1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 102

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 102)

Ее можно,очевидно, записать в видеZ2πZπZ2πZπ∂  ttϕ1 (α, β, γ)d1 σ +ϕ(α, β, γ)d1 σ  ,u(x, y, z, t) =4π∂t 4π0000(761 )где d1 σ = sin θdθdϕ и (α, β, γ) — координаты переменной точки вышеупомянутой сферы:α = x + at sin θ cos ϕ,β = y + at sin θ sin ϕ,γ = z + at cos θ. (77)Предыдущие рассуждения показывают, что функция u, определенная формулой (76), действительно удовлетворяет уравнению710Гл.

VII. Уравнения математической физики[185(67) и условиям (75), если ϕ1 (x, y, z) имеет непрерывные производные до второго порядка и ϕ(x, y, z) до третьего порядка. Последнееобстоятельство связано с тем, что в формуле (76) второе слагаемоесодержит дифференцирование по t.Однако, если ϕ(x, y, z) и ϕ1 (x, y, z) обладают более плохимидифференциальными свойствами, как это бывает, например, в задачах с сосредоточенными начальными возмущениями, то и тогдаестественно считать, что формула (761 ) дает решение задачи.

Только в этом случае решение будет не классическим, а обобщенным(см. том IV).В дальнейшем мы увидим, что поставленная задача можетиметь только одно решение.Положим, что начальное возмущение сосредоточено в некотором ограниченном объеме (v) с поверхностью (σ), т. е. что ϕ(N )и ϕ1 (N ) равны нулю вне (v), и пусть точка M находится вне (v).При t < da , где d — кратчайшее расстояние от M до (σ), сфера (Sat )находится вне (v), обе вышеупомянутые функции равны нулю на(Sat ), и формула (76) дает u(M, t) = 0, т. е.

покой в точке M . Вмомент t = ad поверхность (Sat ) коснется (σ), и передний фронтволны пройдет через M . Наконец, при t > Da , где D — наибольшеерасстояние от M до точек поверхности (σ), сфера (Sat ) будет опятьнаходиться вне (v) [весь объем (v) будет внутри (Sat )], и формула(76) опять дает u(M, t) = 0. Моменту t = Da соответствует прохождение заднего фронта волны через точку M , после чего в этойточке u(M, t) обращается в нуль, а не в постоянную, как это было для струны (т.

е. для плоской волны). Передний фронт волныв заданный момент t представляет собою поверхность, отделяющую точки, которые еще не начали колебаться, от точек, которыеуже колеблются. Из предыдущего вытекает, что все точки этой поверхности имеют кратчайшее расстояние от (σ), равное at. Нетрудно показать, что эта поверхность будет огибающей для семействасфер, имеющих центры на поверхности (σ) и радиус at. Постоянная a является, как мы видим, скоростью распространения фронтаволны.185. Цилиндрические волны.

Отнесем пространство к прямолинейным прямоугольным осям и предположим, что функции185]§ 17. Волновое уравнение711ϕ(x, y, z) и ϕ1 (x, y, z) зависят только от x и y, т. е. сохраняют постоянное значение на всякой прямой, параллельной оси OZ. Еслипередвигать точку M (x, y, z) параллельно оси OZ, то, очевидно,правая часть формулы (761 ) не будет менять своего значения, т. е.функция u(x, y, z, t) также не будет зависеть от z, и формула (761 )даст нам решение уравнения∂2u= a2∂t2∂2u ∂2u+ 2∂x2∂y(78)при начальных условияхu|t=0 = ϕ(x, y),∂u = ϕ1 (x, y).∂t t=0(79)Мы можем рассматривать это решение, оставаясь исключительно на плоскости XOY .

Для этого нам надо интегралы формулы(761 ), которые берутся по сферам, преобразовать в интегралы покругам на плоскости XOY . Возьмем точку M (x, y) на плоскостиXOY . Точки с координатами (α, β, γ), определяемые по формулам (77) при z = 0, суть переменные точки сферы (Sat ) с центромM (x, y, 0) и радиусом at. Элемент площади поверхности этой сферы будет dSat = a2 t2 d1 σ. Части этой сферы, находящиеся над и подплоскостью XOY , проектируются на плоскость XOY в виде круга (Cat ) с центром M и радиусом at.

Элемент площади проекцииdCat связан с элементом площади поверхности сферы dSat формулой [66]:dSat =dCat,cos(n, Z)где n — направление нормали к (Sat ), т. е. радиуса этой сферы, образующее острый угол с осью OZ. Если N — переменная точка сферы,N1 — ее проекция на плоскость XOY , то из элементарных геометрических соображений ясно, чтоcos(n, Z) =N N1=MNpa2 t2 − (α − x)2 − (β − y)2,at712Гл. VII. Уравнения математической физики[185где (α, β) — координаты переменной точки круга (Cat ). Подставляявсе это в первый из интегралов формулы (761 ) и принимая во внимание, что круг (Cat ) получится как от верхней, так и от нижнейчасти сферы (Cat ), мы получим следующее преобразование первогоинтеграла формулы (761 ):t4πZ2πZπ01ϕ1 (α, β, γ)d1 σ =4πa2 t01=2πaZZ(Cat )ZZϕ1 (α, β)dSat =(Sat )ϕ1 (α, β)pdCat .22a t − (α − x)2 − (β − y)2Применяя то же преобразование ко второму интегралу и обозначая элемент площади dCat на плоскости XOY в виде dαdβ, мыполучаем окончательно следующую формулу для искомой функции, удовлетворяющей уравнению (78) и условиям (79):1u(x, y, t) =2πaZZϕ1 (α, β)dαdβp+22a t − (α − x)2 − (β − y)2(Cat )ZZ∂  1ϕ(α, β)dαdβp+ .

(80)∂t 2πaa2 t2 − (α − x)2 − (β − y)2(Cat )Положим, что начальное возмущение ограничивается некоторой конечной областью (B) на плоскости XOY с контуром (l), т. е.ϕ(x, y) и ϕ1 (x, y) равны нулю вне (B). Положим, что точка M лежит вне (B). Для моментов времени t < da , где d — кратчайшеерасстояние от M до контура (l), круг (Cat ) не имеет общих точек с(B), функции ϕ(x, y) и ϕ1 (x, y) равны нулю во всем круге (Cat ), иформула (80) дает u(x, y, t) = 0.

В момент t = ad в точку M придетпередний фронт волны. Для значений t > Da , где D — наибольшеерасстояние от M до точек (l), круг (Cat ) будет содержать внутрисебя всю область (B), и интегрирование в формуле (80) надо совершать просто по области (B), так как ϕ(x, y) и ϕ1 (x, y) обращаются186]§ 17. Волновое уравнение713в нуль вне (B), т. е.ZZ1ϕ1 (α, β)dαdβp+u(x, y, t) =2πaa2 t2 − (α − x)2 − (β − y)2(B)ZZ∂  1ϕ(α, β)dαdβp+.2222∂t 2πaa t − (α − x) − (β − y)(B)В данном случае, после прохождения заднего фронта волны в момент t = Da функция u(x, y, t) не обращается ни в нуль, как в случаетрехмерного пространства, ни в постоянную, как в случае струны.Но ввиду присутствия a2 t2 в знаменателе мы можем все же утверждать, что u(x, y, t) будет стремиться к нулю при беспредельномвозрастании t.Говорят, что в рассматриваемом случае имеет место явлениедиффузии волн после прохождения заднего фронта.

Мы провеливсе рассуждения, оставаясь на плоскости XOY . В трехмерном пространстве уравнению (78) соответствуют так называемые цилиндрические волны.186. Случай n-мерного пространства. Полученные в [184] результаты непосредственно обобщаются на случай любого числа измерений. Мы будем рассматривать n-мерное пространство с координатами(x1 , x2 , . . . , xn ). Объем сферы радиуса r в таком пространстве определяется формулой [97]:nvn (r) =(2π) 2rn2 · 4 · 6 .

. . (n − 2) · n(n — четно),vn (r) =2 2 π 2rn1 · 3 · 5 . . . (n − 2) · n(n — нечетно).n+1n−1Дифференцируя эти выражения по r, мы получим величину площадиповерхности сферы:nσn (r) =(2π) 2r n−12 · 4 · 6 . . . (n − 2)(n — четно),σn (r) =2 2 π 2r n−11 · 3 · 5 . . . (n − 2)(n — нечетно).n+1n−1714Гл. VII. Уравнения математической физики[186Направляющие косинусы αk радиусов сферы выражаются через (n − 1)углов по формуламα1 = cos θ1 ,α2 = sin θ1 cos θ2 ,α3 = sin θ1 sin θ2 cos θ3 ,........................................αn−2 = sin θ1 sin θ2 . .

. sin θn−3 cos θn−2 ,αn−1 = sin θ1 sin θ2 . . . sin θn−2 cos ϕ,αn = sin θ1 sin θ2 . . . sin θn−2 sin ϕ,где0 6 θk 6 π,0 6 ϕ < 2π.Элемент площади поверхности единичной сферы (σ1 ) будетd1 σ = sinn−2 θ1 sinn−3 θ3 . . . sin θn−2 dθ1 dθ2 . . .

dθn−2 dϕ,и для сферы (σr ) радиуса r:dr σ = r n−1 d1 σ.Положим, что в пространстве Rn задана функция ω с непрерывнымипроизводными до второго порядка. Ее среднее арифметическое по сферес центром (x1 , . . . , xn ) и радиусом r будет определяться формулойZZ1. . . ω(x1 + α1 r, x2 + α2 r, .

. . , xn + αn r)d1 σv(x1 , x2 , . . . , xn , r) =σn (1)(σ1 )илиv(x1 , x2 , . . . , xn , r) =1σn (r)Z...(σr )Zω(x1 + α1 r, x2 + α2 r, . . . , xn + αn r)dr σ.Совершенно так же, как и выше, мы можем показать, что функция vудовлетворяет дифференциальному уравнениюn − 1 ∂v∂2v− ∆v +=0∂r 2r ∂rи начальным условиямv|r=0 = ω(x1 , . . . , xn ),∂v = 0.∂r r=0187]§ 17. Волновое уравнение715Пользуясь указанным результатом, можно получить окончательныеформулы для волнового уравнения с любым числом независимых переменных.

Мы приведем в общем случае лишь окончательные результаты.Решение волнового уравнения 2∂ u∂2u∂2u∂2u2=a++··(81)·+∂t2∂x21∂x23∂x2nпри начальных условиях∂u = ω(x1 .x2 , . . . , xn )∂t t=0u|t=0 = 0,при нечетном n имеет видn−3u(x1 , . . . , xn , t) =n−32 2∂ 2[tn−2 Tat {ω(xi )}]·1 · 3 . . . (n − 2) ∂(t2 ) n−32(821 )и при четном nu(x1 , . . . , xn , t) =n−2=2 2∂2 · 4 . . . (n − 2) ∂tZat0n−2√r∂ 2n−2Tr {ω(xi )}]dr,n−2 [r22t − r ∂(r 2 ) 2(822 )где Tρ {ω(xi )} — среднее арифметическое от функции ω(x1 , x2 , .

. . , xn ) посфере с центром (x1 , x2 , . . . , xn ) и радиусом ρ. Для проверки формул (821 )и (822 ) нам достаточно потребовать, чтобы функция ω(x1 , x2 , . . . , xn )и приимела при нечетном n непрерывные производные до порядка n+12.четном n до порядка n+22187. Неоднородное волновое уравнение. Рассмотрим неоднородное волновое уравнение 2∂ u ∂ 2u ∂ 2 u∂ 2u2=a+++ f (x, y, z, t)(83)∂t2∂x2∂y 2∂z 2в безграничном пространстве, и будем искать его решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям∂u = 0.u|t=0 = 0,(84)∂t t=0716Гл.

VII. Уравнения математической физики[187Добавляя к этому решению однородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (75), получим решение уравнения (83),удовлетворяющее условиям (75).Для решения поставленной выше задачи рассмотрим решениеоднородного уравнения 2∂ w ∂2w ∂2w∂2w2=a++,(85)∂t2∂x2∂y 2∂z 2удовлетворяющее начальным условиям∂w = f (x, y, z, τ ),(86)w|t=τ = 0,∂t t=τпричем в качестве начального момента взято не t = 0, а t = τ , гдеτ — некоторый параметр.

Функция w будет выражаться формулойПуассона, но только в этой формуле мы должны заменить t на(t − τ ), поскольку начальным моментом времени является не t = 0,а t = τ . Мы будем иметь таким образомw(x, y, z, t; τ ) =t−τ=4πZ2πZπ00f [x + α1 a(t − τ ), y + α2 a(t − τ ), z + α3 a(t − τ ), τ ]d1 σ,(87)гдеα1 = sin θ cos ϕ,α2 = sin θ sin ϕ,α3 = cos θ.(88)Отметим, что функция w, кроме обычных независимых переменных (x, y, z, t), зависит от параметра τ . Определим теперь функцию u(x, y; z, t) формулойu(x, y, z, t) =Ztw(x, y, z, t; τ )dτ(89)0и покажем, что она удовлетворяет неоднородному уравнению и нулевым начальным условиям (84).

Мы имеем∂u=∂tZt0∂w(x, y, z, t; τ )dτ + w(x, y, z, t; τ )|τ =t .∂t(90)187]§ 17. Волновое уравнение717Внеинтегральный член равен нулю в силу первого из условий (86).Дифференцируя еще раз по t, получим∂2u=∂t2Zt0∂ 2 w(x, y, z, t; τ )∂w(x, y, z, t; τ ) dτ + ,∂t2∂tτ =tпричем полученный внеинтегральный член равен f (x, y, z, t) в силувторого из условий (86), т.

е.∂2u=∂t2Zt∂ 2 w(x, y, z, t; τ )dτ + f (x, y, z, t).∂t20При дифференцировании выражения (89) по координатам достаточно дифференцировать подынтегральную функцию∆u =Zt∆w(x, y, z, t; τ )dτ.0Из двух последних формул и уравнения (85) непосредственновытекает, что u удовлетворяет уравнению (83).

Характеристики

Список файлов книги