1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 80
Текст из файла (страница 80)
(299) Мы считаем с ( О в й. Обозначим через и наименьшее значе. вне (с( и через М наибольшее значение ()'( в б, и, в силу (294), в =О на Я. Принимая во внимание, что ан ) О в с), мы можем выбрать число б так, чтобы иметь в й неравенство Ь4 — а11()'(О, а за. тем выбираем настолько большое число а, что а — е З*' > О в О. При атом в уравнении (295) с'(О внутри Р, и к функции в(Р), равной нулю на Я, применима доказанная теорема, отнуда следует, что в(Р) — = О в д. Но тогда из (294) следует, что и и(Р) — О в б.
Предположение с ( О существенно для единственности решения задачи Днрихле. Нетрудно дать пример, когда при с ) О однородное уравнение Е(с) = О имеет решение, равное нулю на границе о, но не равное нулю тождественно. В качестве такого примера приведем уравнение ох,х + ох,к + 2/гзо = О (297) и рассмотрим его в квадрате О = х1 <и, О < хх < и, Если взять й равным целому числу, то уравнение (297) имеет ре. шение пт 410 Гл п пгедельиые злдлчи Введем функцию о, полагая о = и + й, где й — некоторая постоянная. Мы имеем: 0(о)=7.(и)+ сй =1+ сй, так что о(Р) является решением задачи Е(о) = ) + сй внутри 0; о |з = й. (300) М Положим сначала, что й = —. При атом 1+ сй.~ 0 в 0, и реп ' шення уравнения 7.
(о) = 1+ сй не могут иметь внутри 0 отрицательных минимумов. Но значения о(Р) на 5 равны положи. Л4 тельной постоянной †, и отсюда следует, что о(Р) не может и М м быть отрицательной, т. е о =и+ — ) 0 или ив — —. Совери И Л4 м шенно так же, полагая й= — —, получим и( —. Окончаи и тельно можем утверждать, что решение задачи (299) (еслн оно существует) должно удовлетворять в 0 неравенству 1и !( —. М Рассмотрим теперь задачу Л(и)=0 внутри 0; и Ь= р (301) и обозначим через Л! наибольшее значение 1!р/ на 5 Полагая опять о = и+ й, приходим к задаче Е (о) = сй внутри 0; о !з = !р + й. (302) Положим й =!У. Поскольку мы считаем с (0 внутри О, функция о не может иметь внутри 0 отрицательных минимумов. Для граничных значений о(Р) мы имеем очевидно !р+И =-О.
Отсюда, как и выше, следует, что о = и+ л! ) О, т. е и ) — Лl. Совершенно аналогично, полагая й = — Л!, получим и ( Л!, т е. для задачи (301): ! и ! ( !т' в О. 137. Уравнение Ло — Ло = О. Рассмотрим уравнение Ло — Ли=О, !303) где Л вЂ” заданное положительное число, н поставим внутреннюю задачу Дирихле с предельным условием о Ь=[(!)(). (304) Решения уравнения (303) не могут иметь внутри О, нн положительных максимумов, ни отрицательных минимумов [136), и отсюда следует единственность решения указанной задачи Дприхле. Если функция 1" (л!) удовлетворяет неравенству — а ( 1(!у) < ( Ь, где а и Ь вЂ” некоторые положительные числа„то такому же неравенству в О, должно удовлетворять и решение задачи Дирнхле (это слсдуе! пз последнего результата [136)).
уохннсниг ле хе е 41! Рассмотрим сначала нсоднородное уравнение Ьо — Хо = — <р (Р) (внутри 6~) (305) с однородным предельным условием о ]э=О. (ЗОЗ) Мы считаем, что т(Р) непрерывна в замкнутой области Д, и имеет внутри О, непрерывные производные. Задача (305), (306) равносильна интегральному уравнению (ср.
[126]) о(Р)=- — А ~~~ 6(Р; 6) о(6)дт+ ~~~ 6(Р; Я)<р(Я)с(т, (307) оа где 6(Р; 6) — функция Грина уравнения Лапласа с предельным условием (306). Поскольку ( †)) — отрицательное число, а все собственные значения ядра 6(Р; 6) — положительны, уравне. ние (307) имеет при любом свободном члене одно определеннов решение, которое и является решением задачи (305), (306).
Перейдем теперь к решению задачи Дирихле (303) и (304). Пусть ш(Р) — решение задачи Днрнхле для уравнения Лапласа с предельным условием (304). Функция и (Р) = о (Р) — .о (Р) (308) должна удовлетворять уравнению би — Хи = 7ло и предельному условию и ]з — — О. Мы только что доказали существование решения этой задачи. Зная и(Р), мы найдем решение задачи Дирихле о(Р) согласно формуле (308). Основным сингулярным решением уравнения (303) является решение е'хг ое(Р) = (309) где г — расстояние точки Р до некоторой фиксированной точки О. Основываясь на этом решении, можно построить теорию потенциала совершенно так же, как мы это делали в [132].
Мы ие будем на этом останавливаться и перейдем к определению функции Грина. Функция Грина 6,(Р, 6; )) уравнения (ЗОЗ) при предельном условии (306) есть функция Р, непрерывная в Гэ,'~Я, имеющая в Р;~Я непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяющая внутри 6, уравнению (303), на 5 — предельному пег Гл. и ПРедельные зллячи 4)2 условию (306) и имеюшая вид 4пг (310) где д,(Р, Я; )) имеет внутри 01 везде непрерывные производ- ные до второго порядка. Функция н1(Р, Я; Л) есть решение за. дачи Дирихле для уравнения (303) при предельном условии е 4пг (311) Совершенно так же, как и в [122], можно показать, что д1(Р, (); )ь) — непрерывная функция пары точек Р и (,) и что внутри т), имеет место неравенство ,-ть ~ 0 < 61(Р, О; Х) < — „(г =]РЯ ]).
(312) Тем же способом, что и в [123], доказывается симметрия функ- ции 6~(Р, Я; )). Решение уравнения (305) при условии (306) можно выра- зить формулой (Р)= ~~~ 0 (Р, О) А)1р(Я)с(т. (313) О, Это доказывается так же, как и в [126]. Интеграл ~~~ И (Р Ф й)1рЯ) (т О, внутри 1)1 удовлетворяет однородному уравнению (303) [126]. Интеграл с сингулярной частью можно представить в виде. Ю ' -" " =1ш — "" "+ К(' -"'- — '.) О, О1 О, К первому слагаемому применима формула Пуассона, а во вто. ром слагаемом ядро ограничено и возможно двукратное диф- ференцирование под знаком интеграла.
Отсюда непосредственно следует, что применение оператора (Л вЂ” Х) к (313) даст [ — 1р(Р)], Предельное условие (306) для функции (313) проверяется, как и в [126]. Можно подойти к понятию функции Грина н иначе, а именно так же, как вто мы делали в (т4). Рассмотрим неоднородное уравнение (305) н будем считать, что ф(Р) обращается в нуль везде, кроме сферы Вв с центром Я н малым радиусом в, причем (3)4) Ов 4!3 УРАИНЕИИР ае Лч О ззп Переходя и интегральному уравнению (307), мы ма!кем написать его решение в силе 11нз, 31 о(Р) ~~~[7[Р,О'Л)ф(ы)"тп' (315) и! тле й[Р, О; Л) — резольвента уравнения (307). Учитывая определение !р(О'), можем ожилать, что, при стремления а к нулю, левая часть (315) стремится к О!(Р, 6; Л), а правая — к й(Р, О; Л), так что 0,(Р, Е: Л) = й (', О[ Л), т.е.
функпия Грина Ог(Р, О; Л) является резольвентоа интегрального уравне- ния (307). Это, естественно, приводит н следующему соотношени!о: 0 (Р, Я: Л) -6 (Р, Я) — Л ~ ~ ~ 0 (Р, О') 0 [О', О! Л) ![тон (316) О, которое легко может быть показано на основании того, что разность О[Р, Д) = 6,(Р,!г; Л) — 6(Р, О) удовлетворяет уравнению ЬН[Р, О) ЛО,(Р, О; Л), нрсдельному условию (306] и сохраняет непрерывность в точке О. Но мы имели лля рсзольвспты представление в виде ряда по соб- ственным функциям ядра 11Уг[ 321, что дает в рассматриваемом случае оа (Р) о (О) Ог(Р, О; Л)=6(Р, О) — Л ~!! а! а(а гле Л! и и,(Р) — собственные значения и собственные функции ядра 6(Р; 6), т, е. уравнения (231) при условии (232). Сравнивая с (316), полу шм о„(Р) о (О) ~~ О (Р [)') О! (С[', [;1; Л) г[тп — — ~~' Л 7 + Л .
(317) О, ь! а(» Сказанное выше не является строго обоснованным. Сейчас мы проведем доказательство формулы (317), которая нам по цадобится в дальнейшем. Напомним прежде всего, что ряд (318) а ! а где Ла — собственные значения задачи (237,), ! = 1,2, сходится, Определим коэффициенты Фурье функции 6! Я', (); Л) отно сительно собственных функций задачи (237,), ! = 1, 2: )г = ))) 6 (()', 61 Л) (Я') о ось (О') Заменяя оа Я') = —, получим Л пзу гл.
и. пнедельныв зхдлчи Из двух последних формул следует; (А„+ А) й„= — ~ ~ ~ б, Щ', Я; Х) [Лвь Я') — Ха» (Я')] Ит<~. (319) л, Принимая во внимание симметрию функции О~Я', Я; Х) и тот факт, что формула (3!3) дает решение уравнения (305), удовлетворяющее условию (306), мы можем утверждать, что правая часть формулы (319) равна о~Я). В данном.случае роль ~р(Я) в формуле (313) играет — [Лн, (О') — ХО„Я')1 = Р, + х,) о, (Ю. Эта функция имеет внутри 0~ непрерывные производные, и если ее взять за правую часть уравнения (305), то решение этого уравнения, удовлетворяющее условию (306) (такое решение единственно), будет о(Р) = п,(Р). Формула (319) дает: ах (01 л,+х Таким образом, правая часть формулы (317) есть ряд Фурье левой части, причем эта последняя является функцией, представимой через ядро. Ряд, стоящий в правой части (3!7), сходится регулярно относительно Р прн любом фиксиповап ом О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
