1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 99
Текст из файла (страница 99)
VII. Уравнения математической физики[179(28) дает нам значения θ2 (x) в промежутке (l, 2l), а первое даетθ1 (x) в промежутке (−l, 0). Далее, при изменении x в промежутке (l, 2l) аргумент (l − x) изменяется в промежутке (−l, 0), и правые части равенств (28) нам известны на основании предыдущеговычисления.При этом аргументы (−x) и (l + x) изменяются в промежутках(−2l, −l) и (2l, 3l), так что формулы (28) дают нам θ2 (x) в промежутке (2l, 3l) и θ1 (x) в промежутке (−2l, −l).
Продолжая так идальше, мы убедимся в том, что формулы (28) дают нам определенные значения для функции θ1 (x) при x 6 0 и θ2 (x) при x > l, чтонам и надо для применения формулы (12) при t > 0. Совершеннотак же, если менять x в промежутке (−l, 0), то левые части формул (28) нам известны, и мы получаем θ2 (x) в промежутке (−l, 0) иθ1 (x) в промежутке (l, 2l). Меняя затем x в промежутке (−2l, −l),получим θ2 (x) в промежутке (−2l, −l) и θ1 (x) в промежутке (2l, 3l)и т. д., т. е. все формулы (28) дают нам определенные значения θ1 (x)и θ2 (x) при всех вещественных x.Если мы заменим во втором из уравнений (28) x на (l + x) ивоспользуемся первым уравнением, то получимθ2 (x + 2l) = −θ1 (−x) = θ2 (x),т.
е. оказывается, что функция θ2 (x) имеет период 2l. После этогопервое из уравнений (28) покажет нам, что и функция θ1 (x) имеетпериод 2l. Из этого вытекает, что для фактического знания θ1 (x)и θ2 (x) при всех вещественных x нам достаточно провести толькопервую из описанных выше операций продолжения этих функций,т. е. достаточно изменять x только в промежутке (0, l). Формулы(28) дадут нам θ1 (x) в промежутке (−l, 0) и θ2 (x) в промежутке(l, 2l), т. е. θ1 (x) будет известно в промежутке (−l, +l), а θ2 (x) — впромежутке (0, 2l). Остальные значения этих функций получаютсяиз их периодичности.Определив таким путем функции θ1 (x) и θ2 (x), нетрудно продолжить и функции ϕ(x), ϕ1 (x), так как, в силу уравнений (26),мы имеемϕ(x) = θ1 (x) + θ2 (x),1aZx0ϕ1 (z)dz = θ2 (x) − θ1 (x),179]§ 17. Волновое уравнение687т.
е.ϕ1 (x) = a[θ2′ (x) − θ1′ (x)].Заменяя в первом из уравнений (28) x на (−x), а также дифференцируя, получимθ1 (x) = −θ2 (−x),θ1′ (−x) = θ2′ (x),θ1′ (x) = θ2′ (−x).Пользуясь этими соотношениями и первыми из уравнений (28), можем написать,ϕ(−x) = θ1 (−x) + θ2 (−x) = −θ2 (x) − θ1 (x) = −ϕ(x),ϕ1 (−x) = a[θ2′ (−x) − θ1′ (−x)] = a[θ1′ (x) − θ2′ (x)] = −ϕ1 (x),т.
е. для ϕ(x) и ϕ1 (x) получаем чрезвычайно простой закон продолжения: они продолжаются из промежутка (0, l) в промежуток (−l, 0) по закону нечетности, а затем с периодом 2l. Еслипри этом мы получим на всей осиx функции ϕ(x) и ϕ1 (x) такие,что ϕ(x) имеет непрерывные производные ϕ′ (x) и ϕ′′ (x), а ϕ1 (x) —непрерывную производную ϕ′1 (x),то, согласно формуле (17), мыбудем иметь дважды непрерывнодифференцируемое решение нашей задачи.Обращаемся вновь к плоскостиxt.
Ввиду ограниченности струны,надо рассматривать только полосу верхней полуплоскости t > 0,заключающуюся между прямымиx = 0, x = l (рис. 124). Выяснимфизический смысл решения (12),Рис. 124.в котором функции θ1 (x) и θ2 (x)определены уже при всех значениях x, как указано выше. Проведячерез точки O и L характеристики до встречи с противоположными границами полосы, через полученные точки пересечения опятьпроводим характеристики до встречи с противоположными границами полосы и т. д.688Гл.
VII. Уравнения математической физики[179Мы разобьем таким образом полосу на области (I), (II), (III),. . .Точки области (I) соответствуют тем точкам струны, до которыхуспели дойти возмущения лишь от внутренних точек, а потомуфиктивно добавленные бесконечные части струны здесь на движение не влияют. В точках вне области (II) мы имеем уже возмущение,дошедшее от фиктивной части струны; возьмем, например, точкуM0 (x0 , t0 ) в области (II). Так какu(x0 , t0 ) = θ1 (x0 − at0 ) + θ2 (x0 + at0 ),то в этой точке имеются две волны: одна — прямая, дошедшая доначально возмущенной точки M1 струны с абсциссой x = x0 − at0 ,другая — обратная из точки M2 с абсциссой x = x0 + at0 , причем вданном случае M1 есть реальная точка из промежутка (0, l), M2 —фиктивная.
Нетрудно заменить ее реальной точкой, заметив, что,в силу (28),θ2 (x0 + at0 ) = θ2 (l + x0 + at0 − l) = −θ1 (2l − x0 − at0 ),и таким образом обратная волна θ2 (x0 + at0 ) есть не что иное, какпрямая волна −θ1 (2l − x0 − at0 ) от начально возмущенной точкиM2′ (2l − x0 − at0 ) (симметричной с M2 относительно точки L), которая, дойдя до конца струны L в моментt=x0 + at0 − ll − (2l − x0 − at0 )=,aaизменила свое направление и знак на обратные и к моменту t0 дошла в таком виде до точки M0 ; другими словами, действие закрепленного конца x = l свелось к отражению волны смещения,связанному с переменой знака смещения и с сохранением его абсолютной величины.То же явление мы обнаружим и для волн, дошедших до концаx = 0; в точках области (III) мы будем иметь две волны: обратнуюи прямую, отраженную от конца x = 0. В точках областей (IV),(V), (VI),.
. . получим волны, которые претерпели несколько такихотражений от обоих концов струны.179]§ 17. Волновое уравнение689Если бы вместо предельного условия (25) мы, например, в концеx = l имели бы условие∂u = 0,∂x x=lто вместо второго из уравнений (27) мы получили быθ1′ (l − at) + θ2′ (l + at) = 0,или, заменяя опять at на x,θ2′ (l + x) = −θ1′ (l − x).Интегрируя это соотношение, имеем очевидноθ2 (l + x) = θ1 (l − x) + C,где C — некоторая постоянная, которую, не ограничивая общности,можно считать равной нулю, в чем предоставляем убедиться читателю. Таким образом, мы имеемθ2 (l + x) = θ1 (l − x).(29)Физический смысл этого уравнения сводится также к отражению от конца x = l, но с сохранением и знака и величины смещения.Особенно простой пример изложенного выше способа характеристик и отражений дает нам «защепленная струна», которая в начальныймомент была оттянута за одну из ееточек без начальной скорости.
Читатель без труда докажет нижеслеРис. 125.дующий способ определения фигурыструны в любой момент t по ее начальной фигуре.На рис. 125 линией OAL изображена начальная форма струны, пунктирной — симметричное ее изображение относительно середины струныx = 2l . Опустим на OL перпендикуляр AP до встречи его с прямой A′ L вточке B ′ , находим середину C отрезка A′ B ′ и определяем таким образомнаправление LC.690Гл. VII.
Уравнения математической физики[180Фигура струны в любой момент получится, если мы будем передвигать секущую, параллельную направлению LC, от точки A к точкеA′ , в частности в момент τ = al струна займетположение пунктирной ломаной OA′ L.На рис. 126 изображены последовательныеформы, принимаемые струной в моменты:0,1τ,41τ,23τ,4τ.180. Способ Фурье. Поперечные колебания струны, закрепленной в концах, могутбыть трактованы и с помощью рядов Фурье,и хотя в этом частном случае этот способ ине так прост, как предыдущий, мы его изложим, так как он применяется во многихдругих задачах, к которым способ характеристик не применяется.
Напишем еще разуравнения нашей задачи в другом порядке:2∂2u2∂ u=a,∂t2∂x2u|x=0 = 0,u|t=0 = ϕ(x),u|x=l = 0,∂u = ϕ1 (x).∂t (30)(31)(32)t=0Рис. 126.Вместо того чтобы искать общее решениеуравнения (30), будем искать частное его решение в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от t, адругая только от x∗ :u = T (t)X(x).(33)Подставив это в (30), имеемX(x)T ′′ (t) = a2 T (t)X ′′ (x)∗ Такой вид решения диктуется видом уравнения, в котором одна частьсодержит частную производную только по t, а другая только по x.180]§ 17.
Волновое уравнение691илиX ′′ (x)T ′′ (t)=.2a T (t)X(x)В левой части полученного уравнения стоит функция, зависящая только от t, в правой же — только от x, и равенство возможнолишь в том случае, если и левая и правая части не зависят ни от t,ни от x, т. е. представляют собой одну и ту же постоянную.Обозначим эту постоянную через (−k 2 ):X ′′ (x)T ′′ (t)== −k 2 ;a2 T (t)X(x)(34)откуда получаем два уравненияX ′′ (x) + k 2 X(x) = 0,T ′′ (t) + a2 k 2 T (t) = 0.(35)Общие интегралы этих уравнений при k 6= 0 будут [28]X(x) = C cos kx + D sin kx,T (t) = A cos akt + B sin akt,где A, B, C, D — произвольные постоянные.Согласно (33) для u получимu = (A cos akt + B sin akt)(C cos kx + D sin kx).(36)Будем теперь подбирать постоянные так, чтобы удовлетворялисьпредельные условия (31), т.
е. чтобы в выражении (36) множитель,содержащий x, обращался в нуль при x = 0 и x = l. Это даетC · 1 + D · 0 = 0,C cos kl + D sin kl = 0.Из первого уравнения следует C = 0, и второе дает D sin kl = 0.Если считать D = 0, то, в силу C = D = 0, решение (36) будет тождественный нуль. Такое решение не представляет для нас интереса.Поэтому мы должны считать D 6= 0, но sin kl = 0.692Гл. VII. Уравнения математической физики[180Мы получаем таким образом уравнение для определения параметра k, который до сих пор оставался совершенно произвольным1 :sin kl = 0,т. е.2ππnπk = ± , ± ,...,± ,...(37)lllnπЕсли мы подставим в (36) k = nπl или k = − l , то разницабудет лишь в знаке у синусов, и ввиду наличия произвольных постоянных множителей эти два решения будут по существу одинаковыми.
Таким образом из значений (37) для k достаточно взятьлишь положительные. Полагая в формуле (36) C = 0 и обозначаяпроизвольные постоянные AD и BD через A и B, получимu = (A cos akt + B sin akt) sin kx.Мы должны еще подставить вместо k одно из значений (37).Подставляя вместо k различные значения, мы можем и постоянныеA и B считать различными. Мы получаем, таким образом, бесчисленное множество решенийnπatnπatnπx+ Bn sinsin(n = 1, 2, . .
. ). (38)un = An coslllЭти решения удовлетворяют как уравнению (30), так и предельным условиям (31). Заметим теперь, что благодаря линейности и однородности уравнений (30) и (31), если мы имеем решенияu1 , u2 , . . . , им удовлетворяющие, то и их сумма будет также им удовлетворять (как и в аналогичном случае обыкновенных линейныходнородных уравнений). Мы имеем таким образом следующее решение уравнений (30) и (31):∞ Xnπatnπxnπat+ Bn sinsin.(39)u=An cosllln=11 Если бы мы в уравнении (34) обозначили постоянную через (+k 2 ) вместо(−k 2 ), то получили бы X(x) = Cekx + De−kx и не смогли бы удовлетворитьпредельным условиям (31).Такое же обстоятельство будет иметь место и при k = 0.
Аналогичное замечание относится и к дальнейшим задачам, к которым мы будем применятьспособ Фурье.181]§ 17. Волновое уравнение693Остается подобрать постоянные An и Bn так, чтобы удовлетворялись и начальные условия (32). Продифференцируем решение(39) по t:∞ nπa∂u Xnπat nπanπatnπx=−An sin+Bn cossin.∂tlllll(40)n=lПолагая в (39) и (40) t = 0, получим, в силу (32),ϕ(x) =∞Xn=1An sinnπx,lϕ1 (x) =∞XnπanπxBn sin.lln=1(41)Написанные ряды представляют собою разложение заданныхфункций ϕ(x) и ϕ1 (x) по синусам в промежутке (0, l). Коэффициенты таких разложений определяются по известным нам формулам,и это дает нам следующие значения An и Bn :2An =lZl0nπzϕ(z) sindz,l2Bn =nπaZlϕ1 (z) sinnπzdz.l(42)0Подставляя эти значения в формулу (39), получим ряд, формально удовлетворяющий всем поставленным требованиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
