1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Нетрудно показать, что самое общее выражениефункции U1 (x, y), от которой полный дифференциал равен (32),дается формулойU1 (x, y) = U (x, y) + C,(33)306Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[74где C — произвольная постоянная. В самом деле, мы должны иметьdU = P dx + Qdy,dU1 = P dx + Qdy,откудаd(U1 − U ) = 0.Но если дифференциал некоторой функции равен тождественнонулю, то частные производные этой функции по всем независимымпеременным равны нулю, и, следовательно, сама функция есть постоянная, т. е.U1 − U = C,что и требовалось доказать.Отметим очевидное равенство, которое будет иметь место присоблюдении условия (27):Z(B)Z(B)P dx + Qdy =dU1 = U1 (B) − U1 (A).(A)(34)(A)Обратно, пусть существует такая функция U1 , чтоdU1 = P dx + Qdy.Покажем, что необходимо должно быть∂Q ∂P−≡ 0,∂x∂yи что функция U1 определяется по формулеU1 (x, y) =(x,y)ZP dx + Qdy + C.(x0 ,y0 )В самом деле, соотношение (35) можно переписать в видеP dx + Qdy =∂U1∂Udx +dy,∂x∂y(35)74]§ 7.
Криволинейные интегралы307и так как величины dx и dy, как дифференциалы независимых переменных, совершенно произвольны [I, 68], то это равенство можетиметь место только при условии, что равны коэффициенты при dxи dy в обеих частях равенства, т. е.P =∂U1,∂xQ=∂U1,∂yоткуда уже ясно, что∂ 2 U1∂ 2 U1∂Q∂P≡≡≡.∂y∂x∂y∂y∂x∂xИтак, при этом выполнено условие (27), а тогда, в силу предыдущих рассуждений, интегралU (x, y) =(x,y)ZP dx + Qdy(x0 ,y0 )зависит только от (x, y) и обладает свойствомdU = P dx + Qdy = dU1 ,откуда следуетU1 = U + C,что и требовалось доказать.
Итак, необходимое и достаточноеусловие для того, чтобы выражение P dx + Qdy было полным дифференциалом некоторой функции U1 , заключается в том, чтобысуществовало тождество∂Q∂P=,∂y∂xпри выполнении которого функция U1 определяется по формулеU1 (x, y) =(x,y)Z(x0 ,y0 )P dx + Qdy + C.(36)308Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы.
. .[7575. Случай многосвязной области. Доказательство того,что условие (27) является необходимым и достаточным для того,чтобы криволинейный интегралZ(B)P dx + Qdy(A)не зависел от пути, существенным образом основано на следующихдвух обстоятельствах:1) функции P и Q и их частные производные первого порядканепрерывны в рассматриваемой области (D) изменения (x, y);2) если в области (D) начерчен какой-либо замкнутый контур(l), то вся часть плоскости, заключенная внутри (l), принадлежиттой области, где выполнены условия непрерывности и условие (27).Первое условие важно потому, что упомянутые в нем функциивходят под знак интеграла при доказательстве.
Второе существеннодля применения формулы Грина, т. е. для преобразованиякриволинейного интеграла кдвукратному. Оно равносильно тому, что всякий замкнутый контур, начерченный в области, может быть непрерывным сужением приведен к точке, не выходя из области, или,проще говоря, это условие равносильно тому, что область неРис. 64.имеет дыр.Положим теперь, что функции P и Q непрерывны со своимипроизводными и условие (27) выполнено в некоторой области, имеющей две дыры (рис. 64).
Если в такой области взять замкнутыйконтур (l0 ), внутри которого нет дыр, то к такому контуру и области, им ограниченной, приложима формула Грина (18), и в силуусловия (27) интеграл по такому замкнутому контуру (l0 ) будетнуль. Возьмем теперь замкнутый контур (l0 ), обходящий вокругдыры (I). Здесь формула (18) неприменима, и интеграл (28) по (l1 ),75]§ 7. Криволинейные интегралы309вообще говоря, окажется отличным от нуля. Покажем, что величина этого интеграла не зависит от контура (l1 ), и важно лишь, чтоэтот контур обходит вокруг одной дыры (I). Возьмем два контура(l1 ) и (l2 ), обходящих вокруг (I).
Нам надо показать, что величиныинтеграла (28) по (l1 ) и (l2 ) одинаковы. Проведем вспомогательныйконтур (ab), соединяющий (l1 ) с (l2 ). Кривые (l1 ), (l2 ) и (ab) совместно являются контуром области, уже не имеющей дыр, причемэтот контур должен обходится в направлении, указанном стрелкой.К этому контуру, следовательно, приложима формула (18), и, в силу (27), интеграл по этому контуру будет нуль:Z(l1 )+Z(ba)Z++(l2 )Z= 0.(ab)При этом интегралы по (ba) и (ab), взятые в противоположных направлениях, сокращаются, интегрирование по (l1 ) надо производить по часовой стрелке и по (l2 ) — против часовой стрелки. Меняянаправление интегрирования по (l1 ) и знак при интеграле, что неменяет результата, получимZ(l2 )−Z=0(l1 )или окончательноZ(l1 )P dx + Qdy =ZP dx + Qdy,(l2 )т.
е. действительно интегралы по (l1 ) и (l2 ), взятые оба, как всегда,против часовой стрелки, одинаковы по величине. Таким образомдыре (I) соответствует определенная постоянная ω1 , равная величине интеграла (28), взятого по любому замкнутому контуру,обходящему вокруг (I). Точно так же дыре (II) соответствуетдругая постоянная ω2 .310Гл. III.
Кратные и криволинейные интегралы. . .[75Если в области (D) проведемдва разреза (ab) и (cd) от дырк внешнему контуру (рис. 65),то получится новая область, неимеющая уже внутри дыр, и, всилу (27), в этой области можнопостроить однозначную функциюU (x, y) =Рис. 65.(x,y)ZP dx + Qdy,(x0 ,y0 )но, в силу предыдущего, значения этой функции на противоположных краях разреза (ab) отличаются на постоянную ω1 , а на (cd) — напостоянную ω2 . Если уничтожить разрезы и вернуться к исходнойобласти (D), то в ней функция U (x, y) будет многозначной. Обходвокруг дыр будет придавать этой функции слагаемые ω1 и ω2 , т. е.функция U (x, y) будет содержать неопределенное слагаемое видаm1 ω1 + m2 ω2 , где M1 и m2 — любые целые числа. Все наши рассуждения очевидно годятся для любого числа дыр в области, причемдыры могут быть и точечными, т.
е. состоять из одной лишь точки.Число дыр, увеличенное на единицу, называется обычно степеньюсвязности области (D), а сама область с дырами — многосвязнойобластью. Числа ω1 и ω2 называются циркуляциями выраженияP dx + Qdy или циклическими постоянными функции U (x, y).П р и м е р. Рассмотрим функциюyϕ = arctg ,xопределенную в области (D), ограниченной двумя концентрическимиокружностями с центром в начале координат. Определим P и Q по формуламy∂ϕ=− 2P =∂xx + y2 (37)∂ϕxQ== 2.∂yx + y276]§ 7. Криволинейные интегралы311Эти функции непрерывны в (D) со своими производными, и, какнетрудно проверить, удовлетворяют соотношению (27). Рассмотрим криволинейный интегралZZ−ydx + xdyP dx + Qdy =x2 + y 2(l)(l)и возьмем его по окружности (l1 ) с центром в начале и некоторым радиусом a.
Подставляя x = a cos ϕ, y = a sin ϕ, получимZ−ydx + xdy=x2 + y 2Z2πdϕ = 2π.0(l)В данном случае область (D) имеет одну дыру, и циклическая постоянная ω1 = 2π. Функция U1 (x, y) является полярным угломZZ∂ϕ∂ϕdx +dy = ϕU1 (x, y) = P dx + Qdy =∂x∂yи при обходе вокруг дыры приобретает слагаемое 2π. Заметим, что радиус внутренней окружности можно считать нулем, т. е. можно считатьдыру точечной. Дело сведется к исключению точки (0, 0).
В этой точкефункции P и Q (37) принимают неопределенную форму 00 .76. Независимость криволинейного интеграла от пути впространстве. Так же как и на плоскости, условие независимости криволинейного интеграла от пути в пространстве совпадает сусловием, что интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю. Рассмотрим интегралZP dx + Qdy + Rdz.(38)(l)Пользуясь формулой Стокса (22), можно доказать так же, каки в предыдущем, что необходимые и достаточные условия независимости интеграла (38) от пути выражаются тремя тождествами:∂R ∂Q−≡ 0,∂y∂z∂P∂R−≡ 0,∂z∂x∂Q ∂P−≡ 0.∂x∂y(39)312Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[76Если эти условия выполнены, то можно построить функциюточки U (x, y, z)U (x, y, z) =(x,y,z)ZP dx + Qdy + Rdz,(40)(x0 ,y0 ,z0 )причем совершенно так же, как и раньше, можно показать, что∂U= P,∂x∂U= Q,∂y∂U=R∂z(41)P dx + Qdy + Rdz = dU(42)Z(B)P dx + Qdy + Rdz = U (B) − U (A).(43)(A)Кроме того, условия (39) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы выражение P dx + Qdy + Rdz было полнымдифференциалом некоторой функции U1 , и если эти условия выполнены, то U1 определяется по формулеU1 =(x,y,z)ZP dx + Qdy + Rdz + C,(x0 ,y0 ,z0 )где C — произвольная постоянная.Понятие многосвязной области впространстве представляет некоторыеособенности.
В качестве примера рассмотрим область (D), образованнуюРис. 66.внутренностью сферы, из которой выделены две трубки (I) и (II), концами упирающиеся в поверхностьсферы, как это указано на рис. 66. Если возьмем замкнутый контур (l1 ), обходящий вокруг трубки (I), то на него нельзя натянутьповерхность, которая бы заключалась в области (D), и, следовательно, если даже в области (D) условия (39) и выполнены, то все77]§ 7. Криволинейные интегралы313же нельзя к (l1 ) применять формулу Стокса, и величина интеграла(38) по (l1 ) будет, вообще говоря, отлична от нуля.
Но эта величинане будет зависеть от вида (l1 ). Важно лишь, что (l1 ) есть замкнутыйконтур в (D), обходящий вокруг одной трубки (I). Таким образомполучится циклическая постоянная ω1 для трубки (I). Совершеннотак же будет иметь вторую циклическую постоянную ω2 для второй трубки (II). Функция U (x, y, z), определяемая по формуле (40),в этом случае есть многозначная функция и содержит неопределенное слагаемое m1 ω1 + m2 ω2 , где m1 и m2 — любые целые числа.Заметим, что если область (D) есть часть пространства между двумя концентрическими сферами, и в этой области выполненыусловия (39), то никаких циклических постоянных не будет, и функция (40) будет однозначной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
