1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 45
Текст из файла (страница 45)
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[73cos(n, Z) > 0. При этомв формулах (24) [65] надобрать нижний знак, и этиформулы даютp cos(n, Z) = − cos(n, X),q cos(n, Z) = − cos(n, Y ),(19)а формулу (26) из [65]можно переписать так:dσxy = cos(n, Z)dS. (20)Пусть P (x, y, z) — какая-либо функция, заданная вблизи поверхности (S) и непрерывная со своими производными первого порядка. Рассмотрим интегралZP (x, y, z)dx.Рис. 61.(l)Линия (l) лежит на (S) и, пользуясь уравнением для этой поверхности: z = f (x, y), мы можем заменить под знаком интеграла z наf (x, y).
При этом подынтегральная функция P [x, y, f (x, y)] будетсодержать только x и y. Координаты (x, y) переменной точки (λ)такие же, что и в соответствующих точках на (l), а потому интегрирование по (l) можно заменить интегрированием по (λ):ZZP (x, y, z)dx =P [x, y, f (x, y)]dx.(l)(λ)Применим к интегралу, стоящему направо, формулу Грина (18),причем в данном случае P = P [x, y, f (x, y)]; Q = 0 и (l) есть (λ).При вычислении ∂P∂y надо будет дифференцировать P как непосредственно по y, так и через посредство третьего аргумента z, которыйзаменен на f (x, y):∂P (x, y, z) ∂P (x, y, z) ∂f (x, y)∂P=+·,∂y∂y∂z∂y73]§ 7.
Криволинейные интегралы299причем в выражении P под буквой z надо подразумевать f (x, y).Формула (18) даетZZP (x, y, z)dx =(l)P [x, y, f (x, y)]dx =(λ)∂P (x, y, z) ∂P (x, y, z) ∂f (x, y)+·dσxy .∂y∂z∂yZZ =−(σxy )Выражая dσxy через элемент dS поверхности (S), согласно (20),приведем двойной интеграл к интегралу по поверхности (S) [66]:ZP (x, y, z)dx =(l)=−ZZ (S)∂P (x, y, z) ∂P (x, y, z) ∂f (x, y)+·cos(n, Z)dS,∂y∂z∂yи, наконец, пользуясь второй из формул (19), получим окончательноZZZ ∂P∂Pcos(n, Y ) −cos(n, Z) dS.P dx =(21)∂z∂y(l)(S)Если Q(x, y, z) и R(x, y, z) — две другие функции, заданные вблизи (S), то, совершая круговую перестановку координат x, y и z,получим две аналогичные формулыZQdy =(l)Z(l)ZZ (S)Rdz =ZZ (S)∂Q∂Qcos(n, Z) −cos(n, X) dS∂x∂z∂R∂Rcos(n, X) −cos(n, Y ) dS.∂y∂x300Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[73Складывая три полученные формулы, придем к формулеСтоксаZP dx + Qdy + Rdz =(l)+∂R∂P−∂z∂xZZ ∂R ∂Q−∂y∂z(S)cos(n, Y ) +cos(n, X)+∂Q ∂P−∂x∂ycos(n, Z) dS.(22)Формула эта связывает криволинейный интеграл по контуру поверхности с интегралом по самой поверхности, и в этом отношенииона аналогична формуле Остроградского [66], которая связывалаинтеграл по поверхности трехмерной области с интегралом по самой области.
Формула Грина есть тот частный случай формулыСтокса, когда (S) есть плоская область на плоскости XOY . Приэтом (l) есть замкнутая кривая на плоскости XOY и dz = 0, а направление (n) совпадает с осью OZ, так что cos(n, X) = cos(n, Y ) =0 и cos(n, Z) = 1. Подставляя все это в (22), получим формулу (18).По поводу косинусов, входящих в формулу (22), делаются те жепредположения, что и при выводе формулы Остроградского [66].Формула (21) выведена нами в предположении, что прямые, параллельные оси OZ пересекают (S) только в одной точке.
Если этоне так, то разбиваем (S) на части вспомогательными линиями так,чтобы каждая часть удовлетворяла указанному выше условию, такчто к каждой части формула (21) применима. Складывая полученные таким образом для всех частей формулы, будем иметь слеваинтеграл по контуру (l), так как интегралы по вспомогательнымконтурам будут браться два раза в противоположных направлениях и сократятся.
Справа получим двойной интеграл по всей поверхности (S), т. е. формула (21) окажется справедливой в общемслучае. То же самое замечание справедливо и для общей формулы(22). При этом только нужно соблюдать следующее условие для обхода (l) и направления нормали (n): наблюдатель, обходящий (l)и направленный по нормали (n), должен иметь поверхность (S)слева. Это правило связано с выбором координатной системы, указанной на рис. 61. В этой системе наблюдатель, направленный поOZ, видит OX переходящей в OY при вращении на угол π2 против74]§ 7.
Криволинейные интегралы301часовой стрелки. Если бы это вращение было по часовой стрелке,то в предыдущем правиле слово «слева» надо было бы заменитьсловом «справа».Если воспользоваться обозначением интеграла по поверхности, указанным в [67], то формулу (22) можно переписать в виде:ZP dx + Qdy + Rdz =(l)=ZZ (S)∂Q∂R−∂y∂zdydz +∂R∂P−∂z∂xdzdx +∂P∂Q−∂x∂ydxdy.(23)Определение стороны поверхности (S) и направления (n) производится по вышеуказанному правилу.74.
Независимость криволинейного интеграла от путина плоскости. Примеры криволинейных интегралов, разобранныев [70], показывали, что в некоторых случаях величина криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования, но лишь отначальной и конечной точек интегрирования, а в других случаях видсамого пути влияет на величину интеграла.Теперь, пользуясь формуламиГрина и Стокса, мы выясним теусловия, при которых величина интеграла не зависит от пути интегриРис. 62.рования.
Мы начнем со случая плоской кривой и выясним условия независимости криволинейного интегралаZ(B)P dx + Qdy(A)от пути. Все дальнейшие рассуждения будут относиться к внутренней части некоторой конечной области (D), ограниченной од-302Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. .
.[74ним контуром. Функции P и Q вместе с указанными ниже частными производными считаются непрерывными внутри (D). Соединяяточки (A) и (B) кривыми (1) и (2) (рис. 62), мы должны иметьZ(B)Z(B)(1)P dx + Qdy = (2)P dx + Qdy,(A)(24)(A)или, пользуясь свойством II [69],Z(B)Z(B)(1)P dx + Qdy − (2)P dx + Qdy = 0,(A)(1)(A)Z(B)(A)Z(A)ZP dx + Qdy + (2)P dx + Qdy = P dx + Qdy = 0,(B)(25)(l)где (l) — замкнутый контур, составленный из кривой (1) с направлением от (A) к (B) и кривой (2) с направлением от (B) к (A).
Такимобразом, ввиду произвольности точек A и B, мы видим, что интеграл по любому замкнутому контуру (l) должен равняться нулю.Наоборот, если интеграл по замкнутому контуру (l) равен нулю, тоинтеграл по (1) равен интегралу по (2), так как из равенства (25),наоборот, вытекает равенство (24). Если кривые (1) и (2), соединяющие точки A и B, пересекаются, то, соединив A c B кривой (3),которая не пересекается ни с кривой (1), ни с (2), из равенствZ(B)Z(B)(1)P dx + Qdy = (3)P dx + Qdy,(A)(2)(A)Z(B)(A)Z(B)P dx + Qdy = (3)P dx + Qdy,(A)74]§ 7. Криволинейные интегралы303будем иметьZ(B)Z(B)(1)P dx + Qdy = (2)P dx + Qdy.(A)(A)Итак, условие независимости интеграла от пути совпадает сусловием, что интеграл по любому замкнутому контуру (l) равеннулю.Если последнее условие выполнено, то из формулы (18) мы получимZZ ∂Q ∂P−dσ ≡ 0,(26)∂x∂y(σ)причем область интегрирования (σ) может быть взята совершеннопроизвольно.Покажем, что отсюда вытекает∂Q ∂P−=0∂x∂y(27)тождественно, т.
е. при всех значениях x и y из (D).В самом деле, пусть в некоторой точке C(a, b) разность∂Q ∂P−= f (x, y)∂x∂yотлична от нуля, например положительна. В силу непрерывности∂Qпроизводных ∂P∂y и ∂x , что мы предполагаем, указанная разностьбудет положительной в некотором малом круге (σ0 ) с центром в C.Составим интегралZZZZ ∂Q ∂P−dσ,f (x, y)dσ =∂x∂y(σ0 )(σ)и применим к нему теорему о среднем [64]:ZZ ∂Q ∂P−dσ = f (ξ, η)σ,∂x∂y(σ)304Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[74где (ξ, η) — некоторая точка из (σ0 ), и потому f (ξ, η) > 0, откудавытекает, чтоZZ ∂Q ∂P−dσ > 0,∂x∂y(σ0 )а это противоречит тому, что интеграл (26) равен нулю при любомвыборе области (σ). Итак, условие (27) необходимо для независимости интеграла от пути. Нетрудно видеть, чтоRоно и достаточно, ибоиз него, в силу (18), вытекает, что интеграл P dx + Qdy по любой(l)замкнутой кривой равен нулю, что и равносильно независимостиинтеграла от пути.Итак, условие (27) необходимо и достаточно для того, чтобыинтегралZ(B)P dx + Qdy(28)(A)не зависел от пути интегрирования и был только функцией координат точек A и B.Если это условие выполнено, имы закрепим точку A(x0 , y0 ), а будем считать переменной только точку B(x, y), то интеграл (28) будетфункцией (x, y), или, как говорят,функцией точки B:(x,y)ZP dx + Qdy = U (x, y).(29)(x0 ,y0 )Рис. 63.Исследуем свойства этой функции.
Оставив без изменения y, дадимприращение ∆x только переменной x. Мы получимU (x + ∆x, y) − U (x, y) =(x+∆x,y)ZP dx + Qdy −(x0 ,y0 )(x,y)Z(x0 ,y0 )P dx + Qdy.74]§ 7. Криволинейные интегралы305Ввиду независимости интеграла от пути интегрирования, мыможем считать, что путь интегрирования в первом интеграле состоит из кривой AB (рис. 63), соединяющей A с B, той же самой,что и для второго интеграла, и отрезка прямой BB ′ . Интеграл поAB сократится и останетсяU (x + ∆x, y) − U (x, y) =(x+∆x,y)ZP dx + Qdy =(x, y)x+∆xZP (x, y)dx,xибо на прямой BB ′ y не меняется, и dy = 0. Применяя теорему осреднем [I, 95], мы находимU (x + ∆x, y) − U (x, y) = ∆xP (x + θ∆x, y)(0 < θ < 1).Разделив на ∆x и приближая ∆x к 0, получим∂U= lim P (x + θ∆x, y) = P (x, y).∆x→0∂x(30)Таким же точно образом мы найдем∂U= Q(x, y).∂y(31)Соотношения (30) и (31) дают нам [I, 68]dU =∂U∂Udx +dy = P dx + Qdy.∂x∂yТаким образом оказывается, что при выполнении условия (27)подынтегральное выражениеP dx + Qdy(32)является полным дифференциалом функции U (x, y), определяемойпо формуле (29).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
