1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 49
Текст из файла (страница 49)
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .по поверхности:v=ZZ[81z cos(n, Z)dS.(S)Пользуясь этим выражением объема, можно доказать формулузамены переменных в тройном интеграле [63] приблизительно темже путем, каким мы это сделали выше для двойного интеграла.§ 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ,ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА81. Интегрирование под знаком интеграла. При вычислении кратных интегралов мы встретились с определенными интегралами, у которых подынтегральная функция и даже пределы интегрирования зависят от некоторого переменного параметра. Здесьмы остановимся несколько подробнее на таких интегралах.Мы исследуем интегралI(y) =Zx2f (x, y)dx,x1в котором переменная интегрирования обозначена через x, подынтегральная же функция зависит не только от x, но и от параметраy, от которого зависят и пределы интегрирования x1 и x2 . В этомслучае очевидно и результат интегрирования I(y) будет, вообще говоря, функцией от y.
Формула (7) из [59]:ZβαI(y)dy =ZβαdyZx2x1f (x, y)dx =ZbadxZy2f (x, y)dy(1)y1называется формулой интегрирования определенного интеграла попараметру под знаком интеграла. Она получает особенно простойвид, когда пределы x1 и x2 не зависят от y и приводятся к посто-81]§ 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие.
. .329янным числам a, b [59]:ZβI(y)dy =αZβdyαZbf (x, y)dx =aZbadxZβf (x, y)dy.(2)αВо всех этих формулах подынтегральная функция f (x, y) считается непрерывной функцией двух переменных в области интегрирования, а эта область считается конечной.П р и м е р. Указанный выше прием применяется иногда для вычисления определенных интегралов от функций, для которых неопределенныйинтеграл неизвестен. Применим его для вычисления интеграла Лапласа:I=Z∞2e−x dx.(3)0Пусть (D′ ) — четверть круга с центром в начале и радиусом r, лежащая в первом координатном углу, (D′′ ) — квадрат, ограниченный прямыми x = 0; x = r; y = 0; y = rи, наконец, (D′′′ ) — четвертькруга с центром√в начале и радиусом r 2 (рис.
67). Очевидно (D′ ) есть часть (D′′ ) и (D′′ ) — часть (D′′′ ).Возьмем двойной интеграл по этим областям22от положительной функции e−x −y . ИмеемРис. 67.очевидные неравенстваZZZZZ Z222222e−x −y dxdy <e−x −y dxdy <e−x −y dxdy.(D ′ )(D ′′ )(D ′′′ )Вводя полярные координаты: x = ρ cos ϕ; y = ρ sin ϕ, получим [59]ZZ(D ′ )πe−x2 −y 2dxdy =Z20dϕZr02e−ρ ρdρ =ρ=r21 −ρ2ππ− e= (1 − e−r ).=224ρ=0330Гл. III.
Кратные и криволинейные интегралы. . .[81√Заменяя r на r 2, будем иметьZZ222πe−x −y dxdy = (1 − e−2r ).4(D ′′ )Интегрирование по квадрату (D′′ ) дастZZe−x2 −y 2dxdy =(D ′′ )Zre−x2dx ·0Zre−y 2dy =0 Zre−x20dx2,и написанное выше неравенство принимает вид2π(1 − e−r ) <4 Zr2e−x dx02<2π(1 − e−2r ).4При стремлении r к бесконечности крайние члены неравенства стремятся к π4 , а следовательно, к тому же пределу должен стремиться исредний член, откуда вытекает следующее значение для интеграла (3):Z∞2e−x dx =√π.2(4)0Нетрудно видеть, что [I, 96]+∞ZZ∞22√e−x dx = 2 e−x dx = π.(5)0−∞Если пользоваться несобственным интегралом по всему первому координатному углу, который мы обозначим через (P ), то результат получится непосредственно.
Действительно,ZZe−x2 −y 2dxdy =Z∞e−x20(P )dx ·Z∞2e−y dy = I 2 ,0и вводя полярные координаты:2I =ZZ(P )πe−ρ2ρdρdϕ =Z20dϕZ∞02e−ρ ρdρ =ρ=∞21ππ− e−ρ= ,224ρ=082]§ 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие. . .331√откуда I = 2π , что и совпадает с полученным выше результатом.82. Формула Дирихле. Задав вформуле (1) x1 и x2 как функции y ипромежуток (α, β) изменения y, мы темсамым определяем некоторую область(σ) в плоскости XOY .
В приложениях часто встречается случай, когда этаобласть, приводится к равнобедренному треугольнику, образованному тремяпрямыми (рис. 68)y = x,x = a,Рис. 68.y = b.Приводя двойной интеграл по площади этого треугольника к повторному и интегрируя в одном случае сначала по x, а потом по y, а в другомслучае сначала по y и потом по x, получим формулуZbadyZyf (x, y)dx =aZbdxaZbf (x, y)dy,(6)xкоторая называется формулой Дирихле.П р и м е р.
(З а д а ч а А б е л я). Определить кривую, расположеннуюв вертикальной плоскости и обладающую тем свойством, что тяжелая материальная точка, падающая поэтой кривой, будучи выпущена без начальной скорости из любой точки кривой M навысоте h (рис. 69) над самой низкой точкойкривой O, приходит в точку O в течениевремени T , которое есть данная функцияот высоты h:T = ϕ(h).Рис.
69.Направим ось OY вертикально вверх, осьOX горизонтально, начало координат поместим в самую низкую точкуискомой кривой, уравнение которой ищем в видеx = f (y).332Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .Положимds = dyp1 + [f ′ (y)]2 = u(y)dy,u(y) =p1 + [f ′ (y)]2 .[82(7)По закону живых сил приращение кинетической энергии при переходи точки из начального положения M в N будет равно работе силытяжести, так как реакция кривой перпендикулярна перемещению точкии потому не дает работы, т. е.ds1mv 2 = mg(h − y), v =,или2dt 21 ds= g(h − y),2 dt−ds1 −u(y)dt = p= √ √dy,2g h − y2g(h − y)причем мы берем знак (–), так как при увеличении t высота y точкиубывает.Время падения из точки M в O соответствует изменению y от h до0, а потомуZhu(y)dy1√.(8)ϕ(h) = T = √2gh−y0Таким образом нам предстоит определить неизвестную функцию u(y)из уравнения (8), которое называется интегральным уравнением, так какнеизвестная функция u(y) входит под знак интеграла.1и проинтегрируем по h вУмножим обе части уравнения (8) на √z−hпределах от 0 до z:ZzZhZz1dhu(y)dyϕ(h)√√√.dh = √2gh−yz−hz−h000Повторный интеграл, стоящий в правой части, можем преобразоватьпо формуле Дирихле следующим образом:Zz0√dhz−hZh0u(y)dy√=h−yZz0dyZzypu(y)dh =(z − h)(h − y)=Zz0u(y)dyZzypdh.(z − h)(h − y)(9)82]§ 8.
Несобственные интегралы и интегралы, зависящие. . .333Внутренний интеграл вычисляется без особого труда, если внести новуюпеременную t по формулеh = y + t(z − y).Когда h меняется от y до z, переменная t меняется от 0 до 1, и мы имеемz − h = (z − y)(1 − t),h − y = (z − y)t,dh = (z − y)dt,откудаZzydhp=(z − h)(h − y)Z10dtp=t(1 − t)t=1= arcsin(2t − 1)t=0и окончательно получаемπ√2gилиZ1dt2 =110−t−42π π=π= arcsin1 − arcsin(−1) = − −22Zzu(y)dy =Zzu(y)dy = F (z),0Zzr0ϕ(h)dh√,z−h(10)0где F (z) есть известная функция от z, определяемая по формулеF (z) =√2gπZz0ϕ(h)dh√.z−hДифференцируя соотношение (10) по z, находимu(z) =dF (z)=dz√2g dπ dzZz0ϕ(h)dh√,z−h(11)что и дает решение задачи, так как, зная функцию u(y), без труда найдеми x = f (y) по формуле (7).Мы проделаем это до конца для частного случая таутохронной кривой, для которой время падения в самую низкую точку вообще не зависитот высоты h, т.
е.ϕ(h) = const = c.334Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[83Мы имеем тогда√Zz2gcdhc 2g √√=2 z,ππz−h0√c 2gu(z) = √ .π zF (z) =√Для определения x = f (y) имеем теперь, в силу (7),A2gc22gc2 (dy)2= (dy)2A= 2 .(dx)2 + (dy)2 = 2πyyπПоложимy = a(1 + cos t),Мы найдемdx = dyr2a−1=yrdy = −a sin tdt,A = 2a.1 − cos tt(−a sin t)dt = −2a sin2 dt;1 + cos t2x = x0 − a(t − sin t),где x0 — постоянная интегрирования. Читатель легко покажет, что полученная кривая есть циклоида, но только расположенная не так, какциклоида [I, 79].В дальнейшем мы покажем, как выполнить дифференцирование поz в общей формуле (11).Сделаем некоторые замечания по поводу полученного решения.
Отметим, что мы получили решение (11) интегрального уравнения (8),предполагая, что такое решение существует. Строго говоря, мы должныеще проверить решение (11), т. е. подставить выражение (11) для u(z)в уравнение (8), и показать совпадение левой и правой частей. Заметимеще, что двойной интеграл (9) является несобственным в том смысле, чтоего подынтегральная функция обращается в бесконечность. Из дальнейшего мы увидим, что он существует, и нетрудно показать, что формула (1), приводящая его к повторным интегралам, применима в данномслучае.83. Дифференцирование под знаком интеграла. Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра y:I(y) =Zbaf (x, y)dx.(12)83] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. .
.335Пределы a и b будем считать пока независящими от y. Положим,что f (x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную∂f (x,y)в прямоугольнике a 6 x 6 b; α 6 y 6 β. Покажем, что∂yкоторуюпри этих предположениях существует производная dI(y)dyможно получить, дифференцируя по y под знаком интеграла, т. е.ddyZbf (x, y)dx =aZba∂f (x, y)dx.∂y(13)Приращение ∆I(y) функции I(y) определяется формулой∆I(y) = I(y + ∆y) − I(y) =Zba[f (x, y + ∆y) − f (x, y)]dx.(14)Применяя формулу конечных приращений, получимf (x, y + ∆y) − f (x, y) = ∆y∂f (x, y + θ∆y)∂y(0 < θ < 1).(15)Принимая во внимание равномерную непрерывность функциив упомянутом выше прямоугольнике, можем написать∂f (x,y)∂y∂f (x, y)∂f (x, y + θ∆y)=+ η(x, y, ∆y)∂y∂y(16)и утверждать, что η(x, y, ∆y) равномерно по отношению к x и yстремится к нулю, когда ∆y → 0, т.
е. при любом положительномε существует такое σ, что |η(x, y, ∆y) 6 ε, если только |∆y| 6 δ.Отсюда следует, между прочим, что Zb Zb η(x, y, ∆y)dx 6 εdx = ε(b − a) (|∆y| < δ),aaи ввиду произвольной малости ε мы имеемZbaη(x, y, ∆y)dx → 0при ∆y → 0.(17)336Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[83Вернемся к формуле (14). Пользуясь (15) и (16), можем написать, принимая во внимание, что ∆y не зависит от x:∆I(y) = ∆yZba∂f (x, y)dx + ∆y∂yZbη(x, y, ∆y)dx.aДеля на ∆y и переходя к пределу, получим, в силу (17),∆I(y)=lim∆y→0 ∆yZba∂f (x, y)dx,∂yт. е. формула (13) доказана. Заметим, что если предположитьнепрерывность только самой функции f (x, y), то из формулы (14)и из того, что разность [f (x, y + ∆y) − f (x, y)] равномерно по отношению x и y стремится к нулю при ∆y → 0, вытекает уже, что I(y)есть непрерывная функция от y.Рассмотрим теперь при прежних предположениях относительноf (x, y) интегралZx2I1 (y) = f (x, y)dx,(18)x1в котором и пределы интегрирования x1 и x2 , принадлежащие промежутку (a, b), зависят от y, причем мы предположим, что этифункции имеют производную по y, а тем самым и непрерывны.Обозначим через ∆x1 и ∆x2 приращения, которые получают x1и x2 , когда y получает приращение ∆y.
Мы имеем∆I1 (y) = I1 (y + ∆y) − I1 (y) ==x2Z+∆x2f (x, y + ∆y)dx −x1 +∆x1Заметив, что [I, 94]x2Z+∆x2x1 +∆x1=Zx2x1+x2Z+∆x2x2−x1Z+∆x1,x1Zx2x1f (x, y)dx.(19)83] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .337мы можем переписать равенство (19) так:Zx2∆I1 (y) = [f (x, y + ∆y) − f (x, y)]dx+x1+x2Z+∆x2x2f (x, y + ∆y)dx −x1Z+∆x1f (x, y + ∆y)dx.(20)x1При этих вычислениях мы предполагаем, конечно, что функцияf (x, y) удовлетворяет указанным выше условиям при α 6 y 6 β ипри всех значениях x, которые принадлежат промежуткам интегрирования в написанных интегралах.По теореме о среднем [I, 95] можем написатьx1Z+∆x1f (x, y + ∆y)dx = ∆x1 f (x1 + θ1 ∆x1 , y + ∆y) =x1= ∆x1 [f (x1 , y) + η1 ],x2Z+∆x2f (x, y + ∆y)dx = ∆x2 f (x2 + θ2 ∆x2 , y + ∆y) =x2= ∆x2 [f (x2 , y) + η2 ](0 < θ1и θ2 < 1).Если ∆y → 0, то и ∆x1 , ∆x2 → 0, и, в силу непрерывностиf (x, y), можем утверждать, что при этом η1 , η2 → 0.Подставив эти выражения в формулу (20) и пользуясь формулами (15) и (16), получим, деля на ∆y:∆I1 (y)=∆yZx2x1∂f (x, y)∆x2dx + [f (x2 , y) + η2 ]−∂y∆y∆x1− [f (x1 , y) + η1 ]+∆yZx2x1η(x, y, ∆y)dx.338Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
