1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 41
Текст из файла (страница 41)
е. F (N ) =F [x, y, f (x, y)]. Знаменательв правой части (29) определится по третьей из формулРис. 50.(24).Отметим, что интегралы по поверхности, очевидно, обладаютвсеми свойствами двойного интеграла, указанными в [64], в частности для них имеет место теорема о среднем.Докажем теперь одну из основных в теории кратных интеграловформул — формулу Остроградского, устанавливающую связь между трехкратным интегралом по объему (v) и интегралом по поверхности (S), ограничивающей этот объем.
Будем считать, как и в [61],что прямые, параллельные оси Z, пересекают (S) не более чем вдвух точках. Сохраним те же обозначения, что и на рис. 40 [61].Введем еще в рассмотрение направление (n) — нормали к (S), причем будем считать, что (n) направлено вовне объема (V ) (внешняянормаль) (рис.
50). Это направление (n) образует на верхней частиповерхности (II) острый угол с осью OZ, а на нижней части (I) —тупой угол. Поэтому на нижней части (I) | cos(n, Z)| = − cos(n, Z).Отметим, что cos(n, Z) = 0 на линии касания поверхности (S) спроектирующим цилиндром (рис.
50). Формула (26) даетdσxy = cos(n, Z)dS на (II) и dσxy = − cos(n, Z)dS (на I).(30)непрерывна в обПусть R(x, y, z) вместе с производной ∂R(x,y,z)∂zласти (v) вплоть до (S). Рассмотрим тройной интеграл по (v) от66]§ 6. Кратные интегралыфункции∂R(x,y,z).∂zZZZ269Пользуясь формулой (16), будем иметьZZ∂R(x, y, z)dv =∂zdσxy∂R(x, y, z)dz.∂zz1(σxy )(v)Zz2Но интеграл от производной равен разности значений первообразной функции при верхнем и нижнем пределах:ZZZZZ∂R(x, y, z)dv =[R(x, y, z2 ) − R(x, y, z1 )]dσxy∂z(σxy )(v)илиZZZ∂R(x, y, z)dv =∂zZZR(x, y, z2 )dσxy −(σxy )(v)Z ZR(x, y, z1 )dσxy.(σxy )Заменяя dσxy на dS по формулам (30), мы сведем интегрирование по (σxy ) к интегрированию по (S), причем в первом интеграле,содержащем переменную ординату z2 части (II) поверхности (S),придется пользоваться первой из формул (30), и получится интеграл по (II), а во втором интеграле, содержащем z1 , придется пользоваться второй из формул (30), и получится интеграл по (I):ZZZ∂R(x, y, z)dv =∂zZZR(x, y, z) cos(n, Z)dS+(II)(v)+ZZR(x, y, z) cos(n, Z)dS.(II)Значки у z можно уже не писать, так как указано, по какой именночасти поверхности производится интегрирование.
В правой частистоит сумма интегралов по частям (II) и (I), т. е. интеграл по всейповерхности (S):ZZZZZ∂R(x, y, z)dv =R(x, y, z) cos(n, Z)dS.(31)∂z(v)(S)270Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[66Если ϕ(x, y, z) и ψ(x, y, z) — функции, обладающие свойствамифункции R, то, принимая во внимание, что∂ϕ∂ψ∂(ϕψ)=ψ+ϕ,∂z∂z∂zможем на основании (31) написать формулу интегрирования по частям:ZZZZZZZZ∂ϕ∂ψdv = −ψdv +ϕψ cos(n, Z)dS.(311 )ϕ∂z∂z(v)(v)(S)Совершенно так же, взяв две другие функции P (x, y, z) иQ(x, y, z), мы могли бы доказатьZZZZZ∂P (x, y, z)dv =P (x, y, z) cos(n, X)dS∂x(S)(v)ZZZ∂Q(x, y, z)dv =∂yZZQ(x, y, z) cos(n, Y )dS.(S)(v)Складывая почленно полученные три формулы, придем к формуле ОстроградскогоZZZ ∂Q ∂R∂P++∂x∂y∂z(v)=ZZdv =[P cos(n, X) + Q cos(n, Y ) + R cos(n, Z)]dS.(32)(S)Аналогично (311 ) записываются формулы интегрирования почастям для производных x и y.Мы не пишем здесь для краткости аргументов x, y, z у функцийP , Q и R, но надо помнить, что это суть функции, определенные вобъеме (v) и непрерывные со своими производными.В следующей главе мы приведем большое число примеров применения формулы Остроградского.66]§ 6.
Кратные интегралы271Величины cos(n, X), cos(n, Y ), cos(n, Z) суть функции, определенные на поверхности (S). Мы их считали непрерывными. Можно сделать более общее предположение, а именно считать, что (S)разбивается на конечное число кусков, на каждом из которых указанные функции непрерывны. Это будет, например, иметь место,если (S) есть многогранник.При выводе формулы (31) мы предполагали, что прямые, параллельные оси OZ, пересекают поверхность (S) области (v) не болеечем в двух точках.
Нетрудно обобщить эту формулу и на областиболее общего вида. Заметим прежде всего, что если поверхность(S), кроме верхней части (II) и нижней части (I), имеет цилиндрическую боковую часть с образующими, параллельными оси OZ, то наэтой боковой части cos(n, Z) = 0, и добавление этой части к правойчасти формулы (31) не меняет величины интеграла по поверхности, так что все доказательство формулы остается справедливым.В более общем случае достаточно при помощи цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными оси OZ, разбить (v) наконечное число частей, удовлетворяющих предыдущим условиям, иприменить к каждой формулу (31). Складывая полученные такимобразом формулы, будем иметь в левой части тройной интеграл повсем объему (v).
В правой части будем иметь сумму интегралов повсем поверхностям тех частей, на которые мы разбили (v). Интегралы по приведенным вспомогательным цилиндрическим поверхностям,как указано выше, равны нулю. Таким образом в результате сложенияв правой части мы будем иметь интеграл по поверхности (S) первоначального объема (v). Итак, формула(31) оказывается справедливой и дляобластей (v) более общего вида.Заметим, что эти рассуждениясправедливы и для того случая, коРис. 51.гда (v) ограничено несколькими поверхностями: одной поверхностью извне и остальными изнутри.На рис.
51 изображен тот случай, когда (v) ограничено двумя поверхностями. При этом в правой части (31) надо интегрировать по272Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[67всем поверхностям, ограничивающим (v), и направление (n) будетна внутренних поверхностях направлено внутрь этих поверхностей[т. е. вовне (v)].67. Интегралы по определенной стороне поверхности. Иногда пользуются другим определением и другой формой записи интеграла по поверхности.
Рассмотрим сначала тот случай, когда поверхность (S), изображенная на рис. 50, удовлетворяет условиям, указанным в начале предыдущего номера. В каждой точке поверхности можнопридать нормали два противоположных направления: одно направленное во вне (V ), а другое внутрь (V ).
В соответствии с этим у поверхности можно различить две стороны — внешнюю и внутреннюю. ПустьR(x, y, z), как и выше, — функция, заданная на (S). Рассмотрим интегралZZR cos(n, Z)dS.(33)(S)Величина этого интеграла зависит от выбора направления нормали или,что то же, от указания на то, по какой стороне поверхности (S) производится интегрирование. При интегрировании по внешней сторонеcos(n, Z) > 0 и cos(n, Z)dS = dσxy на части II, а при интегрированиипо части I cos(n, Z) < 0, и cos(n, Z)dS = −dσxy , где dσxy — проекцияэлемента площади поверхности (S) на плоскость XOY , т.
е. элементыплощади области (σ) в формуле (29). В координатах (x, y) мы можемнаписать dσxy = dxdy, так что интеграл (33) приведется к интегралу пообласти (σ) плоскости XOY :ZZZZR[x, y, f (x, y)]dxdy или −R[x, y, f (x, y)]dxdy,(34)(σ)(σ)смотря по тому, по какой части (I или II) поверхности производится интегрирование. Но часто его в обоих случаях записывают одинаковоZZRdxdy,(35)(S)указывая, по какой стороне (внешней или внутренней) поверхности производится интегрирование.
Если интегрирование производится, например, по внешней стороне и части I, то интеграл (35) сводится ко второмуиз интегралов (34). Можно определить интеграл (35) непосредственно,67]§ 6. Кратные интегралы273Pкак предел суммы произведенийR(Mk )∆σk значений функции R(Mk )в точках поверхности на площади ∆σk проекций на плоскость XOY элементов ∆Sk , на которые разбита поверхность (S), причем ∆σk считаютсяположительными, если интегрирование совершается по внешней сторонеповерхности и части II, и отрицательными, если оно совершается тожепо внешней стороне, но по части I.Рассмотрим теперь общий случай поверхности (S).
Пусть M0 — некоторая точка этой поверхности. Фиксируем определенное направлениенормали (n) в этой точке и будем, выходя из точки M0 и двигаясьнепрерывно по (S), следить за непрерывным изменением нормали (n).Если при любом непрерывном движении это приведет нас к определенному направлению нормали в любой точке поверхности, то поверхностьназывается двусторонней. Если бы на такой поверхности мы фиксировали направление (n) в исходной точке M0 иначе, то при непрерывном движении мы и во всех остальных точках получили бы противоположное направление нормали. Это дает нам возможность говоритьо двух сторонах поверхности (S), смотря по тому, какое направлениенормали мы фиксировали в точке M0 , а тем самым и в остальных точках. Фиксируя сторону поверхности, мы получаем определенное значение для интеграла (33), и этот интеграл записывают при этом в виде(35) с указанием, по какой стороне поверхности производится интегрирование.Аналогичным образом определяются интегралыZZP dydzи(S)ZZQdxdz,(S)где P (x, y, z) и Q(x, y, z) — функции, заданные на (S).
Интегралы этисовпадают с интеграламиZZP cos(n, X)dSи(S)ZZQ cos(n, Y )dS.(S)При таком определении этих интегралов формулу (32) можно записать так:ZZZ (v)∂Q∂R∂P++∂x∂y∂zdv =ZZ(S)P dydz + Qdxdz + Rdxdy,274Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[68где в правой части интегрирование производится по внешней сторонеповерхности (S).Заметим, что существуют и односторонние поверхности, на которых при непрерывном движении вдоль поверхности нормаль, непрерывно меняясь по направлению, может перейти в противоположное направление привозвращении в исходную точРис. 52.ку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
