1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 48
Текст из файла (страница 48)
е.cp − cv = R.(71)На основе экспериментальных данных считают, чтоIII. Величина cp — теплоемкость идеального газа при постоянном давлении — есть величина постоянная, а потому и cv = cp − R есть такжевеличина постоянная.Из (71) следует, что cp > cv и, обозначив для краткостиcp= k,cvгде k > 1, мы без труда найдем окончательно, в силу формул (66) и (71):c1 = p,c2 = −v,P =v,k−1V =pk,k−1после чего формула (59) дает следующее выражение для dQ, dU и dS:cv dT + pdv,cp dt − vdp,(72)dQ =vdp + kpdv,k−1dU = cv dT,(73)dTpdvdT+ dv = cv+R .(74)TTTvПри изотермическом процессе температура остается постоянной, т.
е.dT = 0 иdQ = pdv,dS = cv322Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[79т. е. все поглощаемое тепло идет на работу давления, и полное изменениеколичества поглощенного тепла при переходе от объема v1 к объему v2будет(vZ 2)pdv.(v1 )График процесса при постоянной температуре называется изотермой.Адиабатическим процессом называется процесс, совершающийся безпритока или утери тепла. Он характеризуется условиемилиdQ = 0dS = 0,S = const,или постоянством энтропии в частице газа или во всем его объеме.
Энтропию можно определить из формулы (74):S = cv lg T + R lg v + C,так что адиабатический процесс характеризуется условиемcv lg T + R lg v = const,или, переходя от логарифмов к основаниямT cv v R = T cv v c p−cv = const,или, возвышая в степень1cvT v k−1 = const,и так как T =pv,Rто окончательноpv k = const.(75)Наконец, при постоянном объеме мы имеем dv = 0, иdQ = cv dT,dQ = cv (T2 − T1 ),(76)если газ переходит от температуры T1 к температуре T2 .79.
Уравнение в полных дифференциалах для случаятрех переменных. Обобщая уравнение (55) на три переменные,получимP dx + Qdy + Rdz = 0,(77)79]§ 7. Криволинейные интегралы323где P , Q и R — заданные функции (x, y, z). Если выполнены условия (39), то левая часть уравнения (77) есть полный дифференциалнекоторой функции U (x, y, z), и общий интеграл уравнения (77) будетU (x, y, z) = C,(78)где C — произвольная постоянная. Геометрически уравнение (78)дает семейство поверхностей в пространстве.
Если левая часть (77)не есть полный дифференциал, то будем искать интегрирующиймножитель, т. е. такую функцию µ(x, y, z), чтобы левая часть уравненияµ(P dx + Qdy + Rdz) = 0(79)была полным дифференциалом. Условия (39) дают при этом:∂(µP ) ∂(µR)∂(µQ) ∂(µP )∂(µR) ∂(µQ)−= 0,−= 0,−= 0,∂y∂z∂z∂x∂x∂yчто можно переписать так:∂µ∂µ∂R ∂Q−=Q−R ,µ∂y∂z∂z∂y∂Q ∂P∂µ∂µ−−Q .µ=P∂x∂y∂y∂x∂P∂R∂µ∂µ µ−=R−P,∂z∂x∂x∂z (80)Умножая эти равенства почленно на P , Q, R, складывая и сокращая на µ, получим соотношение между P , Q и R:∂P∂R∂Q ∂P∂R ∂Q−+Q−+R−= 0.(81)P∂y∂z∂z∂x∂x∂yТаким образом, предполагая существование интегрирующегомножителя µ, мы пришли к необходимому условию (81), которому должны удовлетворять коэффициенты P , Q, R.
Можно показать (на чем мы не останавливаемся), что это условие и достаточно,т. е. уравнение (77) не всегда имеет интегрирующий множитель,и равенство (81) дает необходимое и достаточное условие существования такого множителя. Если µ существует, то левая частьуравнения (79) есть полный дифференциал некоторой функции U ,324Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[80и равенство (78) дает общий интеграл уравнений (79) и (77). Еслиже условие (81) не выполнено, то уравнение (77) не имеет общего интеграла вида (78). Условие (81) называется иногда условиемполной интегрируемости уравнения (77).Выясним геометрический смысл уравнения (77) и его общегоинтеграла (78), если последний существует.
ФункцииP (x, y, z),Q(x, y, z),R(x, y, z)определяют в каждой точке некоторый вектор v(x, y, z), проекциями которого на оси они и являются. Система дифференциальныхуравненийdydzdx==PQRопределяет семейство некоторых линий (L) в пространстве, в каждой точке которых соответствующий вектор v направлен по касательной.
Уравнение (77) равносильно условию перпендикулярностибесконечно малого перемещения с составляющими dx, dy, dz к вектору v, т. е. уравнение (77) определяет в каждой точке некоторыйплоский элемент, перпендикулярный к v или, что то же, лежащийв нормальной плоскости к той из линий (L), которая проходит через взятую точку. Общий интеграл (78) и дает семейство поверхностей, касательные плоскости которых в каждой точке удовлетворяют этому условию, т. е.
нормальны к v. Иначе говоря, поверхности (78) будут ортогональны к линиям (L). Если задано семейство линий (L), заполняющих пространство, то можно определитьв каждой точке касательный к ним вектор v, взяв его длину хотябы равной единице, его составляющие P , Q, R и построить уравнение (77). Равенство (81) дает при этом условие, чтобы заданноесемейство линий (L) было ортогонально к некоторому семействуповерхностей.80. Замена переменных в двойном интеграле. В заключение настоящего параграфа дадим вывод формулы замены переменных в двойном интеграле, указанной нами в [60]. Пусть имеетсяпреобразование переменныхx = ϕ(u, v),y = ψ(u, v),(82)80]§ 7. Криволинейные интегралы325причем мы рассматриваем (x, y) и (u, v) как прямолинейные прямоугольные координаты точек на плоскости.
Формулы (82) дают намточечное преобразование плоскости, при котором точка (u, v) переходит в точку (x, y). Положим, что мы имеем на плоскости область(σ1 ) с контуром (l1 ) и область (σ) с контуром (l). Предположим,что: 1) функции (82) непрерывны вместе со своими производными первого порядка в области (σ1 ) вплоть до (l1 ); 2) формулы (82)дают биоднозначное соответствие области (σ1 ) с контуром (l1 ) иобласти (σ) с контуром (l), т.
е. всякой точке (u, v) из (σ1 ) соответствует определенная точка (x, y) из (σ) и, наоборот, точкам (l1 ) —точки (l); 3) функциональный определитель от функций (82) попеременным (u, v):∂ϕ(u, v) ∂ψ(u, v) ∂ϕ(u, v) ∂ψ(u, v)D(ϕ, ψ)=·−·D(u, v)∂u∂v∂v∂u(83)сохраняет определенный знак в области (σ1 ).Будем говорить, что соответствие между (σ) и (σ1 ) прямое,если при обходе по (l1 ) против часовой стрелки соответствующаяточка (x, y) обходит (l) тоже против часовой стрелки.
В противномслучае, когда обходу по (l1 ) соответствует обход в противоположном направлении по (l), назовем соответствие обратным. Площадьσ области (σ) выражается интегралом [71]:Zσ = xdy,(l)где интегрирование совершается против часовой стрелки.Вводя новые переменные по формулам (82), получимZZ∂ψ∂ψdu + ϕdv.σ=±ϕ(u, v)dψ(u, v) = ±ϕ∂u∂v(l1 )(84)(l1 )Мы уславливаемся интегрировать по (l1 ) против часовой стрелки.
Если соответствие прямое, то в результате преобразования иполучится именно это направление у (l1 ), а потому в формуле (84)надо брать знак (+). Если же соответствие обратное, то на (l) в326Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[80результате преобразования получится противоположное направление, но, приписав знак (–), мы можем опять интегрировать противчасовой стрелки.Применим к интегралу (84) формулу Грина (18), полагая x = u,∂ψy = v, P = ϕ ∂ψ∂u , Q = ϕ ∂v . При этом получитсяD(ϕ, ψ)∂Q ∂P−=,∂u∂vD(u, v)(85)и, следовательно,σ=±ZZD(ϕ, ψ)dudv.D(u, v)(σ1 )Применяя к двойному интегралу теорему о среднем [64], получимD(ϕ, ψ),(86)σ = ±σ1D(u, v) (u0 ,v0 )где значение функционального определителя (83) берется в некоторой точке (u0 , v0 ), принадлежащей (σ1 ).
Из последней формулыследует, между прочим, в силу положительности σ и σ1 , что еслисоответствие прямое, то определитель (83) имеет знак (+), а приобратном соответствии — знак (–).Перейдем теперь к выводу формулы замены переменных. Пустьf (x, y) — функция, непрерывная в области (σ1 ) и тем самым в(σ). Разделим (σ1 ) на части: τ1′ , τ2′ , . . . , τn′ . Этим частям будет соответствовать, в силу (82), разбиение (σ) на некоторые частиτ1 , τ2 , .
. . , τn . Будем обозначать теми же буквами τk′ и τk площадиэтих частей. По формуле (86) имеем′ D(ϕ, ψ) ,τk = τk D(u, v) (uk ,vk )где (uk , vk ) — некоторая точка из τk′ . Ей соответствует некотораяточка xk = ϕ(uk , vk ), yk = ψ(uk , vk ), и мы можем написатьnnXX D(ϕ, ψ) f (xk , yk )τk =f [ϕ(uk , vk , ), ψ(uk , vk )]· τ′ .D(u, v) (uk ,vk ) kk=1k=180]§ 7. Криволинейные интегралы327Переходя к пределу, получим формулу замены переменных вдвойном интегралеZZ(σ)f (x, y)dxdy =ZZ(σ1 ) D(ϕ, ψ) dudv,f [ϕ(u, v), ψ(u, v)]D(u, v) (87)которая совпадает с формулой (13) из [60].Отметим одно следствие формулы (86). Положим, что область(σ1 ) беспредельно сжимается к точке (u, v).
При этом (σ) будетбеспредельно сжиматься к соответствующей точке (x, y), и точка(u0 , v0 ), принадлежащая (σ1 ), будет стремиться к (u, v). Переходяк пределу, получим из (86) D(ϕ, ψ) σ D(u, v) = lim σ1т. е. отношение площадей будет иметь своим пределом абсолютноезначение функционального определителя в соответствующей точке, как мы об этом уже упоминали в [60].
Совершенно так же, еслирассматривать функцию одной переменной x = f (u), как точечноепреобразование на прямой, при котором точка с абсциссой u переходит в точку с абсциссой x, то абсолютное значение производной|f ′ (u)| дает предел отношения соответствующих длин на упомянутой прямой, т. е., иными словами, дает коэффициент линейногоискажения в данной точке с абсциссой u при упомянутом точечномпреобразовании.Заметим, что при выводе формулы (85) нам приходится поль∂2 ϕи ее независимостью от порядказоваться второй производной ∂u∂vдифференцирования.
Таким образом, строго говоря, к сделаннымв начале настоящего номера предположениям надо добавить еще∂2ϕ, откуда, как известно [I, 155],существование и непрерывность ∂u∂vследует и ее независимость от порядка дифференцирования.Если (v) — область в пространстве, ограниченная поверхностью(S), то, применяя формулу Остроградского [66], можем, полагаяP = Q = 0 и R = z, выразить объем v этой области в виде интеграла328Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
