1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 84
Текст из файла (страница 84)
В соответствии с этим надо ввести аналоги пространств С>+ь(6), элементами которых являются комплекснозначные функции и(х) = и,(х)+ >и»(х) с и»(к), й =1,2, принадлежащими С 4 "(б). Сохраним эа ними те же обозначения С'4" (6). Норма в таком С'+" (б) определяется 'как сумма норм (397) для и> и иь Справедливо следующее предложение: Те о р е м а 2. Пусть для Ь и б выполнены все предположения предыдущей теоремы, кроме условия с(х) ( О. Тогда задача (399) имеет нетривиальные (т.
е, отличнь>е от тождественного нуля) решения не более чем при счетном числе значений Л: Л = Лы и =1, 2, ..., и эти решения принадлежат С>+з»ь(П). Числа Л» расположены в квадратичной параболе и =(Л = = Л'+>Л". Лл» ( а>(໠— Л'), а> ) 0), пара,истры которой и> вычисляются по коэффициентам Е. Каждое Л» имеет конечну>о кратность, т. е. каждому Л» соответствует лишь конечное число линейно независимых решений. Задача (.(и) =Ли+), и ~з=>р, (400) однозначно разрешил>а в С>+»»" (П) при любых 7 ~ С'+" (П) и >р ~ С>+»»" (3), если Л отлично от чисел Л», й = 1, 2,,... Последнее утверждение теоремы можно кратко формулировать так: из теоремы единственности для задачи (400) следует теорема существования. Числа (Л») составляют спектр оператора Ь при первом краевом условии.
Соответствующие нм решения и» (т. е. решения задачи (399) при Л = Л») называются собственными функциями оператора 1. при первом краевом условии. Все они принадлежат С>»э'-'(6). Третью теорему Фредгольма для задачи (400) при указанной выше гладкости коэф. фнциентов Т.
формулировать в простом виде невозможно. Мы это сделаем в дальнейшем при несколько иных предположениях о коэффициентах А'., когда будем подробно исследовать задачу (400) в гильбертовом пространстве Уу'»(О). Доказательство этих теорем существенно опирается на еле. дующее важное неравенство: (1 и ~)>а+'~" -~ С ~1! Ь (и) 1~',+м + п1 ах ! и ) + 1) и 11зи+'~'~3 (401) о и« ГЛ Н ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 4зз Оно справедливо для любой функции и из С'+э+и(Р)', Постоян. иая С в нем зависит лишь от норм коэффициентов Р в простран» стве С'+л(Р), константы эллиптичности т и границы 5, которая должна принадлежать классу СызР«. Если коэффициент с(х) в Р иеположителен, то из правой части (401) можно выбросить член шах~ и 1.
Неравенство (401) принято называть неравен. а ством Шаудера (он установил его для 1= О). Мы не будем излагать доказательств описанных здесь фак тов, ибо они непросты и весьма техничны. Читатель может по знакомиться с ними по монографии. Ладыженская О. А., У р а л ь ц е в а Н. Н.
Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.— 2-е изд — Мл Наука, 1973. Здесь же отметим оригинальную и весьма плодотворную идею Кориа которую принято называть «замораживанием» коэффициентов. Она позволила разбить всю задачу на несколько «канонических» задач, касающихся только оператора Лапласа. Для решения этих задач используется классическая теория потенциала, изложенная нами в предыдущих параграфах. Эта идея нашла себе широкое применение при исследовании общих краевых задач для уравнений и систем произвольного порядка эллиптического и параболического типов, в частности, дала возможность доказать фредгольмову разрешимость задач (391), (393) и (391), (394). В следующих пунктах мы докажем фредгольмову разрешимость задачи (400) в гильбертовом пространстве В'»~(Р).
Делается это значительно проще, чем в других пространствах, и без использования упомянутой идеи Кориа. 144. Обобщенные решения класса 1Р»(Р). Для дальнейшего нам удобнее считать оператор 7. записанным в виде л л Е(и)- ~~„д„~а,ь д, )+~~,Ь» д, +си, а,А=пыл (402) д / ди» ди Если коэффициенты а„имеют в Р обобщенные производные первого порядка, то любой оператор Р из (391) может быть представлен в виде (402) и наоборот (меняются только значения коэффициентов Ь,).
В ближайших пунктах мы исследуем разрешимость задачи Дирихле Р (и) = Ли + 1, и ~з = 0 (403) в ограниченной области Р для общих эллиптических операторов Л с переменными коэффициентами в зависимости от значений числового параметра Л. Если аси Ь, и с суть измеримые ограниченные на Р функции и а,л имеют ограниченные обобщенные производные первого порядка, то для любой функции и из 1441 ОБОБщенные Решения клАссА 222 ш! (405) и так как первый множитель принадлежит Р2(0), а второй есть о произвольный элемент ГР'2(Р) (или хотя бы Сэ" (0)), то согласно теореме 2 из [171, 1121 первый множитель будет равен нулю. Таким образом, уравнение (406) и тождество (407) с любым 2) а1 из йг2(0) или С; (Р) эквивалентны на функциях и нз йт2 (Р), Однако тождество (407) имеет смысл для функций и из (Р 2(0), (о2(0) Р(и) есть элемент Р,(Р) и при любой 2) БЕСБ (Р) имеет место равенство — ~ Р(и) 2)11х=Ь(и, 2)), (404) о где через Р(и, 21) обозначена билинейная форма Р (и, 21) ~ [а12и„221„1 — 61и„12) — си2)) 4(х, о Здесь и в дальнейшем мы опускаем знак суммирования Т.
по дважды повторяющимся индексам. Равенство (404) получается в результате интегрирования по частям первой группы членов левой части (404) (см. формулу (!07) из [48]). Так как Р(сс)еи ен Р2(0), а множество С2 (О) плотно в пространствеЖ2(0), то о1 равенство (404) справедливо прн любой 21 нз ИР2(Р). Действи. о 1 тельно, произвольную функцию 2) из )Р'2(0) можно аппроксими. ровать в норме В'2(0) функциями 21 из Сэ" (0). Для и и 21 ра. венство (404) имеет место, н в нем можно перейти к пределу по т-о-оо. В результате получим (404) для любых функций и из йг2(0) и 11 из йГ2(0).
Если и принадлежит В'2(О) и удовлетворяет уравнению 2 Р (и) = Хи + [ (406) (при почти всех х из Р) с 1ее Р,(0), то для него и любой 21 из о Ъ72(Р) справедливо соотношение Р(и, 21) = — ~ (1,и+1) 214(х. (407) о Верно и обратное утверждение: если для элемента и из МУ2(0) о1 равенство (407) выполняется при любой 1) из УР2(0) (или хотя бы прн любой 2) из Со (О)), то и есть решение уравнения (406). Действительно, из (407) и (404) следует, что ~ (Р (и) — ).и — 7) 11 Фх = О, о гл. и.
пгндельныв зхдлчи ио пм Более того, в него не входят производные агл по х. Благодаря этому можно ввести следуюшее расширение понятия решения уравнения (406): Функция и(х) называется обобщенным решением класса )Ут(Р) уравнения (400) (короче об. решение.н), если она при. надлежит В'г(Р) и удовлетворяет тождеству (407) прн всех т) 1 а| из Ятз(Р). Относительно коэффициентов аоь Ь~ и е при этом можно предполагать лишь, что они суть измеримые, ограничен.
ные на Р функции. В соответствии с этим обобщенным решением 1 о! класса )рз(Р) задачи (403) назовем функцию и из иг~(Р), удов. о1 летворяюшую тождеству (407) при всех ц из )Г~(Р). Такое расширенное толкование понятия решения задачи (403) оказалось весьма целесообразным. Если для а,~ при любых вещественных числах $ь ..., $„выполнено неравенство ч л а,„(х)Щ,>э~ $п хан Р, э=сопя() О, из-1 ю-~ являюшееся ни чем иным, как условием эллиптичности Е, если а,~ дифференцируемы, то для задачи (403) верны утверждения, которые естественно было назвать теоремами Фредгольма. Они аналогичны трем теоремам Фредгольма, доказанным выше для интегральных уравнений Фредгольма второго рода, а также для более обших уравнений вида и ЛА(и)+~ в сепарабельном гильбертовом пространстве (в частности, в Рз) с вполне не.
прерывным оператором А (см. ~!ЧП гл. !), а также [Ч; 133— 435)). Мы приведем здесь их формулировки. Доказательство же этих утверждений, хотя н очень просто с аналитической точки зрения, требует знания ряда понятий и теорем функцно нального анализа, которые мы излагаем лишь в пятом томе. Первая теорема Фредгольма утверждает, что если задача (403) имеет не более одного об. решения класса )г"2(Р), то она разрешима при любой ~ из ьз(Р). Это верно и прн комплексных Л, только в этом случае надо иметь дело с комплексными пространствами Т.з(Р), ЯГз(Р) н 1 с Ятз(Р), т. е.
считать, что и и Г' суть элементы этих пространств. Коэффициенты же для 7. л1ы везде предполагаем вещественными. Для формулировки второй теоремы Фредгольма надо ввести в рассмотрение две спектральные задачи: (408) 7.(и)=Ли, и~=О, (409) Ь" (и)=Ли, и)з=О, 444] ОБОБ4ЦНН!ЫС РЕШЕНИЯ КЛАССА Я2 4О! 2 где 7» есть дифференциальный оператор, сопряженный по Ла граижу к Х. Согласно с [48) 1.' имеет вид 4-'(и)= в„(аи в ) — в ((4;и)+си.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
