1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[65где N0 — некоторая точка, лежащая внутри области (σ)∗ .В частности, при ϕ(N ) = 1 получаемZZf (N )dσ = f (N0 )σ,(σ)где σ — площадь области (σ).Аналогичные свойства имеют место и для трехкратного интеграла.Заметим, что при определении двукратного и трехкратного интеграла как предела суммы считается всегда, что область интегрирования конечна и подынтегральная функция f (N ) во всякомслучае ограничена, т. е. существует такое положительное число A,что |f (N )| 6 A во всех точках N области интегрирования.

Еслиэти условия не выполнены, то интеграл может существовать какнесобственный интеграл аналогично тому, как это имело место дляпростого определенного интеграла [I, 97 и 98]. Мы займемся несобственными кратными интегралами в § 8.65. Площади поверхности. Предварительно рассмотрим искажение площади при проектировании плоских областей.

Пусть наплоскости P имеется область S1 (той же буквой обозначим ее площадь) и S2 — ее проекция на плоскость Q, которая образует с Pострый двугранный угол ϕ. Покроем P сетью прямоугольниковсо сторонами, параллельными и перпендикулярными линии l пересечения P и Q. При проектировании этой сетки на плоскость Qдлины сторон, параллельных l, остаются неизменными, а длинысторон, перпендикулярных l, умножатся на cos ϕ. При соответствующем выборе осей XY будем иметьZZZZS2 =cos ϕdxdy = cos ϕdxdy = S1 cos ϕ,(S1 )(S1 )т. е. при проектировании площадь плоской фигуры умножается на∗ Иными словами, существует такая точка N , что имеет место указанное0выражение.65]§ 6.

Кратные интегралы263cos ϕ. Пусть имеется поверхность (S), уравнение которой имеет видz = f (x, y).(22)Положим, что цилиндр (C) проектирует (S) на плоскость XOY ввиде области (σ) (рис. 48). Функция f (x, y) определена и непрерывна на (σ). Будем считать, что она имеет частные производныепервого порядка, непрерывные на (σ) вплоть до границы, и обозначим∂f (x, y)∂f (x, y)= p,= q.(23)∂x∂yМы видели [I, 160], что направляющие косинусы нормали (n) кповерхности (S) в точке (x, y, z) пропорциональны p, q и (–1), т.

е.,как известно из аналитической геометрии, выражаются по формуламpq, cos(n, Y ) = p,cos(n, X) = p± 1 + p2 + q 2± 1 + p2 + q 2 (24)1cos(n, Z) = p.± 1 + p2 + q 2Определим площадь частиповерхности (S), вырезываемой цилиндром (C), которыйпроектирует эту часть на плоскости XOY в виде области (σ)(рис. 48). Разобьем площадь(σ) на малые элементы ∆σ; цилиндры, построенные на основаниях ∆σ, разобьют (S) наэлементы ∆S.Возьмем в каждом из элементов ∆σ по точке N (ξ, η),которой соответствует на поверхности (S) точка M (ξ, η, ζ),Рис. 48.где ζ = f (ξ, η). Проведем вточке M касательную плоскость и нормаль (n) к поверхности иобозначим через ∆S ′ плоскую площадку, вырезываемую на этой264Гл.

III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[65касательной плоскости вышеупомянутым цилиндром с основанием ∆σ.Определим площадь упомянутой выше части поверхности (S)как предел суммы площадей плоских площадок ∆S ′ , когда числоэлементов ∆σ беспредельно растет, а каждый из них беспредельно уменьшается по всем направлениям. Покажем, что этотпредел выражается двойным интегралом по области (σ). Элемент∆σ есть проекция плоского элемента ∆S ′ на плоскость XOY , причем нормали к плоскостям этих двух элементов образуют угол(n, Z), косинус которого выражается третьей из формул (24), апотому1∆σ = ∆S ′ p1 + p2 + q 2∆S ′ =илиp1 + p2 + q 2 ∆σ,и таким образом для площади S упомянутой поверхности мы получаем по определению:XXp1 + p2 + q 2 ∆σ.S = lim∆S ′ = lim(σ)Предел, стоящий в правой части равенства, представляет собоюдвойной интеграл по области (σ), и мы получаемZZ pZZ p1 + p2 + q 2 dσ =1 + p2 + q 2 dxdyS=(25)(σ)(σ)— искомую формулу для площади части кривой поверхности, вырезываемой из нее цилиндром, образующие которого параллельныоси OZ.Выражение, стоящее под знаком интеграла, представляет собой элемент dS площади поверхности.

Пользуясь выражениемcos(n, Z), можем написатьdS =p1 + p2 + q 2 dσxy =dσxy| cos(n, Z)|или dσ = | cos(n, Z)|dS.(26)65]§ 6. Кратные интегралы265Здесь dσxy есть проекция dS на плоскость XOY . Нужно братьабсолютное значение cos(n, Z), так как элементы площади dσxy иdS считаются положительными.Мы предполагаем, что p и q, определяемые формулами (23),суть непрерывные функции (x, y). Предыдущие рассуждения выражают предел суммы площадей ∆S ′ в виде интеграла (25) от непрерывной функции и тем самым показывают, что этот предел существует. Данное выше определение площади поверхности обладаеттем недостатком, что в само определение входит операция проектирования, связанная с выбором плоскости XOY . Можно показать,что величина площади поверхности не зависит от выбора плоскости XOY .

Заметим еще, что если прямые, параллельные оси OZ,встречают поверхность (S) в нескольких точках, то для вычисленияплощади поверхности по формуле (25) надо разбить поверхность начасти и вычислять площадь для каждой отдельной части.Можно дать определение площади поверхностей, не зависящее от выбора осей. Пусть (S) — кусок гладкой поверхности, ограниченный кусочно гладким контуром. Разобьем (S) на части(S1 ), (S2 ), . . . , (Sn ), на каждой части возьмем какую-либо точкуMk и спроектируем (Sk ) на касательную плоскость к (S) в точке Mk . Пусть pk — площадь этой проекции.

Можно показать приопределенных условиях гладкости (S) и ее контура, что суммаp1 +p2 +. . .+pn стремится к определенному пределу S, если наибольший из диаметров δ каждой из частей стремится к нулю [ср. 58].Это определение площади поверхности в случае явного уравненияповерхности (22) и при наличии непрерывных производных (23) иприведет к формуле (25) для площади S.

(Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц,Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III).П р и м е р ы. 1. Вычислить площадь части шаровой поверхности, рассмотренной в примере [59]. Мы имеемz=px−x=− ,za2 − x2 − y 2−yyq= p=−za2 − x2 − y 2a2 − x2 − y 2 ,p= p266Гл.

III. Кратные и криволинейные интегралы. . .p1+p2+q2=rx2y21+ 2 + 2 =zzS=ZZpx2 + y 2 + z 2a= .zzπardrdϕ = 2az= 2aZ(−0pZ20(δ)π2[65dϕaZcos ϕ√0rdr=a2 − r 2π2r=a cos ϕZπa2 − r 2 )−1 .dϕ = 2a2 (1 − sin ϕ)dϕ = 2a22r=002. Найти площадь цилиндраx2 + y 2 = a2 ,(27)вырезываемой из него цилиндром (рис. 49)y 2 + z 2 = a2 .(28)В этой задаче удобнее считать независимыми переменными y и z, аx функцией от них, определяемой из уравнения (27). Область интегрирования в плоскости Y OZ есть круг,окружность которого определяется уравнением (28).

Заштрихованная на рис. 49площадь равна, очевидно, 18 части всейрассматриваемой площади, а потому имеемZZ p1 + p2 + q 2 dydz,S=8(σ)причемy∂x∂x=− , q== 0,∂yx∂zppx2 + y 2 aa1 + p2 + q 2 =,= =pxxa2 − y 2p=Рис. 49.так чтоS = 8aZa0√dza2 −z 2Z0dyp= 8a2a − y2Za0arcsin√a2 − z 2dz =a66]§ 6.

Кратные интегралы= 8a zarcsin√267z=a Zaza2 − z 2 √+dz  =aa2 − z 2z=00z=ap= 8a2 .= −8a a2 − z 2 z=066. Интегралы по поверхности и формула Остроградского. Понятие о двукратном интеграле по плоской области без труда обобщается на случай интегрирования по поверхности. Пусть(S) — поверхность (замкнутая или незамкнутая) и F (M ) — непрерывная функция точки на этой поверхности. Разбиваем (S)на n частей и пусть ∆S1 , ∆S2 , .

. . , ∆Sn — площади этих частей иM1 , M2 , . . . , Mn — какие-либо точки, находящиеся на этих частях.Составляем сумму произведенийnXF (Mk )∆Sk .k=1Предел этой суммы при беспредельном возрастании числа делений и беспредельном уменьшении каждой из частей ∆Sk называется интегралом от функции F (M ) по поверхности (S):ZZF (M )dS = limn→∞(S)nXF (Mk )∆Sk .k=1Положим, что прямые, параллельные оси Z, пересекают поверхность только в одной точке (рис. 48) и пусть (σ) — проекция (S)на плоскость XOY .

Пользуясь формулой (26), устанавливающейсвязь между элементарной площадью поверхности (S) и соответствующей площадью ее проекции (σxy ), сможем привести интегралпо поверхности (S) к интегралу по плоской области (σxy ):ZZZZF (N )dσxy ,(29)F (M )dS =| cos(n, Z)|(S)(σ)при этом считается, что cos (n, Z) отличен от нуля и что значение268Гл.

III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[66функции F (N ) в точке N области (σ) совпадает со значением заданной на поверхности функции F (M ) в той точке M , проекция которой совпадает с N . Если уравнение поверхности(S) задано в явной форме (22) и функция F (M )выраже на через координаты F (x, y, z), то при интегрировании по (σxy ) достаточно подставить z =f (x, y) в выражение функции F (x, y, z), т.

Характеристики

Список файлов книги