1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 36
Текст из файла (страница 36)
При увеличениичисла полос и стремлении каждой из них к нулю, ошибка → 0, априближенное выражение в пределе обращается в определенныйинтеграл, дающий точное выражение для площади.Аналогичное построение можно проделать и при вычисленииобъемов. Область (σ) (рис. 33) разбиваем на большое число малыхэлементов ∆σ произвольнойформы, причем через ∆σ обозначаем как сами эти малые области, так и их площади. Каждый из таких элементов примем за основание цилиндра, который, будучи продолжен до пересечения с поверхностью (S),вырежет из объема v элементарный объем. Очевидно, что завеличину этого объема мы можем приближенно принять объем цилиндра, основание котороРис.
33.го тоже ∆σ, а высота — ордината, т. е. значение z любой точки элемента поверхности, которыйпроектируется в виде элемента ∆σ. Другими словами, взяв на элементе ∆σ любую точку N и обозначив для краткости через f (N )ординату точки M поверхности (S), соответствующую этой точкеN , или, что то же, значение функции f (x, y) в этой точке, мы имеемдля элементарного объема f (N )∆σXv∼f (N )∆σ,(σ)причем суммирование распространяется на все элементарные площади ∆σ, заполняющие площадь (σ).Чем меньше будет каждый элемент ∆σ и тем самым больше число n этих элементов, тем точнее будет полученная приближенная234Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[58формула, и в пределе можно писатьXlimf (N )∆σ = v.(σ)Отвлекаясь от геометрических представлений, мы можем определить написанный предел суммы и независимо от геометрического изображения функции f (N ), этот предел и называется двойным,или двукратным, интегралом от функции f (N ) по области (σ) иизображается так:ZZXf (N )dσ = limf (N )∆σ.(σ)(σ)Существование написанного предела наглядно ясно, ибо этотпредел, как мы выяснили, должен давать объем v, описанный намивыше.
Такое рассуждение не является, конечно, строгим, но можнодоказать и строго аналитически существование упомянутого предела при довольно общих условиях для f (N ) и области σ. Два знакаинтеграла указывают на двумерность области интегрирования (область на плоскости). Подынтегральное выражение f (N )dσ чистоусловно. Оно напоминает о том, что величина интеграла есть предел указанных выше сумм. Отметим, что мы при этом не вводимна плоскости никакой системы координат, что мы делали в случаеформул (5) и (6).
Определенный выше интеграл называем, как и вслучае одного переменного, интегралом Римана.Если мы положим f (N ) = 1, то получим выражение площади σобласти (σ) в виде двойного интегралаZZσ=dσ.(σ)Формулируем полностью определение двукратного интеграла:пусть (σ) — ограниченная плоская область и f (N ) — функция точки в этой области, т. е. функция, принимающая в точке N области(σ) определенное значение.
Разбиваем область (σ) на n частей, частичных областей, и пусть ∆σ1 , ∆σ2 , . . . , ∆σn — площади этих ча-59]§ 6. Кратные интегралы235стей и N1 , N2 , . . . , Nn — какие-либо точки, находящиеся на этих частях. Составляем сумму произведенийnXk=1f (Nk ) · ∆σk .Предел этой суммы при беспредельном возрастании числа делений n и беспредельном уменьшении каждой из частичных областей ∆σk называется двукратным интегралом от функции f (N )по области (σ)ZZnXf (N )dσ = limf (Nk )∆σk .k=1(σ)З а м е ч а н и е. Пусть dk — максимальное расстояние между двумя точками частичной области с площадью ∆σk (диаметр этойобласти) и d — наибольшее из чисел d1 , d2 , . .
. , dn . Беспредельноеуменьшение каждой из частей ∆σk , о котором говорится в определении, имеет тот смысл, что d → 0. Если буквой I обозначить величину интеграла, то высказанное выше определение равносильноследующему: при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что [ср. I, 87]nXf (Nk )∆σk 6 ε,I −k=1если только d 6 η.
В конце настоящей главы при изложении полнойтеории кратных интегралов мы введем строгое определение площади, уточним понятие области (σ), по которой можно производитьинтегрирование, выясним, каким образом ее можно разбивать начастичные области и докажем существование предела упомянутыхсумм.59. Вычисление двукратного интеграла. Рассматриваядвукратный интеграл как объем, мы сможем вывести способ приведения вычисления двукратного интеграла к двум простым квадратурам. Отнеся плоскость, на которой находится область (σ), к236Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[59прямоугольной системе координат XOY , допустим, что элементы∆σ получаются путем разбиения площади на прямоугольники состоронами ∆x и ∆y, прямыми параллельными координатным осям(рис.
34), и пусть (x, y) — координаты точки N . При этом естественно писатьf (N ) = f (x, y),иZZf (N )dσ = limX∆σ = ∆x∆y,dσ = dxdyf (x, y)∆x∆y =(σ)(σ)ZZf (x, y)dxdy.(σ)С другой стороны, применяя сказанное в [57] относительно выражения объема через повторный интеграл, можем написатьZZf (x, y, )dxdy =(σ)=Zbdxa=ZβαZy2f (x, y)dy =y1dyZx2f (x, y)dx,(7)x1что и дает правило для вычисления двукратного интеграла,Рис.
34.независимо от геометрического значения функции (x, y).Если первое интегрирование совершается по y, то x при этомсчитается постоянным, а пределы y1 и y2 суть функции от x, определяемые по формулам (2) [57]. Аналогичное обстоятельство имеетместо, если первое интегрирование совершается по x.
Пределы при∆x59]§ 6. Кратные интегралы237первом интегрировании в повторном интеграле будут определенными постоянными, не зависящими от переменной второго интегрирования, лишь в том случае, когда область интегрирования естьпрямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.Если (σ) есть прямоугольник, ограниченный прямыми (рис. 35):x = a,x = b,y = α,y = β,тоZZ(σ)f (x, y)dxdy =ZbadxZβαf (x, y)dy =ZβαdyZbf (x, y)dx.(8)aВыражение dσ = dxdy называется элементом площади в прямоугольных координатах.Заметим, что в формуле (7) первое интегрирование по y припостоянном x соответствует суммированию по прямоугольникам,содержащимся в полосе, параллельной оси OY , причем все этипрямоугольники имеют одну и туже ширину dx, которая выносится за знак первого интегрирования. Второе интегрирование по xсоответствует сложению всех сумм,полученных при суммировании пополоскам, параллельным оси OY .В последнем параграфе настоящейглавы мы даем точное обоснованиеРис.
35формул (8) и (7).Если прямые, параллельные осям, пересекают границу (σ) болеечем в двух точках, то надо поступать так, как это указано в [57].Здесь и в дальнейшем мы, конечно, предполагаем, что интегралы, о которых идет речь, существуют.
Для этого достаточно, чтобы подынтегральные функции были непрерывны в (σ) вплоть доее границы, что мы и будем предполагать, а область (σ) удовлетворяла условию, о котором будет сказано при обосновании понятияинтеграла.238Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[59Отнесем теперь площадь (σ) к полярным координатам (r, ϕ).Уравнение поверхности (S) нужно будет тогда написать в видеz = f (r, ϕ)Элементы ∆σ получим, начертив семейство линий r = const иϕ = const, т. е. концентрических окружностей и лучей, проходящихчерез начало координат (рис. 36). В частности, при пересечениидвух окружностей радиусов r и (r + ∆r) и лучей, идущих под углами ϕ и (ϕ + ∆ϕ), образуется криволинейная фигура ∆σ, которую, сточностью до бесконечно малых высшего порядка, можно рассматривать как прямоугольник со сторонами ∆r и r∆ϕ, так что∆σ = r∆r∆ϕ,тогда можно написатьZZZZXf (N )dσ = limf (r, ϕ)r∆r∆ϕ =f (r, ϕ)rdrdϕ.(σ)(σ)(σ)Мы получили здесь двукратный интеграл, подынтегральнаяфункция которого есть f (r, ϕ)r.
Для его вычисления можно применить то же правило приведения к повторному интегралу, но толькоздесь роль x и y играют r и ϕ.Первое интегрирование по r при постоянном ϕ соответствуетсуммированию по элементам ∆σ, содержащимся между двумя лучами ϕ и (ϕ+dϕ), причем dϕ выносится за знак первого интегрирования. Второе интегрирование по ϕ соответствует сложению всехсумм, полученных при первом суммировании.
Применяя упомянутое правило, мы прежде всего отмечаем крайние значения α и βаргумента ϕ (в [57] крайние значения x), затем при фиксированном ϕ — радиусы-векторы r1 и r2 точек входа внутрь (σ) и выходаиз (σ) луча ϕ = const (это соответствует определению y1 и y2 в[57]). Определив эти данные, имеемZZ(σ)f (N )dσ =ZZf (r, ϕ)rdrdϕ =(σ)где r1 и r2 — известные функции ϕ.ZβαdϕZr2r1f (r, ϕ)rdr,(9)59]§ 6.
Кратные интегралы239Рис. 36 соответствует тому случаю, когда начало координат лежит вне контура (l). Если же начало лежит внутри контура (l), томожно считать, что ϕ меняется от 0 до 2π и что r при заданномРис. 36.Рис. 37.значении ϕ меняется от 0 до r2 , где r2 получается из уравнениякривой (l): r2 = ψ(ϕ) что дает (рис. 37)ZZf (N )dσ =Z2πdϕ0(σ)Zr2f (r, ϕ)rdr.0Выражениеrdrdϕ(10)называется элементом площади в полярных координатах.В частности, если f (N ) = 1, то мы получаем выведенное в [I,102] выражение для площади кривой в полярных координатах:ZβαdϕZr2r11rdr =2Zβα(r22 − r12 )dϕ.(Формула из [I, 102] соответствует случаю r2 = r и r1 = 0).П р и м е р.
Вычислим объем, заключенный между шаром радиусаa и прямым круговым цилиндром радиуса a2 , проходящим через центршара (рис. 38). За начало координат примем центр шара, плоскость XOY240Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[60выберем перпендикулярно коси цилиндра и ось OX проведем от центра шара к точке пересечения оси цилиндра с плоскостью XOY .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
