1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Мы получаем таким образом формулы, совер шепно аналогичные формулам из [96] и (97): вва гл и пгсдельныв зхдлчи п33 р (Уэ) + ~ ~ р (У) К (Ум У; й) й5 = — — 7 (У~), р(У„)+ )) р(У) К(У, Уо', й)й5= — г" (Уо), (269) (270) и для них имеют место формулы, совершенно аналогичные фор.
мулам (266) и (267), причем справа множитель 2п надо заме. нить на и. Написанные потенциалы удовлетворяют уравнению (252), и, в силу специального выбора ядер, каждый элемент написанных интегралов и сами эти интегралы удовлетворяют прин. ципу излучения. Введем ядро дл 1, 2ш~,~ 2лго где а,— угол, образованный направлением п с направлением УэУ. Транспонированное ядро будет д т э м" ~ ем" (йго+!) К(У, У,; /г) — — ~ — ( —,' сов ф,, дн, 2аго 2"то где ~рэ — угол, образованный нормалью лэ в точке Уч с направлением У У. Совершенно так же, как н для уравнения Лапласа, можно поставить задачи Дирнхле и Неймана. Внутренняя задача Дирихле состоит в отыскании внутри 5 решения уравнения (252), удовлетворяюшего на 5 предельному условию и [з —— Г (Уо).
Аналогично формулируется и внешняя задача, причем на бесконечности должен быть выполнен принцип излучения. В случае задачи Неймана мы имеем предельное условие '," ~ =ИУ,). Из теоремы единственности [131[ вытекает, что внешние задачи могут иметь только одно рсшенпе. Для внутренних задач мы имеем единственность не при всяких й. Число йз называется собственным значением внутренней задачи Дирихле, если сушествует внутри 5 решение уравнения (262), удовлетворяюшее на 5 однородному предельному условию: и[з = О.
Аналогично определяются собственные значения внутренней задачи Неймана. Если мы будем искать решение внешней задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя и внутренней задачи Неймана в виде потенциала простого слоя, то придем к союзным интегральным уравнениям: мл пьвдальныв зхдхчм пля ятхвигпия ггльмгольцх дав где йГь — переменная точка 5.
Г1усть ях не есть собственное апл. чение внутренней задачи Неймана. Покажем, что при этом однородное уравнение (269) имеет только нулевое решение. Будем доказывать от обратного. Пусть оно имеет решение, отличное от нулевого. При этом и однородное уравнение (270) должно иметь решение рь(йГ), отличное от нулевого. Составляя потенциал простого слоя с плотностью рь(М), получим решение уравди пения (252) с однородным предельным условием — ~ = О.
ди Но раз яи не есть собственное значение внутренней задачи Неймана, то это решение должно равняться нулю внутри 5. В силч непрерывности, упомянутый потенциал простого слоя должен равняться нулю и на 5, а тогда, согласно теореме единственности, ои должен равняться нулю и вне 5. При этом, в силу формулы, аналогичной (54), рь(У) должно тождественно равняться нулю. Полученное противоречие доказывает, что если яа не есть собственное значение внутренней задачи Неймана, то однородное уравнение (269) имеет только нулевое решение, и, следовательно, неоднородное уравнение разрешимо при любом 1(йГь), т.
е. при любом 1(№) внешняя задачи Дирихле имеет решение в виде потенциала двойного слоя. Совершенно аналогично, если я' не есть собственное значение внутренней задачи Дирихле, то внешняя задача Неймана имеет решение в виде потенциала простого слоя. В книге: Купр а две В. Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения.
— М., Гостехиздат, 1950, подробно излагаются исследования автора, посвященные установившимся режимам в электродинамике и теории упругости, и в частности задаче дифракции, о которой мы будем говорить в следующем параграфе. В упомянутой книге разобраны и те случаи, когда й' есть собственное значение внутренней задачи Дирихле или Неймана, и показано, как и в этих случаях строятся решения внешних задач. Покажем теперь, что всякое решение о(Р) уравнения (252) с непрерывными производными до второго порядка внутри некоторой области 0 будет аналитической функцией координат.
Для этого достаточно показать, что о(Р) будет аналитической внутри некоторой сферы 5ь с центром в любой точке Р,, лежащей внутри ьт. Попытаемся представить о(Р) внутри 5ь в виде потенциала двойного слоя (265). Для плотности р(А') этого слоя мы придем к интегральному уравнению: р(йГь) = — „У(й(ь)+ — „$~И(й() д„~ —,, )с(5 (271) зв пэз 1Л и ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ (274) надо искать в виде ~Э(~, Ф ~')= — ',„„+аЭ(~ Ф ~') (г.
)Щ,()„, (27б) где1(М) — значения о(Р) на сфере 5э. Радиус этой сферы можно взять настолько малым, чтобы уравнение )Э (А е) З ~ ~ 1 (А ) д ( ) П5 (272) имело только нулевое решение. Докажем это. Пусть Х~ — первое собственное значение уравнения Аи + ),и = 0 при предельном условии и1з,= О, если 5с — сфера с радиусом, равным единице. Совершая преобразование подобия, мы убедимся без труда в том, что первое собственное значение для сферы с радиусом )г равно ()>1 ~ )г), и число )7 можно взять настолько малым, чтобы (Х1 ~ )г) было больше числа йэ.
При этом внутренняя задача Ди« рихле для уравнения Аи+лэи = О с однородным граничным условием имеет только нулевое решение. Интегральное уравнение (2?2) есть- уравнение для плотности потенциала двойного слоя, который дает решение упомянутой только что однородной внутренней задачи Днрихле. Принимая во внимание, что эта задача имеет только нулевое решение, и рассуждая совершенно так же, как и в 1109), мы и получим, что уравнение (272) для сферы радиуса )г имеет только нулевое решение. При таком выборе мы сможем утверждать существование решения у уравнения (271) и будем иметь д ес о(Р)= — Ц1А(М) — 1' )г5 (Р утри 5,; г=~Р)У~) зе или (П; 207) п(Р) = ~~ 1А(Ю) О, ° И5, (273) где )с — радиус 5э и р = ~РэР~1.
Подынтегральная функция есть аналитическая функция координат (х, у, г) точки Р, лежащей внутри 5э, и из (273) следует, что и о(Р) — аналитическая функ. ция (х, у, г) (ср. [61]). Аналогично проводится доказательство и в плоском случае прн помощи соответствующего сингулярного решения, которое мы укажем ниже. Мы можем для уравнения (252) построить функцию Грина совершенно так же, как это мы делали для уравнения Лапласа.
Гэ трехмерном случае основное сингулярное решение этого урав. соэ Ае пения можно написать в виде †. Функцию Грина, соответ. ствующую условию о 1з=О, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 40$ где ЯДР, Я; йх) удовлетворяет внутри Р уравнению (252), а на о предельному условию (276) Если ЛА ие есть собственное значение уравнения (252) при пре. дельном условии (274), то мы можем построить такую функцию. В плоском случае решения уравнения (252), зависящие только от расстояния г = )Рф, имеют вид АА(лг), где 24(е)— любое решение уравнения Бесселя, соответствующее значку нуль: Ао (е)+ 2о(е)+ Ао(е) =0 (277) А-1 Основное сингулярное решение, имеющее в точке Я поляр- 1 1 ность — 1д —, будет Ев г' 4 О( ) 1 (279) Нз (278) следует, что, помимо указанного полярного члена, мы будем иметь в выражении функции (279) члены вида г'"(пг (л = 1, 2, ...), содержащие !пг.
Эти члены стремятся к нулю при г — Р О. Непосредственным дифференцированием нетрудно убедиться, что и их производные первого порядка по координатам стремятся к нулю, и потому они имеют непрерывные производные первого порядка в )т'. Пусть й не есть собственное значение уравнения (252) при предельном условии вида (274). Нетрудно построить при таких значениях Й функцию Грина 6~(Р, 1;1; йх) уравнения (252). Будем искать эту функцию Грива в виде а,(Р,(); йз)= — -, 'Мя(Ь)+й,(Р, В йт). (280) Поскольку первое слагаемое в правой части удовлетворяет уравнению и имеет требуемую полярность, вопрос приводится к определению слдгаемого д(Р, (); й') так, чтобы оно не имело уже полярности, удовлетворяло уравнению (252), а на контуре А УДовлетввряло бы следующему неоднородному предельному В качестве решения этого уравнения возьмем функцию Ней мана [1ПА', 150): )УА(е)= Хо(е)(1в — +С) 1-1)' --'Š— '" ®" Ь+ — -' +" +1) -("') ДИФРАКННЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 493 женности, возникшего в результате падающего возмущения е А(л, у]; в В, гмг функция Е есть сумма падающей волны А и волны, полученной в результате дифракцни от контура 1, так что разность (Š— А) должна уловлетворять принципу излучения.
Заданная функция А должна на всей плоскогтн удовлетворять уравнению (282) ЬА + йеА =О. дЕ Предельными условиями являются непрерывность Е и — при переходе дп через контур Применим формулу Грина (283) к области В~ и функциям Е(0) и 0(Р; О)= — "Ио!т!(й г) (.-(, 1)(), (283) считая, что Р лежит внутри В, При этом мы выделяем точку Р малой окрукс. г постыл у, и оставш)лося часть В, обозначим через В: ~ ~ (Е АΠ— 0 ЬЕ) 35 = ~ (Š— — 0 — ) 35+ ~ (Š— — Π— ) дэ. н' г т Первое из уравнений (28!) и аналогичное уравнение для функции (283) дают: Е АΠ— 0 АЕ =(й~ — й~) О (Р; О) Е (О).
! Принимая во внимание, что 0(Р, О) имеет при г = 0 полярность !и —, п г' беспредельно сжимая окружность у, мы получим (ср. [П! 199) ): 2лЕ (Р) (й! — Ае) ~ ~ 0 (Р; О) Е (О) 85+ ~ ~Š— — Π— ) дз. (2840 т т ! Г дО дЕХ и, Гу ть 5Р— окружность с центром в вачале и достаточно большим радиусом р и  — часть В„лежащая внутри 5р, Применяя формулу Грина к Ва и считая, что Р находится в В„ получим дО дЕ з ГГ д0 дЕ' О = ~ (К вЂ” — 0 — ) да+ ~ ~Š— — 0 — ) дз. (284х) дп дп У 3 ~ дп дл У ЗР ! Считая тгпсрь, что Р находится в В„и примсняя формулу к Вг, получим О (йе йэ) ~ ~ 0 (Р; О) Е (О) д5+ ~ (Š— — 0 — ) дз. (284з) дО дЕ в, г Наконец, считая Р находящейся в В, и применяя формулу к В„получим дО дЕ з ( Г дО дЕ Х 2лЕ (Р) = ~ (Š— — 0 — ) да+ р Š— — Π— ) Фз.
(284з) дп дп ) 3 ~ дп дп ) 1 ЗР В формчлах (2840 и.(284г) направления впенлшй нормали к контуру 1 про. тнвоположны То же самое имеет место в форззулзх (284з) и (284з). Складывая почлсино (284,) и (284,), а также (283,) и (284,), и принимая во вни- гл и. прндввьныв члдлчн 404 паз дЕ мание непрерывность Е и — при переходе через контур 1, мы получим одно ди н то же урзвнепие для случаев, когда Р лежит з В, или в Вм 2иЕ (Р) = (й — й ) 41 З! С (Р; ()) Е ((г) д5 + ) (Š— — С вЂ” ) дз, (285) з ! Г дб дЕХ и нам остается перейти к пределу, устремляя р к бесконечности. Применяя формулу Грина и кругу, ограниченному окружностью 5а, и к функциям А и б и считая, что Р накодится внутри 5з, получим 2пЛ (Р) ~ (А — — С вЂ” ) дз, дС дАч ди ди х и, следовательно, криволинейный интеграл, входящий в формулу (285), равен следующему выражению: 2иА (Р) + ~ '((Е (Я) — Л (>ч)) д — С (Р; Я) — (Е (И вЂ” А (®)~ дз.
дб(Р, б) д а (286) Пользуясь тем, что разность (Š— г!) должна удовлетворять принципу излу. чсния, мы покажем в конце следующего параграфа, что написанный интеграл должен стремиться к нулю, и формула (285) даст нам йе Е (Р) = 2 ') ) С (Р; Я) Е (Я) д5 + А (Р). (287) Если считать, что Р находится в В>, то папнсавное уравнение прсдстааляет собой обычное интсгральное уравнение. Определяя из него Е(Р), причем Р принадлежит В>, и подставляя полученное решение в правую часть (287), получим явное выражение Е(Р) для того с.!учач, когда Р принадлежит В,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
