1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .355промежутке α 6 y 6 β числа η и N в условиях′′ b−εZf (x, y)dx < δпри 0 < ε′иε′′ < η,(41)b−ε′ Zb′′ f (x, y)dx < δпри b′иb′′ > N(42)b′можно выбрать независимо от значений y, то несобственные интегралы+∞ZbZf (x, y)dx,f (x, y)dx(43)aaназываются равномерно сходящимися относительно y.В частности, интегралы, которые встречаются при применении признаков Коши, будут равномерно сходящимися, если постоянные A и p не зависят от y.Всякий сходящийся несобственный интеграл мы можем представить в виде сходящегося ряда, каждый член которого есть ужеобычный интеграл. Этим приемом мы уже пользовались в предыдущем. Обратимся к первому из интегралов (43).
Задав ряд положительных, убывающих и стремящихся к нулю чиселε 1 , ε 2 , ε 3 , . . . , εn . . . ,(44)можем написатьZbf (x, y)dx =b−εZ 1f (x, y)dx +aa+b−εZ n+1b−εZ 2+b−ε1b−εZ 3+...+b−ε2+ . . . = u0 (y) + u1 (y) + u2 (y) + . . . + un (y) + . . . , (45)b−εn356Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[87гдеun (y) =b−εZ n+1f (x, y)dx.(46)b−εnВ случае второго из интегралов (43), задав ряд беспредельновозрастающих чиселb 1 , b 2 , b 3 , .
. . , bn , . . . ,(47)будем иметьbZn+1+∞ZZb1Zb2 Zb3f (x, y)dx = f (x, y)dx + + + . . . ++... =aab1b2bn= u0 (y) + u1 (y) + u2 (y) + . . . + un (y) + . . . (48)Из определения равномерной сходимости интеграла и ряда [I,143] непосредственно вытекает, что если несобственный интегралсходится равномерно, то и соответствующий ему ряд будет равномерно сходящимся при любом выборе чисел (44) или (47). Действительно, например, сумма далеких членов ряда (45) равна интегралупо отрезку, близкому к b, для которого соблюдено неравенство (41).Свойства равномерно сходящихся интегралов аналогичны свойства равномерно сходящихся рядов [I, 146].
Для определенностиформулируем их для второго из интегралов (43), но сказанное применимо и для первого.1. Если функция f (x, y) непрерывна при a 6 x и при измененииy в некотором конечном промежутке α 6 y 6 β, и интеграл+∞Zf (x, y)dx(49)aравномерно сходится, то он есть непрерывная функция от y приα 6 y 6 β.87] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от.
. .3572. При тех же условиях имеет место и формула интегрирования под знаком интеграла:ZβdyαZ∞a+∞ZZβf (x, y)dx =dx f (x, y)dy.a(50)α3. Если при непрерывности f (x, y) идится, а интеграл+∞Z∂f (x, y)dx∂y∂f (x,y)∂yинтеграл (49) схо-(51)aсходится равномерно, то имеет место формула дифференцирования под знаком интеграла:ddy+∞+∞ZZ∂f (x, y)f (x, y)dx =dx.∂ya(52)aДокажем для примера свойства 1) и 3). Члены ряда (48)un (y) =bZn+1f (x, y)dx,(53)bnпо доказанному в [83], суть непрерывные функции, и, в силу равномерной сходимости интеграла, этот ряд сходится равномерно, и,следовательно, сумма ряда, т. е.
интеграл (49), тоже есть непрерывная функция [I, 146].Для доказательства (3) заметим, что из [83] следует, что интегралы (53) можно дифференцировать под знаком интеграла, т. е.u′n (y)=bZn+1bn∂f (x, y)dx.∂y358Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[87Но, в силу равномерной сходимости интеграла (51), мы имеем равномерно сходящийся ряд+∞Zab∞ Zn+1∞XX∂f (x, y)∂f (x, y)dx =dx =u′n (y).∂y∂yn=0n=0(54)bnИтак, ряд (48) сходится, а ряд из производных сходится равномерно. Отсюда следует [I, 146], что сумма ряда (54) есть производнаяот суммы ряда (48), что и приводит к формуле (52).Укажем простой признак абсолютной и равномерной сходимости несобственного интеграла, аналогичный признаку абсолютнойи равномерной сходимости ряда [I, 147].
Сделаем это для второго изинтегралов (43). Аналогичный признак имеет место и для первогоинтеграла.Пусть, как всегда, f (x, y) непрерывна при a 6 x и α 6 y 6 β.Если существует такая непрерывная при α 6 x и положительнаяфункция ϕ(x), что |f (x, y)| 6 ϕ(x) при a 6 x и α 6 y 6 β иинтеграл+∞Zϕ(x)dx(55)aсходится, то интеграл (49) сходится абсолютно и равномерно(относительно y). В силу сходимости (55) при любом заданномδ > 0 существует N такое, что′′Zbϕ(x)dx < δпри b′и b′′ > N,b′причем это N не зависит от y, так как ϕ(x) не содержит y. Но из|f (x, y)| 6 ϕ(y) вытекает′′ Zb′′ Zb′′Zb f (x, y)dx 6 |f (x, y)|dx 6 ϕ(x)dx < δ при b′ и b′′ > N,b′b′b′88] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от.
. .359т. е. то же самое N , не зависящее от y, годится и для интеграла (49)и даже для интеграла+∞Z|f (x, y)|dx,aчто и доказывает наше утверждение.88. Примеры. 1. Рассмотрим более подробно пример 3 из [84]:I(α, β) =Z∞e−αxsin βxdx.x(56)0Считаем пока, что α — фиксированное положительное число, и рассматриваем интеграл (56) как интеграл, зависящий от параметра β. Заметим, что отношение sinxβx сохраняет непрерывность и при x = 0 иобращается при x = 0 в β, так что интеграл (56) является несобственным только вследствиебесконечного предела.При положительных x > 1мы имеем sinxβx < 1 и, следовательно, e−αx sinxβx < e−αx , а интегралZ∞e−αxdx =11− e−αxαx=∞x=1=1 −αeαсходится, и, следовательно, по доказанному признаку, интеграл (56) сходится равномерно относительно β.
Дифференцируя его по β под знакоминтеграла, получим интегралZ∞e−αx cos βxdx,0который, в силу |e−αx cos βx| < e−αx также сходится равномерно. Отсюда вытекает, что интеграл (56) есть непрерывная функция от β ичто его можно дифференцировать под знаком интеграла. Для оправдания всех вычислений упомянутого примера остается еще доказать, чтоlim I(α, β) = I(0, β), т.
е. что интеграл (56) при фиксированном β естьα→+0непрерывная функция от α справа от нуля. Мы докажем, что он естьнепрерывная функция от α при α > 0. Выше мы уже показали, что онсходится и при α = 0.360Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[88Не ограничивая общности, можем считать β > 0, так как случайβ < 0 приводится к случаю β > 0 простой переменой знака интеграла, вслучае же β = 0 утверждение очевидно.Будем поступать аналогично тому, как это мы делали в [86] с интегралом Френеля. Разобьем весь промежуток (0, +∞) на части π 2ππnπ (n + 1)π,,, ...,,,...0,ββ βββтакие, что в первой части подынтегральная функцияf (x) = e−αxsin βxxи(α > 0β > 0)имеет знак (+), во второй — знак (–) и т.
д. Положим(n+1)πβZun (α) = (−1)ne−αxnπβВводя вместо x новую переменную t = x −sin βxdx.xnπ,βполучимπun (α) =Zβe−αt− nαπβ0sin βtdt,t + nπβоткуда видно, что un (α) — положительные и убывают при возрастанииn.Кроме того, из неравенстваπ|un (α)| <Zβ01nπβdt =1n(57)следует, что un (α) → 0 при n → +∞.Итак, мы можем представить при α > 0 наш интеграл в виде суммызнакопеременного ряда+∞Zsin βxdx = u0 (α) − u1 (α) + u2 (α) − . . . + (−1)n un (α) + . . .
(58)e−αxx088] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .361Остаточный член этого ряда, в силу (57) и теоремы [I, 123] имеетоценку1,|rn (α)| < |un+1 (α)| <n+11не зависящую от α, причем n+1→ 0 при n → +∞. Отсюда вытекает равномерная сходимость ряда при α > 0 и, следовательно [I, 146],непрерывность его суммы, поскольку члены ряда un (α), в силу [89], сутьнепрерывные функции.Заметим, что из одной равномерной сходимости ряда (58) при α > 0без дополнительных рассуждений еще не следует равномерной сходимости интеграла.
В данном случае можно доказать, что и интеграл равномерно сходится при α > 0.Заметим, что интегралZ∞sin βxdx,x0равный π2 при β > 0, − π2 при β < 0 и нулю при β = 0, дает функциюот β, имеющую разрыв непрерывности при β = 0. Отсюда вытекает, чтонаписанный интеграл не может сходиться равномерно относительно βв промежутке изменения β, содержащем β = 0.
Если мы возьмем этотпромежуток правее нуля, то величина интеграла π2 имеет производнуюпо β, равную нулю, но интеграл нельзя дифференцировать по β подзнаком интеграла, так как после такого дифференцирования получаетсяинтеграл по промежутку (0, ∞) от cos βx, не имеющий смысла.2. В примере 4 из [84] мы дифференцировали k раз по α интеграл:Z∞e−αx dx =1α(α > 0)0под знаком интеграла. Для доказательства законности этой операциидостаточно показать, что при целом положительном k интегралыZ∞e−αx xk dx0сходятся равномерно во всяком промежутке c 6 α 6 d, где c > 0. Таккак в промежутке интегрирования x > 0, то очевидно e−αx 6 e−cx и362Гл. III.
Кратные и криволинейные интегралы. . .[88e−αx xk 6 e−cx xk , и в силу доказанного в [87] признака равномернойсходимости нам достаточно доказать сходимость интегралаZ∞e−cx xk dx.0Но если обозначить f (x) = e−cx xk , то, применяя обычным образомправило Лопиталя [I, 65], убедимся, что f (x)x2 = e−cx xk+2 → 0 при x →+∞, и по признаку, указанному в [85], видим, что написанный интегралдействительно сходится.3. В [82] мы получили решение задачи Абеля в видеu(z) =√2g dπ dzZz0ϕ(h)dh√.z−hПокажем, как можно вычислить производную в правой части этого равенства.
ОбозначимZzϕ(h)dh√.I(z) =z−h0Дифференцируя по z под знаком интеграла, мы получили бы под знаком3интеграла (z − h)− 2 , что дало бы расходящийся интеграл [85], а потому надо поступать иначе. Преобразуем интеграл I(z) интегрированиемпо частям, предполагая существование непрерывной и ограниченной вокрестности h = 0 производной ϕ′ (h) при h > 0:Zz0ϕ(h)dh√= −2z−hZz+2Zz0h=z√√ϕ(h)d z − h = −2ϕ(h) z − h+h=+0′√√ϕ (h) z − hdh = 2ϕ(+0) z + 2Zz√ϕ′ (h) z − hdh.00Напомним, что ϕ(+0) = limh→+0 ϕ(h). Это будет постоянная, котораябудет, вообще говоря, отличной от нуля, тогда как по самому своемуопределению ϕ(0) = 0.
Дифференцируя написанную выше формулу, мынайдем, в силу (21), из [83]:ddzZz0ϕ(h)dhϕ(+0)√+= √zz−hZz0ϕ′ (h)√dh.z−h(59)89] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .363Если ϕ(h) есть постоянная, то ϕ′ (h) = 0, и мы имеем полученнуюуже ранее формулу. Если ϕ(+0) = 0, то оказываетсяddzZz0ϕ(h)dh√=z−hZx0ϕ′ (h)du√.z−h(591 )Мы не привели доказательства того, что для несобственного интеграла I(z) применима формула (21) из [83]. Заметим, что если вместо hввести новую переменную интегрирования u по формуле: h = zu, то дляI(z) получим интеграл с постоянными пределамиI(z) =√zZ10ϕ(zu)du√.1−uПредполагая, как и выше, существование непрерывной и ограниченной производной ϕ′ (h) при h > 0, можем, как нетрудно проверить, дифференцировать под знаком интеграла:1dI(z)= √dz2 zZ10ϕ′ (zu)du √√+ z1−uZ10ϕ′ (z)udu√.1−uПроизводя в первом слагаемом интегрирование по частям и возвращаясь к прежней переменной h, получим опять формулу (59).89.
Несобственные кратные интегралы. Переходим теперьк рассмотрению несобственных кратных интегралов и начнем сдвойных интегралов. Как и выше, несобственные интегралы могут быть двух типов: или подынтегральная функция становитсянеограниченной, или сама область интегрирования неограничена.Остановимся сначала на первом случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
