1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Достаточные условия, налагаемые на ϕ(x) и ϕ1 (x), при которых его суммадействительно дает решение рассматриваемой задачи, будут даныниже.181. Гармоники и стоячие волны. Введем амплитуду Nn иначальную фазу ϕn гармонического колебанияnπatnπatnπat+ Bn sin= Nn sin+ ϕn .An coslllКаждый член ряда (39), дающего решение задачиnπatnπatnπatnπatnπx+Bn sinsin= Nn sin+ϕn sinAn coslllll(43)694Гл. VII. Уравнения математической физики[181представляет собою так называемую стоячую волну, при которойточки струны совершают гармоническое колебательное движение содинаковой фазой и амплитудойNn sinnπx,lзависящей от положения этой точки. При таком колебании струнаиздает звук, высота которого зависит от частоты колебанийωn =nπa,l(44)а сила — от наибольшей амплитуды Nn колебаний.
Придавая n значения 1, 2, 3, . . . , мы получаем основной тон струны и ряд последовательных обертонов, частоты которых или числа колебаний всекунды пропорциональны членам натурального ряда целых чисел1, 2, 3, . . . При некоторых значениях x амплитуда Nn sin nπxl можетбыть отрицательной. Можно ее взять по абсолютной величине, добавив к фазе π.Решение (39), т. е.
звук, издаваемый струной, складывается изотдельных тонов, или гармоник ; амплитуды их, а потому и влияние их на звук, издаваемый струной, обыкновенно быстро убываютпри увеличении номера гармоники, и все их действие сводится ксозданию тембра звука, различного для разных музыкальных инструментов и объясняемого именно наличием этих обертонов.В точках2ll(n − 1)l,,...,, l(45)x = 0,nnnамплитуда колебаний n-й гармоники обращается в нуль, ибо в этихточках sin nπxl = 0, и точки (45) называются узлами n-й гармоники.В точках же3ll(2n − 1)l,,...,(451 )x=2n2n2nамплитуда колебаний n-й гармоники достигает наибольшей велив этих точках имеет максимальное абчины, ибо функция sin nπxlсолютное значение, и точки (451 ) называются пучностями дляn-й гармоники.
Струна колеблется при этом так, как будто бы онасостояла из n различных кусков, не связанных между собой, но181]§ 17. Волновое уравнение695закрепленных в ограничивающих узлах. Если мы прижмем нашуструну как раз посередине, т. е. в пучности ее основного тона, тообратятся в нуль амплитуды не только этого тона, но и всех других, имеющих пучности в этой точке, т. е. 3-й, 5-й, . . . гармоник,напротив, на четные гармоники, которые имеют узел в прижатойточке, это влиять не будет, и струна будет издавать не свой основной звук, а его октаву, т. е.
звук с числом колебаний в секунду вдвоебольшим.Изложенный способ в отличие от способа характеристик можноназвать способом стоячих волн, обычно же он называется способомФурье.Нетрудно обнаружить полное тождество решения, представляемого рядом (39), с тем, которое было найдено выше в [179]. Всамом деле, заметим сначала, что в [179] мы показали, что применение формулы Даламбера (16) к ограниченной струне требует,чтобы функции ϕ(x) и ϕ1 (x), заданные в промежутке (0, l), былипродолжены в промежуток (−l, 0) по закону нечетности, а затем спериодом 2l. Но такой способ продолжения вполне равносилен разложению этих функций в ряд Фурье по синусам [157], т. е.
вполнеравносилен формулам (41) для любого x. Подставляя эти выражения ϕ(x) и ϕ1 (x) в формулу Даламбера (17), мы и придем, какнетрудно видеть, к решению (39)∞nπ(x − at)nπ(x + at)1XAn sin+ sin+u=2 n=1ll1+2aилиx+atZ X∞x−atnπanπzBn sindzlln=1∞nπ(x − at)nπ(x + at)1XAn sin+ sin+u=2 n=1ll∞1Xnπ(x − at)nπ(x + at)+Bn cos− cos,2 n=1llоткуда и вытекает непосредственно (39).696Гл.
VII. Уравнения математической физики[182Способ Фурье в данном случае имеет недостатки по сравнениюсо способом характеристик, а именно ряд (39) часто сходится оченьмедленно и не годится не только для вычисления, но даже для строгого доказательства того, что этот ряд есть действительно решение, так как при этом приходится его дифференцировать почленно два раза, что введет в n-м члене множитель n2 . Зависимостьискомой функции от начальных данных ϕ(x), ϕ1 (x), выражаемаярядом (39), гораздо сложнее по внешнему виду, чем зависимость,определяемая по способу характеристик.
Зато способ Фурье обнаруживаем весьма важное обстоятельство, а именно — существование бесконечного множества различных собственных гармонических колебаний струны, из которых складывается самое общее ееколебание.Принимая во внимание сказанное в [179], можно утверждать,что сумма ряда (39) будет давать решение нашей задачи с непрерывными производными до второго порядка, если функции ϕ(x) иϕ1 (x) обладают указанными в [179] свойствами. Если же функцияϕ(x) имеет непрерывные производные до третьего порядка и удовлетворяет условиям ϕ(0) = ϕ′′ (0) = ϕ(l) = ϕ′′ (l) = 0, а ϕ1 (x) имеетнепрерывные производные до второго порядка и ϕ1 (0) = ϕ1 (l) = 0,то, как можно показать, ряд (39) можно дифференцировать по xи t дважды.
Можно рассматривать решение волнового уравненияи при меньших предположениях о начальных данных, о чем мыбудем говорить в четвертом томе. В дальнейшем при примененииметода Фурье мы не будем оговаривать тех условий, при которыхполучаемые ряды действительно дают решение задачи. Общая точка зрения на метод Фурье будет нами изложена в четвертом томе.Цель настоящего изложения — указать метод решения и получаемый при этом аппарат. Отметим еще, что из рассуждений, приведенных в [177], и метода характеристик [179] непосредственноследует, что решение поставленной выше задачи как для бесконечной, так и для конечной струны, единственно.
В дальнейшем мызаймемся вопросом единственности решения для общего волновогоуравнения.182. Вынужденные колебания. В [176] было выведено уравнение вынужденных колебаний струны под действием силы F (x, t),182]§ 17. Волновое уравнение697рассчитанной на единицу длины∂2u∂2u= a2 2 + f (x, t)2∂t∂xf (x, t) =1F (x, t) .ρ(46)К этому уравнению нужно присоединить предельные условия(берем случай закрепленной струны) и начальные условияu|x=0 = 0,u|t=0 = ϕ(x),u|x=l = 0,∂u = ϕ1 (x).∂t t=0(47)(48)Эти вынужденные колебания общего типа можно представитьсебе как результат сложения двух колебательных движений, из которых одно есть чисто вынужденное колебание, т. е.
такое, которое совершается под действием силы F , причем струна в начальный момент не выведена из состояния покоя, другое есть свободноеколебание, которое струна совершает без действия силы, тольковследствие начального возмущения. Аналитически это приводит квведению вместо u двух новых функций v и w, по формулеu = v + w,где функция v удовлетворяет условиям2∂2v2∂ v=a+ f (x, t),∂t2∂x2(49)v|x=0 = 0,(50)v|t=0 = 0,v|x=l = 0,∂v =0∂t (51)t=0и дает чисто вынужденное колебание, а функция w удовлетворяетусловиям∂2w∂2w= a2 2 ,2∂t∂xw|x=0 = 0,w|x=l = 0,698Гл. VII. Уравнения математической физики[182∂w = ϕ1 (x)∂t t=0w|t=0 = ϕ(x),и дает свободное колебание.
Составив сумму u = v+w, мы убедимсябез труда, что она дает решение нашей задачи, т. е. уравнений (46),(47) и (48).Методы нахождения свободных колебаний w были указаны впредыдущих номерах, так что здесь мы остановимся только на нахождении функции v. Как и в случае свободных колебаний, мыбудем искать функцию v в виде ряда∞Xv(x, t) =Tn (t) sinn=lnπx,l(52)так что предельные условия (50) удовлетворяются сами собой, нофункции Tn (t), конечно, отличаются от тех, которые мы имели в[180], ибо уравнение (49) не однородно.Подставив ряд (52) в уравнение (49), получаем:∞XT ′′ (t) sinn=1откуда, заменяя∞ nπ 2Xnπxnπx= −a2sin+ f (x, t),Tn (t)llln=1anπlвеличиной ωn (44) [181],f (x, t) =∞X[Tn′′ (t) + ωn2 Tn (t)] sinn=1nπx.l(53)Функция f (x, t), рассматриваемая как функция от x, можетбыть разложена в промежутке 0 6 x 6 l в ряд Фурье в видеf (x, t) =∞Xfn (t) sinn=1nπx,l(54)коэффициенты которого fn (t), определяемые по формуламfn (t) =2lZl0f (z, t) sinnπzdz,l(55)182]§ 17.
Волновое уравнение699зависят от t. Сравнивая разложения (53) и (54) для одной и той жефункции f (x, t), мы получаем ряд уравненийTn′′ (t) + ωn2 Tn (t) = fn (t) (n = 1, 2, . . . , ),(56)определяющих функции T1 (t), T2 (t), . . .При таком определении Tn (t) функция (52) удовлетворяет дифференциальному уравнению (49) и предельным условиям (50). Дляудовлетворения же оставшимся начальным условиям (51) достаточно подчинить функции Tn (t) этим условиям, т.
е. положитьTn (0) = 0,Tn′ (0) = 0,(57)ибо тогда ясно, чтоv =t=0∞XTn (0) sinn=1nπx= 0,l∞X∂v nπx== 0.T ′ (0) sin∂t t=0 n=1 nlРешение уравнений (56) и (57) было указано в [29], откуданетрудно вывести1Tn (t) =ωnZt0fn (τ ) sin ωn (t − τ )dτ,или, подставляя выражение (55) для fn (τ ):2Tn (t) =lωnZt0dτZl0f (z, τ ) sin ωn (t − τ ) sinnπzdz.l(58)Подставив это в (52), мы и получим выражение v(x, t).
Нетруднопоказать, что если f (x, t) имеет непрерывные производные до второго порядка и f (0, t) = f (l, t) = 0, то сумма ряда (52) есть решениезадачи (49)–(51).До сих пор мы рассматривали неоднородность или в начальныхусловиях (у функции ω), или в дифференциальном уравнении (у700Гл. VII. Уравнения математической физики[183функции v). Естественно рассмотреть неоднородность и в предельных условиях. Считая уравнение и начальные условиях однородными и обозначая искомую функцию опять буквою u, мы получимследующую задачу:2∂2u∂u 2∂ u=a,u= 0.=ω(t),u=ω(t),u=1∂t2∂x2∂t t=0x=0x=lt=0Мы рассмотрим этот случай неоднородности в предельных условиях в томе IV.183.
Сосредоточенная сила. Исследуем формулу (58) для силы,сосредоточенной в одной точке C(x = c). Величину этой силы мы обозначим не через P , как это мы делали в [176], а через ρP . Как было указано[178], этот случай можно рассматривать как предельный того случая,когда сила F действует только на малом промежутке (c − δ, c + δ) и темсамым равна нулю вне этого промежутка, причем полная величина силыc+δZF (z, t)dz → ρP (t)приδ → 0.приδ → 0.c−δПо формуле (4) имеемc+δZF (z, t)dz → P (t)c−δПринимая во внимание, что по условию f (z, t) равна нулю вне промежутка c − δ 6 z 6 c + δ, и пользуясь первой теоремой о среднем [I, 95],причем предполагается, что f (z, t) знакопостоянна в промежуткеc − δ 6 z 6 c + δ,получимZl0f (z, t) sinnπzdz =lc+δc+δZZnπznπζf (z, t) sindz = sinf (z, t)dz,llc−δc−δгде ζ есть некоторое значение из промежутка (c − δ, c + δ).183]§ 17.
Волновое уравнение701В пределе, при δ → 0:Zlf (z, t) sinnπcnπzdz → P (t) sin,ll0и тогда функция Tn (t), определяемая как предел выражения в правойчасти (58) при δ → 0, обратится вTn (t) =nπc2sinlωnlZtP (τ ) sin ωn (t − τ )dτ,0а вынужденное колебание определится по формулеv(x, t) =Zt∞X2nπcnπxsinP (τ ) sin ωn (t − τ )dτ · sin.lωllnn=1(59)0Эта формула показывает, что в вынужденных колебаниях могут отсутствовать некоторые обертоны, именно те, для коихsinnπc= 0,lт.
е. те, которые имеют узел в точке C приложения силы.Остановимся на случае гармонически колеблющейся вынуждающейсилы, когда нужно будет положитьP (t) = P0 sin(ωt + ϕ0 )или, считая для простоты фазу ϕ0 = 0,P (t) = P0 sin ωt.Формула для Tn (t) даст тогдаnπcP0sinTn (t) =lωnlZt2 sin ωτ sin ωn (t − τ )dτ =0P0nπcsin=−lωnlZt0{cos[ωn t − (ωn − ω)τ ] − cos[ωn t − (ωn + ω)τ ]}dτ =702Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
