1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Он определяет плотность (пространственную) распределения в точке M .Обозначим этот предел через f (M ):lim∆m= f (M ).∆vКак и выше, мы можем писать приближенноXm≈f (M )∆v,(v)61]§ 6. Кратные интегралы247где суммирование распространяется на все элементы ∆v, заполняющие объем (v).В пределе при беспредельном сужении по всем направлениямкаждого из элементов ∆v мы будем иметьXm = limf (M )∆v.(v)Этот физический пример приводит нас к общему определениютрехкратного интеграла, аналогичному определению двукратного интеграла. Пусть (v) — ограниченная область трехмерного пространства и f (M ) — функция точки, определенная в этой области, т. е.
функция, принимающая в каждой точке M области(v) определенное значение. Разбиваем (v) на n частей, и пусть∆v1 , ∆v2 , . . . , ∆vn — объемы этих частей, а M1 , M2 , . . . , Mn — какиелибо точки, находящиеся в этих частичных областях.Составляем сумму произведенийnXf (Mk )∆vk .(15)k=1Предел этой суммы при беспредельном возрастании числа деленийи при беспредельном уменьшении каждой из частичных областейназывается трехкратным интегралом от функции f (M ) по области v:ZZZnXf (M )dv = limf (Mk )∆vk .(v)k=1З а м е ч а н и е [ср. 58]. Пусть dk — максимальное расстояниемежду двумя точками частичной области ∆vk (диаметр этой области) и d — наибольшее из чисел d1 , d2 , . .
. , dn . Беспредельное уменьшение каждой из частичных областей имеет тот смысл, что d → 0.Если буквой I обозначить величину интеграла, то высказанноеопределение равносильно следующему: при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, чтоnXI −f (Mk )∆vk 6 ε, если только d 6 η.k=1248Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[61Строгая теория трехкратных интегралов, как и двукратных, будетизложена в конце настоящей главы.Если f (M ) = 1 во всей области (v), то получится объем v этойобласти:ZZZv=dv.(v)Для вычисления трехкратного интеграла нужно уметь приводить его к простым или двукратным интегралам, способ вычисления которых был уже указан.Отнесем пространство к прямоугольным координатам.
Допустим, для простоты, что поверхность (S), ограничивающая объем(v), пересекается не более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из координатных осей. Построим цилиндр, проектирующий эту поверхность (S) на плоскость XOY в виде области(σxy ) (рис. 40).Рис. 40.61]§ 6. Кратные интегралы249Линия касания поверхности (S) с цилиндром разобьет ее на двечасти:(I)(II)z1 = ϕ1 (x, y).z2 = ϕ2 (x, y).Прямая, параллельная оси OZ и проходящая через любую точкуплощади (σxy ), войдет внутрь объема (v) через часть (I) и выйдетиз него через (II); ординаты точек входа и выхода z1 и z2 будутизвестными функциями от (x, y).Условимся теперь разбивать объем (v) на элементы ∆v следующим образом: площадь (σxy ) разобьем на большое число малыхэлементов ∆σ; на каждом из них, как на основании, построим цилиндр, который вырежет из (v) столбик; этот столбик мы затемразобьем на элементарные цилиндры высоты ∆z сечениями, параллельными плоскости XOY и проведенными на расстоянии ∆zодно от другого.
Полученные таким путем элементы объема ∆vвыражаются по формуле∆v = ∆σ∆z.Возьмем один из элементов ∆σ и внутри него точку N (x, y).Проведем через нее прямую, параллельную оси OZ, которая пересечет (S) в точках с ординатами z1 и z2 ; на каждом из ее отрезков,заключенных внутри элементов ∆v, возьмем по точке M (x, y, z).Сумма, входящая в формулу (15), может быть переписанатак:Xf (x, y, z)∆v =X∆σXf (x, y, z)∆z.Фиксируем пока ∆σ и будем уменьшать ∆z.
Из основного понятия об определенном интеграле следуетlimX(z)f (x, y, z)∆z =Zz2f (x, y, z)dz,z1причем величины x, y надлежит рассматривать как постоянные250Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[61параметры. Итак, приближенно имеемZ z2Xf (x, y, z)∆z ≈f (x, y, z)dy = Φ(x, y).z1(z)Но тогда, очевидно, в силу определения двукратного интегралаZZXXf (x, y, z)∆v ≈∆σΦ(x, y) →Φ(x, y)dσ,(v)т.
е.(σxy )ZZZf (x, y, z)dx =(v)(σxy )ZZ(σxy )dσZz2f (x, y, z)dz.(16)z1Предыдущие рассуждения, если отвлечься от геометрическогоистолкования, приводят нас к следующему правилу для вычисления трехкратных интегралов.Для приведения трехкратного интегралаZZZf (x, y, z)dv(v)к простому и двукратному: 1) проектируем поверхность (S), ограничивающую объем (v), на плоскость XOY в виде области (σxy );2) определяем координаты z1 и z2 точек входа и выхода прямой,параллельной OZ и проведенной через точку (x, y) области (σxy );3) считая (x, y) постоянным, вычисляем интегралZz2f (x, y, z)dz,z1а затем двойной интегралZZ(σxy )dσZz2z1f (x, y, z)dz.61]§ 6. Кратные интегралы251Двукратный интеграл можно, в свою очередь, привести к повторному, пользуясь прямоугольными координатами (x, y), и мыполучим окончательноZZZf (x, y, z)dv =Zbdxa(v)Zy2dyy1Zz2f (x, y, z)dz,(17)z1причем пределы (y1 , y2 ) и (a, b) определяются, как и в [57].Мы предоставляем читателю разобрать другой порядок приведения трехкратного интеграла к повторному путем проектирования поверхности (S) на плоскость Y OZ в виде площади (σyz ) илина плоскость XOZ в виде (σxz ).Формулу (17) можно переписать так:ZZZf (x, y, z)dxdydz =Zbdxa(v)Zy2dyy1Zz2f (x, y, z)dz.z1Множитель dxdydz называется элементом объема в прямоугольных координатах ; он получается разбиением объема (v) набесконечно малые прямоугольные параллелепипеды плоскостями,параллельными координатным плоскостям.Путь строгого обоснования формулы (17) будет указан в конценастоящей главы.
Заметим, что если прямые, параллельные осям,пересекают (S) более чем в двух точках, то надо разбить (v) на части так, чтобы для каждой из частей пересечение имело место неболее чем в двух точках. Вычисляя интеграл по каждой из полученных частей указанным выше способом и складывая эти интегралы,мы и получим интеграл по всей области (v).Если (v) есть прямоугольный параллелепипед, ограниченныйплоскостями, параллельными координатным плоскостямx = a,x = b,y = a1 , y = b 1 ,z = a2 ,z = b2 ,то и при первых интегрированиях пределы окажутся постояннымиZZZ(v)f (x, y, z)dxdydz =ZbadxZb1a1dyZb2a2f (x, y, z)dz.(18)252Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[6262. Цилиндрические и сферические координаты. Частобывает удобно относить пространство не к прямолинейным прямоугольным координатам, а к другой системе координат. Наиболееупотребительные из этих систем — цилиндрические и сферическиекоординаты. В прямолинейной прямоугольной системе положениеточки определяется ее тремя координатами (a, b, c), и точка эта находится на пересечении трех плоскостей: x = a, y = b, z = c, параллельных координатным плоскостям.
Таким образом в этом случаепространство как бы заполняется тремя семействами взаимно перпендикулярных плоскостейx = C1 ,y = C2 ,z = C3 ,где C1 , C2 , C3 — постоянные, и всякая точка пространства являетсяточкой пересечения трех плоскостей различных семейств. Оставляякоординату z, введем вместо x и y новые координаты r и ϕ, полагаяx = r cos ϕ,y = r sin ϕ,z = z.Координата r есть расстояние точки M дооси OZ и ϕ есть угол, образованный плоскостью, проходящей через ось OZ и точку M ,с плоскостью XOZ (рис. 41), причем ϕ можетменяться от 0 до 2π ∗ и r — от 0 до (+∞).
Координаты точки (r, ϕ, z) называются цилиндрическими координатами точки M . Точкам осиOZ соответствует r = 0, а координата ϕ у нихнеопределенна.Рис. 41.Мы имеем в этом случае следующие трисемейства координатных поверхностей:r = C1 ,ϕ = C2 ,z = C3 .Первое семейство r = C1 есть семейство круговых цилиндров,ось вращения которых есть ось OZ. Второе семейство ϕ = C2 естьсемейство полуплоскостей, проходящих через ось OZ, и, наконец,∗Точнее 0 6 ϕ < 2π.62]§ 6.
Кратные интегралы253третье семейство z = C3 есть семейство плоскостей, параллельныхплоскости, XOY .Придавая переменным r, ϕ и z приращения ∆r ∆ϕ ∆z и проводя по две близкие поверхности из каждого семейства, соответствующие взятым значениям переменных, получим элемент объема вцилиндрических координатах. Вдоль каждого из его ребер меняет-Рис. 42.ся только одна из координат, и эти ребра попарно ортогональны(рис. 42).
С точностью до малых высших порядков такой элементможно принять за прямоугольный параллелепипед с ребрами∆r, r∆ϕ, ∆z,что дает выражение элемента объема в цилиндрических координатахdv = rdrdϕdz254Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[62и вместе с тем выражение трехкратного интеграла в цилиндрических координатахZZZZZZf (M )dv =f (r, ϕ, z)rdrdϕdz,(19)(v)(v)причем пределы интегрирования определяются по тем же принципам, как и в случае прямоугольных координат.П р и м е р.
Найти массу сегмента шара, наполненного неоднороднойматерией, плотность которой изменяется пропорционально расстояниюот основания сегмента (рис. 43).Поместим начало координат вцентр шара, за плоскость XOYпримем диаметральную плоскость, параллельную основаниюсегмента, ось OZ направим от начала координат к сегменту и обозначим через a радиус шара, через h высоту сегмента, через r0радиус основания сегмента.Уравнение шара в цилиндрических координатах будетr 2 + z 2 = a2Рис.
43.илиz 2 = a2 − r 2 .Закон изменения плотности выразится формулойf (r, ϕ, z) = b + cz,где b и c — известные постоянные. Применение формулы (19) даетm=ZZZ(v)(b + cz)rdrdϕdz =Z2π0dϕZr0√rdr0a2 −r 2Z(b + cz)dz =a−h= 2πZr0 h0√c 2 iz= a2 −r2rdr.bz + z2z=a−h62]§ 6. Кратные интегралы255Производя подстановку значений z и интегрирование, что мы предоставляем сделать читателю, получимm = bv + cπr04,4где v есть объем сегмента.Рассмотрим еще сферические координаты или, как иногда говорят полярные координаты в пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
