1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Простейшим примеромявляется так называемыйлист Мебиуса. Для его получения надо взять прямоугольный лист бумаги ABCD, перекрутить его один раз и склеить сторону AB со сторонойCD так, чтобы точка A совпадала с C, а B с D (рис. 52). Если полученное кольцо начать красить, то, не переходя через границу кольца, егоможно покрасить с обеих сторон.68. Моменты. Одно из приложений понятия о кратном интеграле —к теории моментов различных порядков материальных систем. Пустьдана система n материальных точек:M1 , M2 , . . . , Mn ,массы которых равны соответственно m1 , m2 , mn .Моментом k-го порядка данной системы относительно плоскости∆, прямой (d) или точки (D) называется сумма произведений массыкаждой точки системы на k-ю степень расстояния от (∆), (d) или (D):nXrik mi .i=1С этой точки зрения момент нулевого порядка есть просто вся массасистемыnXm1 .m=i=1Момент первого порядка относительно данной плоскости (∆) называется статическим моментом системы относительно этой плоскости.68]§ 6.
Кратные интегралы275Статические моменты относительно координатных плоскостей мы встречаем в выражениях для координат центра тяжести системыxg =nPmi x1i=1,myg =nPm i yii=1m,zg =nPm i zii=1m.(36)В данном случае расстояния xi , yi , zi до координатных плоскостейберутся алгебраически, т. е. как положительными, так и отрицательными.Моменты второго порядка называются обыкновенно моментамиинерции системы. Так, выраженияnXnXx2i mi ,i=1i=1yi2 mi ,nXzi2 mii=1суть: моменты инерции системы относительно координатных плоскостей; выраженияnX(yi2 + zi2 )mi ,i=1nX(zi2 + x2i )mi ,i=1nX(x2i + yi2 )mii=1суть моменты инерции относительно осей OX, OY , OZ; наконец, выражениеnX(x2i + yi2 + zi2 )mii=1есть момент инерции относительно точки O.Кроме указанных выше выражений, приходится иметь дело с выражениямиnnnXXXyi z i m i ,zi x i m i ,x i yi m i ,i=1i=1i=1которые называются центробежными моментами системы относительно осей OX, OY , OZ.Если мы имеем дело не с системами конечного числа точек, а с непрерывно распределенными массами, то предыдущие суммы заменяютсяопределенными интегралами, простыми, двукратными и трехкратными,в зависимости от того, будут ли массы распределены по прямым, поверхностям или объемам; вместо множителя mi нужно будет тогда ввести произведение плотности f (M ) в данной точке M на элемент длины,площади или объема.276Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[68Так, например, момент инерции трехмерной области (v) относительно оси OXвыразится тройным интеграломZZZ(y 2 + z 2 )f (M )dv.z(v)Если считать плотность f (M ) постоянной f0 , то этот постоянный множитель будет выноситься из-под знака интеграла, и вРис. 53.формулах (36) в числителе будут стоять интегралы с подынтегральной функцией x, y и z, а в знаменателе — объемили площадь всей области, причем постоянная f0 сократится.П р и м е р ы.1.
Центр тяжести однородного шарового сектора(рис. 53). При том выборе координат, который указан на чертеже, достаточно найти только ординатуRR Rzdvzg =(v)v.Мы имеем здесьv=Z2πdϕ0ZZZ(v)zdv =Z2πZαsin θdθZαsin θdθ0dϕ00Zaρ2 dρ =Zaρ cos θρ2 dρ = 2π2 32πa (1 − cos α) = πa2 h3300Zα0sin θ cos θdθZaρ3 dρ =0π= a4 (1 − cos 2α),833 1 − cos 2α3a= a(1 + cos α) = (2a − h),16 1 − cos α88где a — радиус шара.2.
Если считать, что масса распределена лишь по шаровой поверхности (S) сектора, то ордината центра тяжести будетRRzdszg =zg =(S)s,68]§ 6. Кратные интегралы277где s — площадь поверхности (S).pВ данном случае уравнение поверхности x2 + y 2 + z 2 = a2 или z = a2 − (x2 + y 2 ), и нетрудно проверить,чтоz1= ,cos(n, z) = pa1 + p2 + q 2так чтоZ ZZZZ Zdσxy=azds =zdσxy = πa3 sin2 α,cos(n, Z)(S)(σxy )(σxy )где (σxy ) есть очевидно круг с центром в начале и радиусом a sin α.Площадь s будетs=Z Z p1 + p2 + q 2 dσxy = aZ Z(σxy )(σxy )=aZ2π0dϕpdσxy=a2 − (x2 + y 2 )aZsin α0√rdr= 2πa2 (1 − cos α),a2 − r 2и окончательноαπa3 sin2 aa cos2 .2πa2 (1 − cos α)2В предыдущем примере мы имели дляzg меньшую величинуzg =33αa(1 + cos α) = a cos2 .8423.
Если центр тяжести совпадает с началом координат, то все статические моменты равны нулю, что непосредственновытекает из соотношений:ZZZxf dv = mxg ,(v)ZZZyf dv = myg ,(v)ZZZ(v)zf dv = mzg .Рис. 54.278Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[684. Моменты инерции однородного прямого кругового цилиндра(рис.
54) относительно оси цилиндра и относительно диаметра его среднего сечения. Считая плотность постоянной и равной f0 , мы имеемJz = f0ZZZr 2 rdrdϕdz = 2f0ZZZdϕ0(v)Jx = f0Z2πZar 3 dr0Zhdz = πa4 hf0 = ma2,20(z 2 +r 2 sin2 ϕ)rdrdϕdz =(v)= 2f0Z2πdϕ0= 2f0Z2πdϕ0Zh0z 2 dzZhdz0ZaZa(z 2 + r 2 sin2 ϕ)rdr =0rdr + 2f00Z2πsin2 ϕdϕ0Zhdz0Za0π2= πh3 a2 f0 + ha4 f0 = m32r 2 dr =h2a2+34,где 2h — высота цилиндра, a — радиус его основания и m — его масса.5. Моменты инерции однородного эллипсоидаy2z2x2+ 2 + 2 = 1.a2bcОбозначая плотность через f0 , имеем, разбивая на слои, параллельныеплоскости XOY :Jxy = f0ZZZ(v)Z+cz22z dxdydz = f0 z πab 1 − 2 dz =c2−c= 2πabf0c3c3−351= m c2 .5Переставляя буквы, найдем без трудаJyz = m ·1Jx = Jxy + Jxz = m (b2 + c2 ),51 2a ,51Jzx = m b2 ,51 2Jy = m (c + a2 ),51Jz = m (a2 + b2 ),568]§ 6.
Кратные интегралы2791J0 = Jxy + Jyz + Jzx = m (a2 + b2 + c2 ).56. Кинетическая энергия при вращении твердого тела вокруг оси (δ).Как известно, при вращении тела вокруг оси (δ) с угловой скоростьюω, скорость V каждой точки тела равна по величине произведению угловой скорости на расстояние точки от оси вращения. Для вычислениякинетической энергии тела разобьем его на элементы массы ∆m и кинетическую энергию соответствующего элемента обозначим через ∆T . МыимеемXT =∆T.Ввиду малости элемента ∆m можно представить, что вся его масса сосредоточена в одной какой-нибудь его точке M ; тогда кинетическая энергия∆T элемента ∆m будет равна∆T =11 2V ∆m = ω 2 rσ2 f (M )∆v,22где f (M ) есть плотность тела в точке M и rδ — расстояние точки M отоси (δ).
В силу определения трехкратного интеграла получаем отсюдаZZZZZZ11 2 2ω rδ f (M )dv = ω 2 Jδ , где Jδ =T =rδ2 f (M )dv22(v)(v)есть момент инерции тела относительно оси вращения (δ).З а м е ч а н и е. Иногда при вычислении объема тела или какогонибудь его момента удается произвести все вычисления не с помощьютройного, а с помощью двойного или даже простого интеграла.
Делоздесь заключается в том, что при представлении тройного интеграла,как двойного от простого или простого от двойного, удается иногда вычислить внутренний интеграл из каких-либо элементарных соображений,не производя интегрирования. Это и создает такое впечатление, что длявычисления понадобился не тройной интеграл, а двойной или простой.Так, например, момент инерции Jxy относительно плоскости XOYтела (v), ограниченного плоскостями z = 0, z = h и поверхностью, образованной вращением линии x = f (z) вокруг оси OZ, можно вычислить простым интегралом, если представить себе тело составленным изкруглых плоских дисков, параллельных плоскости XOY . Объем такогоэлементарного диска равен π[f (z)]2 dz, и можно написатьZ hJxy = πz 2 [f (z)]2 dz.0280Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[69Тот же момент инерции выражается тройным интеграломJxy =ZZZz 2 dxdydz =Zhz 2 dz0(v)ZZdxdy,(σz )где (σz ) — сечение (v) плоскостью, параллельной плоскости XOY на расстоянии z от этой плоскости.
Внутренний двойной интеграл дает площадь (σz ), т. е. он равен π[f (z)]2 .§ 7. Криволинейные интегралы69. Определение криволинейного интеграла. Положим,что мы имеем в пространстве некоторую кривую (l), которая имеетопределенное направление (рис. 55). Пусть A — начало пути и B —конец этой кривой. Будем на кривой (l) отсчитывать длину дугиот начальной точки A. Положим, что на (l) задана непрерывнаяфункция f (M ). Разделим (l) на n частей промежуточными точками: M0 , M1 , .
. . , Mn−1 , Mn , причем M0 совпадает с A и Mn с B. Накаждом участке Mk Mk+1 (k = 0, 1, . . . , n−1) возьмем какую-нибудьточку Nk и составим суммуn−1Xf (Nk )∆sk ,k=0где ∆sk — длина дуги Mk Mk+1 кривой (l). Предел этой суммыпри беспредельном возрастании числа делений n и беспредельномуменьшении каждого из участков Mk Mk+1 называется криволинейным интегралом от функции f (M ) по l и обозначается так:Z(l)f (M )ds = limn−1Xf (Nk )∆s∗k .(1)k=0∗ Такой криволинейный интеграл называют криволинейным интеграломпервого ряда.69]§ 7. Криволинейные интегралы281Положение переменной точки M кривой (l) вполнеопределяется длиною дугиs =⌣AM , так что функциюf (M ) можно считать функцией независимой переменной s, т. е. f (M ) = f (s), и интеграл (1) является обычнымопределенным интеграломZf (M )ds =Zlf (s)ds,Рис.
55.0(l)где l — длина дуги кривой (l). Заметим, что кривая (l) может бытьи замкнутой, т. е. B может совпадать с A.До сих пор мы не использовали того факта, что кривая (l)имеет направление. В дальнейшем нам это будет важно. Отнесем пространство к прямолинейным прямоугольным осям. Положение переменной точки M определится координатами (x, y, z). ПустьP (x, y, z) — некоторая непрерывная вдоль кривой (l) функция.
Обозначим через (ξk , ηk , ζk ) — координаты точки Nk и через ∆xk — проекцию направленного отрезка Mk M k+1 на ось OX. Величина ∆xkможет быть, конечно, и положительной и отрицательной и дажеравной нулю. Составим сумму произведений P (Nk ) = P (ξk , ηk , ζk )не на ∆sk , а на ∆xk , т. е. на суммуn−1XP (ξk , ηk , ζk )∆xk .k=0Предел этой суммы называется криволинейным интегралом ∗ отP (x, y, z) по (l) и обозначается так:ZP (x, y, z)dx = limn−1XP (ξk , ηk , ζk )∆xk .k=0∗ Такой криволинейный интеграл называют криволинейным интеграломвторого рода.282Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
