1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 104

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 104)

. . , λσ , . . . ;µ = µ1 , µ2 , . . . , µτ , . . . ;λσ =σπ,lµτ =190]§ 17. Волновое уравнение725а по этому значению k2 найдем и соответствующее значение частоты ωиз (107): 2τ2σ22+.(113)ωσ,τ= a2 kσ,τ= a2 π 2l2m2Подставив в выражение (106) λσ вместо λ, µτ вместо µ и обозначивчерез ασ,τ , βσ,τ соответствующие значения α и β, мы получаем бесчисленное множество решений уравнения (105), удовлетворяющих предельномуусловию (102), в видеτ πyσπxsin,(ασ,τ cos ωσ,τ t + βσ,τ sin ωσ,τ t) sinlmт. е. бесчисленное множество собственный (свободных) гармоническихколебаний мембраны, соответствующих таковым же колебаниям струны.Постоянные α и β определяются из начальных условий. Положивt = 0 в формулахu=∞X(ασ,τ cos ωσ,τ t + βσ,τ sin ωσ,τ t) sinσ,τ =1σπxτ πysin,lm∞X∂uσπxτ πy=sin,ωσ,τ (βσ,τ cos ωσ,τ t − ασ,τ sin ωσ,τ t) sin∂tlmσ,τ =1получим на основании (103)u|t=0 = ϕ1 (x, y) =∞Xασ,τ sinσ,τ =1σπxτ πysin,lm∞X∂u σπxτ πy=ϕ(x,sin.y)=βσ,τ ωσ,τ sin2∂t t=0lmσ,τ =1Эти формулы суть не что иное, как разложения функций ϕ1 и ϕ2 вдвойные ряды Фурье, и коэффициенты α и β определяются, как нетрудновидеть, по формуламZ l Zmσπξτ πη4ϕ1 (ξ, η) sinsindξdη,ασ,τ =lmlm0 0(114)lmZ Z4σπξτ πηϕ2 (ξ, η) sinsindξdη,ωσ,τ βσ,τ =lmlm00что и дает решение поставленной задачи.726Гл.

VII. Уравнения математической физики[190Случай мембраны отличается от случая струны тем, что для последней каждой частоте собственных колебаний соответствует своя формаструны, которая просто разделяется узлами на несколько равных частей.Для мембраны же может оказаться, что одной и той же частоте соответствует несколько фигур мембраны с различными положениями узловыхлиний, т. е. таких линий, на которых амплитуда колебаний приводится кнулю. Проще всего это можно исследовать на примере квадратной мембраныl = m = r.В этом случае частота ωσ,τ определяется по формулеpaπ p 2σ + τ 2 = α σ2 + τ 2,(115)ωσ,τ =raπгде α = r есть множитель, не зависящий от σ и τ .

Полагая σ = τ = 1,√получаем основной тон u11 мембраны с частотой ω11 = α 2:πxπyu11 = N1 sin(ω11 t + ϕ11 ) sinsin.rrУзловых линий внутри мембраны при этом не имеется совсем. Полагаязатемσ = 1, τ = 2 или σ = 2, τ = 1,имеем два других тона одинаковой частоты√ω12 = ω21 = α 5,именноπx2πysin,rr2πxπyu21 = N21 sin(ω21 t + ϕ21 ) sinsin.rrУзловые линии этих простейших колебаний суть соответственноrrили x = .y=22Но, кроме колебаний u12 , u21 , существует еще бесчисленное множество других колебаний той же частоты ω12 , которые получаются линейной комбинацией u12 и u21 . Полагая для простоты ϕ12 = ϕ21 = 0, мыполучаем колебание видаπx2πy2πxπysin+ N2 sinsin,sin ωt N1 sinrrrru12 = N12 sin(ω12 t + ϕ12 ) sinгде ω = ω12 = ω21 , N1 = N12 и N2 = N21 .190]§ 17.

Волновое уравнение727При N1 = N2 узловые линии определяются из уравнения0 = sinπx2πy2πxπyπxπy πxπy sin+ sinsin= 2 sinsincos+ cos,rrrrrrrrчто дает узловую линиюx + y = r.0.При N2 = −N1 точно таким же путем найдем узловую линию: x−y =Эти простейшие случаи изображена на рис. 127. Более сложные узловые линии при той же частоте мы получим, когда N2 6= ±N1 и N1 ,N2 6= 0.Рис. 127.Все они имеют уравнения видаN2 cosπxπy+ N1 cos= 0.rrПолагая теперьσ = 2,τ = 2,получаем единственный тон частоты√ω22 = α 8,узловые линии которого суть (рис. 128):rx=2иРис.

128.ry= .2Следующий случайσ = 1,τ = 3,σ = 3,τ =1728Гл. VII. Уравнения математической физики[191Рис. 129.приводит опять к бесчисленномумножеству колебаний одной и той же√простейших случачастоты ω13 = ω31 = α 10. Их узловые линии в √ях, аналогичных случаю с частотой ω12 = ω21 = α 5, изображены нарис. 129. Все эти фигуры представляют собою не что иное, как известные из акустики хладниевы фигуры.Вынужденные колебания мембраны исследуются совершенно так же,как и вынужденные колебания струны, с тою лишь разницей, что внешняя сила f (x, y, t) разлагается не в простой, а в двойной ряд Фурье.191. Круглая мембрана. Случай круглой мембраны дает нам пример разложения данной функции по функциям Бесселя, — пример, который важен и потому, что такие разложения встречаются в других весьмаважных задачах математической физики.Итак, мы исследуем свободные (собственные) колебания круглоймембраны, контур которой есть окружность радиуса l с центром в началекоординат.

По-прежнему мы считаем, что на контуре мембрана не смещается. Вводя вместо прямоугольных координат (x, y) полярные (r, θ),мы имеем тогдаu|r=l = 0.Как и в случае прямоугольной мембраны, будем искать частные решения уравнения (105) вида(α cos ωt + β sin ωt)U,но только будем считать, что функция U выражена через (r, θ), а не через(x, y). Для функции U мы получим то же дифференциальное уравнение∂2U∂2U++ k2 U = 0,∂x2∂y 2(116)но только нужно преобразовать его к новым переменным (r, θ). Для этого191]§ 17.

Волновое уравнение729достаточно выразить оператор Лапласа∆U =∂2U∂2U+2∂x∂y 2(117)в полярных координатах. Мы знаем, что оператор Лапласа от трех переменных∂2U∂2U∂2U++∆U =22∂x∂y∂z 2выражается в цилиндрических координатах в виде [131]:∂U1 ∂2U∂2U1 ∂ρ++ρ.∆U =ρ ∂ρ∂ρρ ∂ϕ2∂z 2Считая U независящим от z, выразим (117) через полярные координаты. В дальнейшем длину радиуса-вектора мы будем обозначать буквойr вместо ρ, а полярный угол — буквой θ вместо ϕ:∂2U∂2U1 ∂U1 ∂2U∂2U+=++ 2.222∂x∂y∂rr ∂rr ∂θ2Уравнение (116) перепишется так:1 ∂U1 ∂2U∂2U++ 2+ k2 U = 0.2∂rr ∂rr ∂θ2Ищем его частные решения в виде произведенияU (r, θ) = T (θ) · R(r),что даетили11T (θ) R′′ (r) + R′ (r) + k2 R(r) + 2 T ′′ (θ)R(r) = 0,rrи, наконец,r 2 R′′ (r) + rR′ (r) + k2 r 2 R(r)T ′′ (θ)=−= −λ2T (θ)R(r)T ′′ (θ) + λ2 T (θ) = 0,λ21 ′2′′R (r) + R (r) + k − 2 R(r) = 0.rrУравнение (118) имеет общее решение видаT (θ) = C cos λθ + D sin λθ,(118)(119)730Гл.

VII. Уравнения математической физики[191и так как функция U по самому смыслу задачи должна быть однозначной периодической функцией от θ с периодом 2π, то тем же свойствомдолжна обладать и функция T (θ), что возможно лишь при условии, чтоλ есть число целое. Ограничившись только положительными значениямиλ, мы должны считать λ = 0, 1, 2, . . .

, n, . . . и соответствующие выражения для функций T (θ) и R(r) обозначим черезT0 (θ), T1 (θ), T2 (θ), . . . , Tn (θ), . . . ;R0 (r), R1 (r), R2 (r), . . . , Rn (r), . . .Таким путем мы получаем бесчисленное множество решений уравнения (105) вида(α cos ωt + β sin ωt)(C cos nθ + D sin nθ)Rn (r)(ω = ak).(120)Функция Rn (r) удовлетворяет уравнению (119), если там заменить λ наn:n21 ′′′(r) + k2 − 2 Rn (r) = 0.(121)Rn(r) + RnrrКак мы видели в [49], общий интеграл этого уравнения будетRn (r) = C1 Jn (kr) + C2 Kn (kr),(122)где Jn — функция Бесселя и Kn (x) — второе решение уравнения Бесселя, которое обращается в бесконечность при x = 0; так как по самомусмыслу задачи искомые решения должны оставаться ограниченными вовсех точках мембраны, в том числе и в начале координат r = 0, то впредыдущей формуле для Rn (r) член с Kn (kr) должен отсутствовать,т.

е. C2 = 0. Не ограничивая общности, мы можем считать C1 = 1, т. е.положитьRn (r) = Jn (kr),(123)и тогда предельное условиеu|r=l = 0даетJn (kl) = 0.(124)Положив kl = µ, мы получаем трансцендентное уравнение для определения µJn (µ) = 0,(125)которое, как это доказывается в теории функций Бесселя, имеет бесчисленное множество положительных корней(n)(n)(n)µ1 , µ2 , µ3 , . . .

, µ(n)m ,...,(126)191]§ 17. Волновое уравнение731которым соответствуют значения(n)(n)(n)(n)(n)k1 , k2 , k3 , . . . , k m=параметра k и, в силу (107), значения(n)ωm,n = akmµn,...l(127)(n = 0, 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . . )(128)частоты ω. Первые девять корней первых шести функций Бесселя даныв прилагаемой таблице1234567892,4045,5208,65411,79214,93118,07621,21224,35327,4943,8327,01610,17313,32316,47019,61622,76025,90329,0475,1358,41711,62014,79617,96021,11724,27027,42130,5716,3799,76013,01716,22419,41022,58325,74928,90932,0507,58611,06414,37317,61620,82724,01827,20030,37133,5128,78012,33915,70018,98222,22025,43128,62831,81334,983Следующие корни могут быть вычислены по приближенной формуле:14n2 − 1π(2n − 1 + 4m) −,(129)4π(2n − 1 + 4m)которая при данном n будет тем точнее, чем больше m.

Мы не можемздесь входить в обоснование формулы (129).Из формулы (120) вытекает, что полученные нами частные решенияможно представить в видеµ(n)m =(2)(n)(α(1)m,n cos ωm,n t + αm,n sin ωm,n t) cos nθ · Jn (km r)+(1)(2)(n)+ (βm,ncos ωm,n t + βm,nsin ωm,n t) sin nθ · Jn (kmr)(130)(m, n = 1, 2, . . . ).Заметим еще, что при λ = 0 уравнение (118) имеет решения — постоянное и θ.

Второе решение не годится, как не периодическое. В первомслучае формула (120) дает решение(1)(2)(0)(αm,0 cos ωm,0 t + αm,0 sin ωm,0 t)J0 (kmr).Это решение также имеет вид (130) (при n = 0).732Гл. VII. Уравнения математической физики[191Нам остается теперь только удовлетворить начальным условиям∂u = ϕ2 (r, θ).u|t=0 = ϕ1 (r, θ),(131)∂t t=0С этой целью, приняв во внимание полученные частные решения, мыищем u в виде двойного рядаu(r, θ, t) =∞Xn=0m=1(2)(n)(α(1)m,n cos ωm,n t + αm,n sin ωm,n t) cos nθ · Jn (km r)++∞Xn=0m=1(1)(2)(n)(βm,ncos ωm,n t + βm,nsin ωm,n t) sin nθ · Jn (kmr).Вычислив∞X∂u(1)(n)=ωm,n (α(2)m,n cos ωm,n t − αm,n sin ωm,n t) cos nθ · Jn (km r)+∂tn=0m=1+∞Xn=0m=1(2)(1)(n)ωm,n (βm,ncos ωm,n t − βm,nsin ωm,n t) sin nθ · Jn (kmr)и положив в этих формулах t = 0, мы, в силу (131), приходим к разложению данных функций ϕ1 (r, θ) и ϕ2 (r, θ) в двойные ряды вида∞X(1)(n)ϕ1 (r, θ) =(α(1)cosnθ+βsinnθ)J(kr),n mm,nm,nn=0m=1(132)∞X(2)(2)(n)ϕ2 (r, θ) =ωm,n (αm,n cos nθ + βm,n sin nθ)Jn (km r).n=0m=1Разлагая функцию ϕ1 (r, θ), как периодическую функцию от θ, вобыкновенный ряд Фурье, мы имеемгдеϕ(1)n =1πZπ−π∞X (1)ϕ0+(ϕn cos nθ + ψn(1) sin nθ),2n=1(1)ϕ1 (r, θ) =ϕ1 (r, θ) cos nθdθ, ψn(1) =1πZπ−πϕ1 (r, θ) sin nθdθ (n = 0, 1, 2, .

Характеристики

Список файлов книги