1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 97
Текст из файла (страница 97)
е. точку с различныминаправлениями касательной слева и справа.Как и вообще в динамике, одного уравнения движения (5) недостаточно для полного определения движения струны: нужно ещезадать ее состояние в начальный момент t = 0, т. е. положение ееточек u и их скорость ∂u∂t при t = 0, как известные функции от x:∂u = ϕ1 (x).(8)u|t=0 = ϕ(x),∂t t=0Эти условия, которым должна удовлетворять искомая функция uпри t = 0, называются начальными условиями.Теоретически можно рассматривать бесконечную струну, и вэтом случае для нахождения решения достаточно уравнения (5)и условий (8), причем ϕ(x) и ϕ1 (x) должны быть заданы во всембесконечном промежутке (−∞, +∞).
Этот случай может соответствовать рассмотрению плоских волн в безграничном пространстве.Как мы увидим в дальнейшем, полученные для бесконечной струны результаты дадут нам картину распространения возмущений и вограниченной струне до того момента времени, когда в рассматриваемую точку придут возмущения, отраженные от концов струны.Но если струна ограничена с одной или с обеих сторон в точках x = 0 и x = l, то нужно указать, что делается на ее концах.Пусть, например, конец струны x = 0 закреплен. В этом случае мыдолжны иметьu|x=0 = 0.(9)674Гл.
VII. Уравнения математической физики[177Если закреплен и конец x = l, то мы получаем ещеu|x=l = 0,(91 )и эти условия должны быть выполнены при всяком t.Но концы струны могут быть не закреплены, а двигаться заданным образом. Тогда ординаты этих точек струны нужно считатьзаданными функциями от времени, т. е. положитьu|x=0 = χ1 (t),u|x=l = χ2 (t).(10)Как бы то ни было, если струна ограничена с одной или с обеих сторон, то для каждого ее конца должно быть задано условие,которое называется предельным условием.Итак, мы видим, что для решения конкретной физической задачи не меньшее значение, чем само уравнение движения, имеютдополнительные начальные и предельные условия, и что нас интересует не столько нахождение каких-нибудь решений или дажеобщего решения уравнения движения, сколько нахождений именнотого решения, которое удовлетворяет поставленным начальным ипредельным условиям.177.
Решение Даламбера. В случае свободных колебаний бесконечной струны искомая функция u(x, t) должна удовлетворитьуравнению (6)2∂2u2∂ u=a∂t2∂x2при начальных условиях (8)u|t=0 = ϕ(x),∂u = ϕ1 (x),∂t t=0причем ввиду неограниченности струны функции ϕ(x) и ϕ1 (x) заданы в промежутке (−∞, +∞).Можно найти самое общее решение уравнения (6) и притомв такой форме, что легко можно будет удовлетворить и условиям (8).177]§ 17. Волновое уравнение675Для этого преобразуем уравнение (6) к новым независимым переменным:ξ = x − at, η = x + atили11(η + ξ), t =(η − ξ).22aСчитая u зависящим от x и t через посредство ξ и η и применяяправило дифференцирования сложных функций, выразим производные по прежним переменным через производные по новым переменным:∂u ∂u∂u∂u ∂u∂u=+,=a−.∂x∂ξ∂η∂t∂η∂ξx=Применяя эти же формулы еще раз, получим∂ ∂u ∂u∂ ∂u ∂u∂2u∂2u∂2u∂2u=+++=+2+,∂x2∂ξ ∂ξ∂η∂η ∂ξ∂η∂ξ 2∂ξ∂η∂η 2∂2u∂= a22∂t∂η∂u ∂u−∂η∂ξ− a2∂∂ξ∂u ∂u−=∂η∂ξ 2∂ u∂2u∂2u= a2−2+,∂ξ 2∂ξ∂η∂η 2откуда22∂ 2u2∂ u2 ∂ u−a=−4a,∂t2∂x2∂ξ∂ηи уравнение (6) оказывается равносильным следующему:∂2u= 0.∂ξ∂ηПереписав уравнение (11) в виде ∂ ∂u= 0,∂η ∂ξ(11)676Гл.
VII. Уравнения математической физикизаключаем, чтоот ξ. Положив∂u∂ξ[177не зависит от η, т. е. является функцией только∂u= θ(ξ),∂ξполучаем, интегрируя,u=Zθ(ξ)dξ + θ2 (η),где θ2 (η) есть произвольная функция от η («постоянная» при интегрировании по ξ может зависеть от η). Первое слагаемое можносчитать здесь произвольной функцией от ξ, ибо θ(ξ) есть произвольная функция ξ, и, обозначив ее через θ1 (ξ), имеемu = θ1 (ξ) + θ2 (η),или, переходя к старым переменным (x, t),u(x, t) = θ1 (x − at) + θ2 (x + at),(12)где θ1 и θ2 — произвольные функции своих аргументов. Это самоеобщее решение уравнения (6) называется решением Даламбера; оносодержит две произвольные функции θ1 и θ2 . Для их определениямы воспользуемся начальными условиями (8), которые, ввиду равенства∂u= a[−θ1′ (x − at) + θ2′ (x + at)]∂tи равенства (12), даютθ1 (x) + θ2 (x) = ϕ(x),−θ1′ (x) + θ2′ (x) =ϕ1 (x)aили, интегрируя и меняя знак на обратный,1θ1 (x) − θ2 (x) = −aZxϕ1 (z)dz + C.0Положив x = 0, определяем произвольную постоянную C:C = θ1 (0) − θ2 (0).(13)177]§ 17.
Волновое уравнение677Не ограничивая общности, можем считать C = 0, т. е.θ1 (0) − θ2 (0) = 0,(14)ибо, если бы оказалось C 6= 0, то, введя вместо функций θ1 (x) иθ2 (x) функцииCCθ1 (x) − , θ2 (x) + ,22мы, не меняя равенств (13), удовлетворили бы и (14).Итак, мы имеем1θ1 (x) − θ2 (x) = −aθ1 (x) + θ2 (x) = ϕ(x),Zxϕ1 (z)dz.(15)0Отсюда мы без труда определяем функции θ1 (x) и θ2 (x):11θ1 (x) = ϕ(x) −22aZxϕ1 (z)dz,11θ2 (x) = ϕ(x) +22a0Zxϕ1 (z)dz.0(16)Подставив полученные выражения в формулу (12), находим11u(x, t) = ϕ(x − at) −22ax−atZ11ϕ1 (z)dz + ϕ(x + at) +22a0x+atZϕ1 (z)dz,0или, окончательно,1ϕ(x − at) + ϕ(x + at)+u(x, t) =22ax+atZϕ1 (z)dz.(17)x−atФормула (17) дает, очевидно, дважды непрерывно дифференцируемое решение (так называемое классическое решение) задачи,если ϕ(x) имеет непрерывные производные ϕ′ (x) и ϕ′′ (x), а ϕ1 (x) —непрерывную производную ϕ′1 (x) при −∞ < x < +∞.
Однаконередко приходится иметь дело с задачами, в которых начальное678Гл. VII. Уравнения математической физики[178возмущение задается функциями, не удовлетворяющими этим условиям. Например, если струна в начальный момент времени имеетформу ломаной линии, то ϕ(x) не имеет определенной производнойв вершине ломаной. Тем не менее разумно считать, что формула(17) дает решение задачи, хотя функция u(x, t) и не всюду имеетнепрерывные производные до второго порядка. В этом случае говорят, что задача имеет так называемое обобщенное решение. Теорияобобщенных решений будет изложена в томе IV.178.
Частные случаи. Формула (17) дает полное решение поставленной задачи. Для лучшего уяснения полученного решенияразберем различные частные случаи.1. Начальный импульс равен нулю, т. е. начальные скорости точек струны равны нулю. При этом условии ϕ1 (x) = 0, и формула(17) даетϕ(x − at) + ϕ(x + at),(18)u(x, t) =2в то время как в начальный моментu|t=0 = u(x, 0) = ϕ(x).Каков физический смысл решения (18)? Числитель выражения (18) состоит из двух слагаемых, и мы остановимся на первом:ϕ(x − at).Положим, что наблюдатель, выйдя в начальный момент времени t = 0 из точки x = c струны, передвигается в положительномнаправлении оси OX со скоростью a, т. е. его абсцисса меняетсяпо формуле: x = c + at или x − at = c.
Для такого наблюдателя смещение струны, определяемое формулой u = ϕ(x − at), будетоставаться все время постоянным, а именно равным ϕ(c). Самоеявление, определяемое функцией u = ϕ(x − at), называется распространением прямой волны. Возвратясь к формуле Даламбера (12),мы можем сказать, что слагаемое θ1 (x − at) дает прямую волну, которая распространяется в положительном направлении оси OX соскоростью a. Точно так же второе слагаемое θ2 (x + at) определяеттакое колебание струны, при котором возмущение распространяется со скоростью a в отрицательном направлении оси OX в том178]§ 17. Волновое уравнение679смысле, что в момент t точка с абсциссой c − at будет иметь то жеотклонение u, которое имела точка x = c при t = 0.
Соответствующее явление назовем распространением обратной волны.Величина a есть скорость распространения возмущений иликолебаний (поперечных). Формула (4) показывает, чтоsT0,(19)a=ρт. е. что скорость распространения поперечных колебаний обратно пропорциональна корню квадратному из плотности струны ипрямо пропорциональна корню квадратному из натяжения.Указанное выше решение (18), которое является средним арифметическим прямой волны ϕ(x − at) и такой же обратной волныϕ(x + at), может быть получено следующим образом: строим дваодинаковых экземпляра графика u = ϕ(x) при t = 0 и вообразим,что они налегают друг на друга,а затем раздвигаются в обе стороны со скоростью a.
График uв момент t получится как средняя арифметическая раздвинутых таким образом графиков,т. е. этот график в момент tбудет делить пополам отрезкиординат между раздвинутымиграфиками.Отметим, что в последующемпримере не выполнено то условиемалости tga, которое предполагалось при выводе уравнения (6), и этотпример имеет качественный характер.Пусть, например, график ϕ(x) имеет вид, изображенный на рис. 121: 0 вне промежутка (−α, α),ϕ(x) = x + α при − α 6 x 6 0,−x + α при 0 6 x 6 α.Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
