Л>3, а в (267) по направлению нормали п в точке Л'; интегрирование, как во всех аналогичных формулах, ведется по 5.
В плоском случае мы имеем потенциалы простого и двойного слоя: >и>- [ мм +не(нн 3., (и>-[нСН>н'„[+ нТ'О ~~~*, $ (268) где п — направление внешней нормали к 5 в переменной точке ! Ф. Выделяя из ядра полярное слагаемое —, мы получим обыч- Г ные потенциалы, в которых предельный переход при стрел> ° лепин Р на поверхность совершается по формулам из [96) и [97). В оставшемся интеграле ядро уже не будет иметь сингу« лярности при г = 0 и возне>хан предельный переход под знаком интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
