1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 105
Текст из файла (страница 105)
. . ).(133)191]§ 17. Волновое уравнение733Сравнивая это разложение с первой из формул (132), находим без труда(1)ϕ0 = 2∞X(1)(0)αm,0 J0 (kmr),ϕ(1)n =m=1ψn(1)=(n)α(1)m,n Jn (km r),∞Xm=1∞Xm=1(n)(1)βm,nJn (kmr).(134)Коэффициенты ϕ(1) и ψ (1) очевидно зависят от r, как это показываютиз выражения (133). Мы приходим таким образом к задаче о разложении(n)данной функции от r в ряд по функциям Jn (km r) — при фиксированномn. Имея эти разложения, мы определим коэффициенты α и β, и поставленная задача будет решена.Итак, пусть требуется разложить данную функцию f (r) в ряд видаf (r) =∞X(n)Am Jn (kmr).(135)m=1Допустив, что разложение это возможно и может быть интегрируемопочленно, мы покажем только, как определить коэффициенты Am .
Дляэтой цели мы докажем, что функции(n)Jn (k1 r),(n)(n)Jn (k2 r), . . . , Jn (kmr), . . .обладают свойством обобщенной ортогональности, а именно:ZlJn (kσ(n) r)Jn (kτ(n) r)rdr = 0приσ 6= τ.(136)0(n)2Действительно, уравнение (121), если в нем заменить k2 на kσ(n)2kτи соответственно Rn (r) на(n)Jn (kσ r)и(n)Jn (kτ r),дает нам(n)(n)1 dJn (kσ r)n2d2 Jn (kσ r)(n)2++k−Jn (kσ(n) r) = 0,σdr 2rdrr2(n)(n)1 dJn (kτ r)n2d2 Jn (kτ r)(n)2++k−Jn (kτ(n) r) = 0.τdr 2rdrr2и734Гл.
VII. Уравнения математической физики(n)[191(n)Умножив первое уравнение на rJn (kτ r), второе на rJn (kσ r), вычитая и интегрируя по r от 0 до l, получим22(kσ(n) − kτ(n) )ZlJn (kσ(n) r)Jn (kτ(n) r)rdr =0=Zl "0#(n)(n)d2 Jn (kσ r)d Jn (kτ r)(n)(n)Jn (kσ r) −Jn (kτ r) rdr+dr 2dr 22+Zl "0#(n)(n)dJn (kσ r)dJn (kτ r)(n)(n)Jn (kσ r) −Jn (kτ r) dr.drdrИнтегрируя по частям, мы имеемZ(n)(n)d2 Jn (kτ r)dJn (kτ r)Jn (kσ(n) r)drd =rJn (kσ(n) r)−dr 2drZ(n)(n)(n)dJn (kτ r) d[rJn (kσ r)]dJn (kτ r)−dr =rJn (kσ(n) r)−drdrdrZZ(n)(n)(n)dJn (kτ r) dJn (kσ r)dJn (kτ r)−rdr −Jn (kσ(n) r)dr,drdrdrи точно так жеZ(n)(n)d2 Jn (kσ r)dJn (kσ r)Jn (kτ(n) r)rdr =rJn (kτ(n) r)−dr 2drZZ(n)(n)(n)dJn (kσ r) dJn (kτ r)dJn (kσ r)−rdr −Jn (kτ(n) r)dr.drdrdrОтсюда выводим без труда:2(kσ(n) r−2kτ(n) )Zl0Jn (kσ(n) r)Jn (kτ(n) r)rdr =# r=l(n)(n)dJn (kσ r)dJn (kτ r)(n)(n).Jn (kσ r) −Jn (kτ r) =rdrdr"r=0191]§ 17.
Волновое уравнение(n)735(n)По самому определению чисел (kσ ), (kτ ) мы имеемJn (kσ(n) l) = Jn (kτ(n) l) = 0,откуда следует, что правая часть написанного равенства обращается внуль при r = l. Ввиду присутствия множителя r и конечности Jn (x) иJn′ (x) при x = 0 можно утверждать, что правая часть обращается в нуль(n)(n)и на нижнем пределе r = 0, но так как при σ 6= τ и kσ 6= kτ , отсюдавытекаетZlJn (kσ(n) r)Jn (kτ(n) r)rdr = 0,0что и требовалось доказать.После того как доказана формула (136), определение коэффициентовAm в разложении (135) не представляет труда: умножив обе части равен(n)ства (135) на Jn (kp r), интегрируя по r от 0 до l и пользуясь формулой(136), мы находим сразуZlf (r)Jn (kp(n) r)rdr= Ap0ZlJn2 (kp(n) r)rdr.0Итак, мы можем сказать, что если разложение (135) возможно и егоможно почленно интегрировать, то коэффициенты Am определяются поформуламAm =Rl(n)f (r)Jn (km r)rdr0Rl.(n)Jn2 (km r)rdr0Формулы (133) и (134) дают нам теперь следующие выражения для736Гл.
VII. Уравнения математической физики[191коэффициентов α(1) и β (1) :(1)αm,01=2Rl0(1)(0)ϕ0 J0 (km r)rdrRl=(0)Jn2 (km r)rdr01=2πRl0α(1)m,nπRl0(1)βm,nπRl0ZπZl(0)r)rdr,ϕ1 (r, θ)J0 (km0(n)ϕ1 (r, θ) cos nθJn (kmr)rdr,Jn2 (km r)rdr −πZlZπZl(n)ϕ1 (r, θ) sin nθJn (kmr)rdr.(n)1=dθ(0)J02 (km r)rdr −π1=Zπ(n)Jn2 (km r)rdr −πdθ0dθ0Пользуясь теми же соображениями, мы определим и коэффициенты α(2) , β (2) — нужно только заменить в предыдущих формулах ϕ1 на ϕ2 и разделитьсоответствующие выражения наωm,n . Как и в случае прямоугольной мембраны, общее движениекруговой мембраны складывается из бесчисленного множествасобственных гармонических колебаний, причем одной и той жечастоте может соответствовать ибесчисленное множество различных случаев расположения узловых линий.
На рис. 130 изображены некоторые случаи расположеРис. 130.ния узловых линий с указаниемсоответствующей частоты, причем за единицу принята частота основного тона; здесь же указаны и радиусы узловых линий, имеющих видокружностей, и эти радиусы выражены в долях радиуса мембраны.192]§ 17. Волновое уравнение737При применении метода Фурье в случае любого контура можно выделить лишь множитель, зависящий от t, согласно формуле (106), чтоприводит к уравнению∂2U∂2U++ k2 U = 0,∂x2∂y 2(137)и надо определить те значения параметра k, при которых написанноеуравнение имеет решения, отличные от нуля, удовлетворяющие предельному условию (102), а также сами эти решения.
В предыдущих примерахэто нам удавалось сделать при помощи дальнейшего разделения переменных. В общем случае этот метод неприменим, и надо рассматривать непосредственно уравнение (137). Задача, естественно, не решается в явнойформе. Теоретическое решение указанной задачи и некоторые качественные результаты, к ней относящиеся, будут даны в томе IV. Предельнаязадача для волнового уравнения в трехмерном пространстве в случаепрямоугольного параллелепипеда решается совершенно так же, как и в[190], но только мы приходим к рядам Фурье по трем переменным x, y иz. Случай сферы опять приводит к функциям Бесселя.
Мы будем говорить об этом в томе III, в связи с более подробным изложением теориифункций Бесселя.Подробное исследование сходимости рядов Фурье, получаемых прирешении предельных задач для волнового уравнения в случае многихпространственных переменных, будет дано в томе IV.192. Теорема единственности. Докажем теперь единственность решения волнового уравнения как в случае безграничногопространства, при заданных начальных условиях, так и при наличии еще предельных условий.
Для простоты письма будем считатьскорость a = 1, чего можно достигнуть, заменяя в волновом уравнении t на a−1 t. Для определенности возьмем случай трех независимых переменных, т. е. волновое уравнение∂2u ∂2u∂2u=+ 2,∂t2∂x2∂y(138)и начнем с рассмотрения задачи с одними начальными условиями,заданными на всей плоскости:∂u = ϕ1 (x, y).u|t=0 = ϕ(x, y),(139)∂t t=0738Гл. VII.
Уравнения математической физики[192Мы уже имели решение этой задачи [185]. Из самого метода этого решения можно было бы получить и единственность. Мы дадимсейчас другое доказательство единственности, которое будет применимо и для задачи с предельным условием. Если уравнение (138)с начальными условиями (139) имеет два решения: u1 и u2 , то разность u2 −u1 должна удовлетворять уравнению (138) и однороднымначальным условиямu|t=0 = 0,∂u = 0.∂t t=0(140)Надо показать, что при этом u должно тождественно равнятьсянулю при любых значениях (x, y) и при любом t > 0. Рассмотримтрехмерное пространство (x, y, t) и возьмем в нем некоторую точку N (x0 , y0 , t0 ) такую, что t0 > 0.
Из этой точки, как вершины,проведем коническую поверхность(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − (t − t0 )2 = 0(141)до ее пересечения с плоскостью t = 0. Проведем еще плоскостьt = t1 , где 0 < t1 < t0 , и пусть D — трехмерная область, ограниченная боковой поверхностью Γ упомянутого конуса и частямиплоскостей t = 0 и t = t1 , находящимися внутри конуса (D —усеченный конус). Нетрудно проверить следующее элементарноетождество:∂u2∂t∂2u ∂2u ∂2u− 2− 2∂t2∂x∂y2 #∂u++−∂t∂ ∂u ∂u∂ ∂u ∂u−2−2. (142)∂x ∂t ∂x∂y ∂t ∂y∂=∂t"∂u∂x2∂u∂y2Проинтегрируем его обе части по упомянутой области D. Интегралот левой части должен обращаться в нуль, поскольку u являетсярешением уравнения (138). Интеграл правой части мы можем преобразовать в интеграл по поверхности области D, пользуясь фор-192]§ 17.
Волновое уравнение739мулой Остроградского:Z Z ( " 2 2 2 #∂u∂u∂u++cos(n, t)−∂x∂y∂t)∂u ∂u∂u ∂ucos(n, x) − 2cos(n, y) ds−2∂t ∂x∂t ∂y(143)На нижнем основании усеченного конуса D функция u и все еечастные производные первого порядка, в силу (140), равны нулю,и интеграл (143) по нижнему основанию равен нулю. На верхнемосновании (σ), лежащем в плоскости t = t1 , мы имеемcos(n, x) = cos(n, y) = 0 иcos(n, t) = 1.На боковой поверхности Γ конуса направляющие косинусы нормалиудовлетворяют соотношениюcos2 (n, t) − cos2 (n, x) − cos2 (n, y) = 0,и интеграл (143) по Γ может быть переписан в видеJ=ZZ1cos(n, t)Γ(2∂u∂ucos(n, t) −cos(n, x) +∂x∂t2 )∂u∂ucos(n, t) −cos(n, y)+ds,∂y∂tи мы получим окончательноZ Z " 2 2 2 #∂u∂u∂u++ds = 0.J+∂x∂y∂t(σ)На поверхности Γ имеем cos(n, t) > 0, и, следовательно, J > 0, апотомуZ Z " 2 2 2 #∂u∂u∂u++ds = 0,∂x∂y∂t(σ)740Гл.
VII. Уравнения математической физики[192откуда следует, что во всех точках внутри полного конуса с вершиной N (x0 , y0 , t0 ) частные производные первого порядка функцииu равны нулю, и, следовательно, сама функция u — постоянна.<b>Текст обрезан, так как является слишком большим</b>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
