1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Мы получилн уравнение (2871, считая, что сушсствуег решение задачи, Строго говоря, надо произвести исслсловавие уравнения (287) и показать, что оно имеет рсшсние, если Р принадчежнт В>, и что зто решение является н решс. нисм поставленной задачи дифракции. Это проделано в работах, которые будут указаны в конце следующего параграфа. Отметим ешс, что а уравнении (287) интегрирование производится не па контуру 1, а по асей областк В. 1Зб.
Вектор магнитной напряженности. Для определения вектора Н (х, у) маи>итной изпряженноети чы имеем тс же семье уравнения и усчовия с дН одним только изменением. Вмсгто непрерывности — при переходе через 1 ди 1 дН мл! лолжны ичеж непрерывность — — где й > й, в В, г й й, в В,. й ди' Кроме того, разнос ь (Н вЂ” В), где В(х,у) — запаивав функция тдовлетво. ря>ощая уравнепшо (282), должна подчиняться принципу излучения. Это приведет к уравнениям (284) дая Н.
Принимая во внимание требуемую ! дН 1 ! нспрерывност — — > умиожнм (284,) из —, (284>) на — и сложим. Та й дл йз йз ! > йзы ВЕКТОР МАГНИТНОЙ ИЛПРПЖЕГ!НОСТИ же самое проделаем с (284е) и (284е), Переходя затем, как и выше, к и е. делу, будем иметь а выше, к про. Н Н(Р) — —.,' Ц О('. Еи(О) дВ+ с Н(Р) и й — ~~О(Р; ®И(())88+ в г(з +— В (Р) йла е (Р в Ве) В (Р) да е (Р в Ве) В силУ полярности у функции 0(Р; Я) при совпадении Р и () написанный криволинейный интеграл, прп устремлении точки Р на контур, ведет себя как контуре: потенциал двойного слоя, и мы получим для того случаи, когд Р 1У1 1ч — — + — ~Н(Р)= ...
),)з й') е е причем справа стоит то же, что и в предыдущих уравнениях. Мы можем пере. писать предыдущие три уравнения в виде одной формулы: 1 йг йе — Н (Р) =, Ц а (Р, а Н (()) 88+ в с 2я ~йг~ Р/4 дл йз (288) где Аз = й (если Р внутри В,~; йз й, (если Р внутри В )) и е з+ з) (если Риз 0 д6 (Р; ьг) = — (йеО (Р; Я) + О ~г ~/ (г (Рь((). Если Р находится в замкнутой области Вь то (288) есть нагруженное интегральное уравнение (1уы 56) и к нему приложима обычная теория Фредгольма.
Можно показать, что оно имеет одно определенное решение и что это решение дает и решение поставленной задачи дифракции. Отметим, что если мы решим упомянутое выше интегральное уравнение, т.е. будем знать Н(О) в замкнутой области Вь то формула (288) даст нам Н(Р) в В,. ), стремится Покажем теперь, что интеграл, стоящий в выражении (28б), ст к нулю при р-ь оо. В силу асимптотического выражения для Нгзг (з) и Н(з) (г), мы имеем лоб Гл. и, првдельпьге задачи язв В дальнейшем мы должны считать, что Мы имеем дО (Р' Я) дО ар = аг Р фиксировано и Я находится на Св. дг дΠ— = — соз у, др дг где для сову мы имеем выражение (259).
Далее, имеет место очевидное равенство; 0(г )=0(р ), я,'следовательио ,з аО(Р; О) др = — М,О(Р; О)+0 (р ). Интеграл, стошинй в выражении (286), можно переписать в виде з ! г ~ г((Е А)[ !йгО+Огтр )~ О[ йа(Е А)+о(г х)~~дз 3 яли а ! Х= [3[(Š— А) ° 0(р ~)+О ° о[р )~дз= ~ [о(г !)+о(г )]дз, зр во [П!!1 2т] и что вещественная симметричная матрица А' = = УАУ вЂ” ' имеет те же характеристические числа, что и А. По откуда и вытекает непосредственно, что У -ь О. Исследование задач дифракпии можно найти в следуюшнх работах; 1.
К у и р а д з е В. Д. Граничные задачи теории колебаний и интсграль. ныс уравиеняя. — Мл Л; Гостсхиздат, !950. 2. Ш те р н 6 е р г (3!сгпЬегк). Апшепбипя бег !п!сага(я(е!сйипиеп (п бег е1еыгогпаяпеизсйеп !Лсйпйеопе — Согпр. й!а(Ь., !936, 3, йь 2. 3. Ф р е й д е н т а л ь (Егепйеп1а!).
ОЬег Всипппйзргоыегпе бег е1еыго. гпаапе(исйеп !АсЫ1еог!е. — Согпр. Магй., 1938, 6, )т) 2. !36. Единственность решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений. Прежде чем переходить к указанному в заглавии вопросу докажем одно вспомогательное предложение, относящееся к матрицам. Л ем м а. Пусть А и  — две квадратные вещественные симметричные матрицы, причем все характеристические числа А— положительны. Если при этол все характеристические числа В не положигельньг, то след произведения АВ есть неположительное число: Вр(А В) ( О. Если же все характеристические числа В не отрицательны, го Вр(АВ) ) О. Пусть (г' — матрица ортогонального преобразования, приво* дящая В к диагональной форме, т.
е. ПВП-' = [р!, Вь ..., р ] где р,— характеристические числа матрицы В. Известно, что В р (АВ) = В р (иАВ()-') = Вр (иАи-'иви-') 407 ед««нственность Решепия 3»д»ч«! дигихле «»и условию все оии положительны, н тем самым квадратичная форма и (А') „$Д» определенно положительна. Полагая а, = 1 и остальные $, равными нулю, мы видим, что (А')„) 0 (з = 1, 2, ..., и). С другой стороны, Зр(АВ) = Яр(А'(1««, р„..
„р„)) = ~ (А')„р„ и отсюда непосредственно следует, что если все р, ( О, та Бр(АВ)( О, а если все р, > О, то Вр(АВ) ) О, и лемма до. казана. Отме«им еще один факт, который нам будет нужен в дальнейшем. Пусть и(Р) = и(х!, х«, ..., х,) — вещественная непрерывная фупкция, определенная в некоторой области 0 пространства (к«, х», ..., х„) и имс«ощая в В непрерывные производные до второго порядка. Положим, что в некоторой точке Рм лежащей внутри О, функция и(Р) имеет «лаксимум. При этом вещественная симметричная форма и ,Х...„(Р,) ~,~. 1. (и) =- Х ами,, + К Ь,и,! + си = ~, !» ! ' «! (289) причем пусть а,», Ь«, с и 1 — непрерывные функции в некоторой конечной области В и квадрати щая форма и Х » а«»ыа» !.
»-! определенно положительная в В. Отметим, что сумма (290) есть след произведения вещественных симметричных матриц 11а!»!1 и 1!и,,„1!, прйчем мы считаем, что фупкция и(Р) имеет непрерывные производные 11о второго порядка внутри В. Едпп- пе может принимать положительных значений (ср. 11!1«1 35]), т. е. все характеристические числа вещественной симметричной матрицы и„,„» (Р,) не положительны. Точно так же в точке минимума оии пе отрицательны.
Рассмотрим линейное эллиптическое уравнение: лов гл и пгндгльныв злдлчи ственность решения задачи Дирихле для уравнения (289) асио. вана на следуюшей теореме. Теор е м а. Если с < О внутри Р, то всякое решение однородного уравнения Е (и) = О (29 Ц не может иметь внутри Р ни пололсительного максимума, ни отрицательного минимума. Доказываем от обратного. Положим, что в некоторой точке Р, внутри Р функция и(Р) имеет максимум и(Рь) ) О. В такой точке все производные первого порядка должны быть равны нулю, и уравнение (29!) дает л ааи,, = — си (в точке Р,). (292) ь ь-> Из условия л>аксимума следует, что все характеристические числа матриц !,'и„,, (! не положительны, и, в силу доказанной выше леммы, левая часть равенства (292) ( О, а правая поло.
жительна, ибо по условию и(Рь) ) О и с(Р,) ( О. Это противоречие и доказывает теорему. Невозможность отрицательного минимума доказывается аналогично или заменой и на ( — и). Совершенно так же можно доказать, что если в неоднородном уравнении (289) Г(Р) ) О внутри Р, то решение такого уравнения не может иметь внутри Р положительного максимума, а если )(Р)(О, то оно не может иметь отрицательного мини. мума.
Из доказанной выше теоремы непосредственно следует, что если с ( О внутри Р, то решение задачи Дирнхле для уравнения (289) единственно. Действительно, пусть и>(Р) и иг(Р) — два решения уравнения (289) внутри Р, непрерывные в замкнутой области Р и удовлетворяющие на границе 5 области Р одному и тому же граничному условию и )з = Е (Р). (293) При этом разность о(Р) = и>(Р) — иг(Р) должна удовлетворять однородному уравнению Е(о)=О и обрашаться в нуль на 5. Отсюда, в силу доказанной теоремы, следует, что о(Р) —= . О в Р, т.
е. и1(Р) иг(Р) в Р Действительно, если бы это было не так, то о(Р) должна была бы иметь внутри Р положительные максимумы или отрицательные минимумы (или и то и другое), а по теореме этого не может быть. Можно доказать единственность решения задачи Дирихле, заменив предположение с О более слабым предположением, что с О внутри Р. Введем для этого вместо функции о(Р), о которой мы упоминали выше, новую функцию ш(Р), полагая о = (а — е в" ) гв, (294) м6] единственность гвшвгп1я задачи диаихлв 409 где числа а и р мы определим ниже н притом так, что разность а — е а" будет положительной в О, Подставляя (294) в уран. пенне Е(о) = О, получим для в уравнение вида л Ю а, в„, + ~ Ь',в„+ с'в=О, и кР» ю к~ (29Й где Ь), как и Ьь непрерывны в б и с'=с+ е "" и е-аж (296) с = з|п Фх, з(п /гх„ равное нулю на границе указанного квадрата.
Напомним, что вообще уравнение Лс+Хс=О (299) имеет бесчисленное множество положительных собственных зна. чеиий Х = М', Х = Хь ., таких, что прн Х = ах уравнение имеет решения, не равные тождественно нулю н обращающиеся в нуль на границе о заданной области. 3 а м е ч а н и е. Пользуясь указанными выше результатами, можно получить некоторые оценки для решений задачи Дирнхле. Укажем простейшие из них. Пусть и(Р) есть решение задачи Е.(и)=~ внутри 0; и1з — — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
