1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 43
Текст из файла (страница 43)
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[69Совершенно аналогично определяются интегралыZQ(x, y, z)dy(l)иZR(x, y, z)dz,(l)где Q(x, y, z) и R(x, y, z)— непрерывные функции вдоль (l). Складывая эти три интеграла, получим криволинейный интеграл общеговида, который обозначается так:ZP (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz.(2)(1)По определению интеграл (2) является пределом суммы следующего вида:n−1X[P (ξk , ηk , ζk )∆xk + Q(ξk , ηk , ζk )∆yk + R(ξk , ηk , ζk )∆zk ],(3)k=0где ∆yk , ∆zk — проекции отрезка Mk M k+1 на оси OY и OZ.
Нетрудно установить связь между интегралом вида (2) и интегралом вида (1). Координаты (x, y, z) переменной точки M кривой (l) можно считать функциями длины дуги s =⌣AM . Производные этихфункций дают, как известно [I, 160], направляющие косинусы касательной к кривой (l), т. е.dx= cos(t, X),dsdy= cos(t, Y ),dsdz= cos(t, Z),dsгде t — направление касательной к (l) в переменной точке M , имеющее то же направление, что и направление кривой.
Символом (α, β)мы обозначаем, как всегда, угол, образованный направлениями αи β, причем значение косинуса этого угла не зависит от направления его отсчета, которое мы в данном случае и не фиксируем. Сточностью до малых высших порядков можно считать, что∆xk = cos(tk , X)∆sk , ∆yk = cos(tk , Y )∆sk , ∆zk = cos(tk , Z)∆sk ,69]§ 7. Криволинейные интегралы283где tk — направление касательной в точке Nk , и интеграл (2), какпредел суммы (3), приводится к виду (1):ZP dx + Qdy + Rdz =(l)=Z[P cos(t, X) + Q cos(t, Y ) + R cos(t, Z)]ds, (4)(1)где P, Q, R, можно считать функциями s вдоль (l).Пусть имеется уравнение кривой (l) в параметрической форме:x = ϕ(τ ),y = ψ(τ ),z = ω(τ ),(5)причем при изменении параметра τ от a до b точка (x, y, z) описывает кривую (l) от A до B.
Мы будем считать, что функции (5)непрерывны и имеют непрерывные производные первого порядка взамкнутом промежутке (a, b), причем для определенности мы считаем a < b.Положим, что точкам Mk соответствуют значения параметраτ = τk . Рассмотрим первую из сумм (3). Пусть τ ′ = τk′ — значениепараметра, соответствующее точке (ξk , ηk , ζk ) кривой. По формулеконечных приращений [I, 63] можем написать∆xk = ϕ(τk+1 ) − ϕ(τk ) = ϕ′ (τk′′ )(τk+1 − τk ),где τk′′ — некоторое значение τ из промежутка (τk , τk+1 ). Таким образом упомянутую сумму можно переписать в видеn−1XP (ξk , ηk , ζk )∆xk =k=0n−1Xk=0P [ϕ(τk′ ), ψ(τk′ ), ω(τk′ )]ϕ′ (τk′′ )(τk+1 − τk ).Эта сумма очень схожа с суммойσ=n−1Xk=0P [ϕ(τk′′ ), ψ(τk′′ ), ω(τk′′ )]ϕ′ (τk′′ )(τk+1 − τk ),(6)284Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[69которая в пределе, при стремлении наибольшей из разностей(τk+1 − τk ) к нулю, стремится к определенному интегралуZbP [ϕ(τ ), ψ(τ ), ω(τ )]ϕ′ (τ )dτ.(7)aДокажем теперь, что разность суммы (6) и σ стремится к нулю. Отсюда будет непосредственно следовать, что сумма (6) имеетпредел, равный интегралу (7). Упомянутая разность имеет видη=n−1Xk=0{P [ϕ(τk′ ), ψ(τk′ ), ω(τk′ )]−− P [ϕ(τk′′ ), ψ(τk′′ ), ω(τk′′ )]}ϕ′ (τk′′ )(τk+1 − τk ).Значения τk′ и τk′′ принадлежат промежутку (τk , τk+1 ), и в силу равномерной непрерывности непрерывной функции P [ϕ(τ ), ψ(τ ), ω(τ )]для любого малого положительного ε существует такое δ, что [I, 32]|P [ϕ(τk′ ), ψ(τk′ ), ω(τk′ )] − P [ϕ(τk′′ ), ψ(τk′′ ), ω(τk′′ )]| < ε,если только τk+1 − τk < δ.
Таким образом абсолютное значение ηбудет иметь оценку|η| < εn−1Xk=0|ϕ′ (τk′′ )|(τk+1 − τk ).Но непрерывная в промежутке (a, b)∗ функция ϕ′ (τ ) будет и ограниченной в этом промежутке, то есть |ϕ′ (τ )| < K, где K — определенное число [I, 35]. Отсюда имеем:|η| < εKn−1Xk=0(τk+1 − τk ) = εK(b − a).∗ Напомним, что обозначение (a, b) используется для замкнутого промежутка.69]§ 7. Криволинейные интегралы285Так как ε → 0, если max(τk+1 − τk ) → 0, то мы видим, что η действительно стремится к нулю, и сумма (6) имеет предел (7). Рассматривая точно так же остальные суммы (3), покажем, что присделанных предположениях интеграл (2) может быть представленв виде обычного определенного интеграла:ZP dx + Qdy + Rdz =Zb[P ϕ′ (τ ) + Qψ ′ (τ ) + Rω ′ (τ )]dτ,(8)a(l)где P, Q, и R надо выразить через τ согласно формулам (5).Некоторые из свойств простого интеграла, указанные в [I, 94],непосредственно обобщаются на случай криволинейного интеграла.Так, например:I.
Если кривая (l) состоит из отдельных частей (l1 ), (l2 ), . . . , (lm ),тоZZP dx + Qdy + Rdz =P dx + Qdy + Rdz+(l)+Z(l2 )(l1 )P dx + Qdy + Rdz + . . . +ZP dx + Qdy + Rdz.(lm )II. Величина криволинейного интеграла определяется не только подынтегральным выражением и кривой интегрирования, но иуказанием направления на кривой (l), причем при изменении направления кривой интегрирования интеграл лишь меняет знак.Если кривая (l) целиком не удовлетворяет указанным вышеусловиям, но ее можно разбить на конечное число частей, каждая из которых имеет параметрическое уравнение (5), то формула(7) применима к каждой части, а интеграл по всей кривой можнопредставить как сумму интегралов по отдельным частям.
Нетрудно доказать, что это равносильно пределу суммы (3) для всей кривой. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие кривые(l), которые удовлетворяют указанному выше условию. Заметим,наконец, что если τ есть длина дуги s =⌣ AM , то формула (8)переходит в формулу (4).286Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[70Если кривая (l) есть плоская кривая, находящаяся на плоскостиXOY , то интеграл (2) имеет видZP dx + Qdy,(l)где P и Q — функции от (x, y), определенные вдоль (l).70.
Работа силового поля. Примеры. К понятию криволинейного интеграла (2) естественно приводит задача вычисления работы. Пусть точка M описывает траекторию (l) под действием силыF, являющейся функцией точки вдоль (l). Для вычисления работы разобьем (l) на малые части и рассмотрим одну из этих частейMk Mk+1 . Ввиду малости этой части можем считать приближенно,что на этой части вектор силы F имеет постоянное значение, хотя бы то, которое он имеет в точке Mk , и можем заменить дугу⌣Mk Mk+1 хордой Mk M k+1. . Таким образом на этом малом участке работа приближенно выразится произведением∆Ek ∼ |F||Mk M k+1 | cos(Fk , Mk M k+1 ),где через |Fk | мы обозначили длину вектора F в точке Mk , через |Mk M k+1 | — длину отрезка Mk M k+1 и через ∆Ek — работу научастке ⌣Mk Mk+1 .
Пользуясь известной из аналитической геометрии формулой для угла между двумя направлениями, можем написать∆Ek ∼ |Fk ||Mk M k+1 |[cos(Fk , X) cos(Mk M k+1 , X)++ cos(Fk , Y ) cos(Mk M k+1 , Y ) + cos(Fk , Z) cos(Mk M k+1 , Z)],или, раскрывая скобки и обозначая через P , Q и R проекции вектора F на координатные оси,∆Ek ∼ Pk ∆xk + Qk ∆yk + Rk ∆zk ,где значок у P , Q и R показывает, что берутся значения этих функций в точке Mk . Суммируя затем по всем участкам и переходя к70]§ 7.
Криволинейные интегралы287пределу, получим точное выражение для всей работыZE = P dx + Qdy + Rdz.(l)П р и м е р ы. 1. Работа, производимая постоянной силой тяжестипри перемещении точки M массы m из положения M1 (a1 , b1 , c1 ) вM2 (a2 , b2 , c2 ) по любой кривой (l), выражается интеграломZP dx + Qdy + Rdz =Zc2mgdz = mg(c2 − c1 )c1(l)(ось OZ мы направили вертикально вниз), откуда видно, что эта работа зависит только от начального и конечного положений точки, но неот пути, по которому точка двигалась.
Здесь мы имеем пример криволинейного интеграла, величина которого зависит только от начальной иконечной точек интегрирования, но не от пути.2. Работа сил ньютонова притяжения к неподвижному центру массыm при перемещении точки единичной массы из положения M1 в положение M2 . Поместив притягивающий центр в начале координат и обозначаяr радиус-вектор точки, мы видим, что сила F направлена противоположно OM , а по величине равна frm2 , где f — постоянная тяготения. Такимобразом, оказываетсяfm yfm zfm xP =− 2 , Q=− 2 , R=− 2 ,r rr rr rZZZ xdx + ydy + zdzrdr1E = −f m= −f m= fm d,r3r3r(l)(l)(l)и если мы через r2 и r1 обозначим расстояния точек M1 и M2 от притягивающего центра, то11−,E = fmr2r1и здесь работа, т.
е. соответствующий криволинейный интеграл, зависиттолько от начальной и конечной точек, но не от пути.Если ввести потенциал точечной массыU=fm,r288Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .так чтоP =∂U,∂xQ=∂U,∂yR=[70∂U,∂zто работа E будет выражаться разностью значений потенциала U в точках M2 и M1 , т.
е.E = U (M2 ) − U (M1 ).В последующих примерах мы рассмотрим криволинейные интегралыпо плоским кривым.3. Рассмотрим плоское установившееся течение несжимаемой жидкости постоянной плотности, которую мы примем равной единице. Притаком движении скорость v частицы жидкости, находящейся в точкеM (x, y), зависит только от (x, y). Вычислим количество жидкости q, протекающей в единицу времени через данный контур (l) (рис. 56). Обозначим через u и v проекции скорости v на координатные оси.
Выделимэлемент ⌣M M ′ = ds контура (l). Считая приближенно скорости всех частиц этого элемента одинаковыми, мы увидим, что в течение бесконечномалого промежутка времени dt все частицы этого элемента продвинутся на отрезок |v|dt в направлении вектора v и займут положение N N ′ .Площадь параллелограммаM N N ′ M ′ может быть выражена произведением основания ds на величинупроекции вектора v dt нанаправление внешней нормали (n) к кривой (l), т. е.площадь M N N ′ M ′ =|v| cos(v, n)dtds,где |v| есть длина вектора v.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
