1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 101
Текст из файла (страница 101)
VII. Уравнения математической физики=[183−2ωP0nπc2P0nπcsin ωn t +sin ωt.sinsinlωn (ωn2 − ω 2 )ll(ωn2 − ω 2 )lЕсли частота вынуждающей силы не совпадает ни с одной из частотωn собственных колебаний, все знаменатели (ωn2 − ω 2 ) отличны от нуля;но если ω приближается к одной из частот ωn , соответствующий знаменатель уменьшается и член Tn (t) становится весьма большим по сравнениюс прочими, т. е. происходит явление резонанса. Наконец„ если ω = ωn , топредыдущее выражение для Tn (t) теряет смысл и должно быть замененодругим.Подставив полученные выражения Tn (t) в формулу (52), имеемv(x, t) =∞nπcnπx−2ωP0 X 1 sin l+sin ωn t sin22lωln ωn − ωn=1+∞Xsin nπc2P0nπxlsin ωt.sin2 − ω2lωlnn=1Первое слагаемое в правой части имеет вид свободных колебаний,второе же имеет ту же частоту, что и возмущенная сила.
Отнеся первоеслагаемое к свободным колебаниям w(x, t), мы займемся только вторымслагаемым, обозначив его через V (x, t):V (x, t) =или, положив α2 =ω 2 l2,a2 π 2V (x, t) =Сумма∞Xsin nπc2P0nπxlsin ωtsin,2 − ω2lωln=1 n∞Xsin nπc2P0 lnπxlsin ωtsin.222 − α2a πnln=1∞Xsin nπcnπxlsin2 − α2nln=1(60)может быть вычислена по способу, указанному в [172], но мы, не останавливаясь на этом, укажем другое решение той же задачи, рассматриваясосредоточенную силу не как предельный случай непрерывно распределенной, а непосредственно.Точка C приложения силы разбивает струну на два участка (0, c) и(c, l). Рассматривая оба эти куска отдельно, обозначим ординату первого183]§ 17.
Волновое уравнение703участка через u1 (x, t), второго же — через u2 (x, t). Для этих функций u1и u2 мы получаем следующие уравнения:∂ 2 u1∂ 2 u1= a22∂t∂x2при0 < x < c,(61)∂ 2 u2∂ 2 u2= a2при c < x < l,(611 )2∂t∂x2так как внешних сил внутри промежутков (0, c) и (c, l) не имеется. Далее,мы имеем условия закрепления концов:u1 |x=0 = 0,u2 |x=l = 0,(62)условие непрерывности струны в точке x = c:u1 |x=c = u2 |x=c ,(63)и, наконец, условие равновесия сил, действующих в точке x = c [176]:∂u1 ρ1∂u2 −= − P (t) = − 2 P (t).2∂x x=c∂x x=cT0aМы ограничимся только случаем гармонической силыP (t) = P0 sin ωtи из вынужденных колебаний, ею вызываемых, выделим колебания тойже частоты ω.
Эти колебания мы ищем в видеu(x, t) = X(x) sin ωt,где, однако, функция X(x) должна иметь различные выражения в промежутках (0, c) и (c, l), и в связи с этим мы положим:u1 = X1 (x) sin ωt,u2 = X2 (x) sin ωt.(65)Подставив это в уравнения (61) и (611 ), мы имеем−ω 2 sin ωtX1 (x) = a2 X1′′ (x) sin ωt,то естьX1′′ (x) +2Вω2X1 (x) = 0,a2формуле (7) [176] при нашихтеперешних обозначениях нужно написать∂u2 ∂u1, ∂x вместо ∂u, ∂u.∂x∂x∂xρP (t) вместо P и+−704Гл. VII. Уравнения математической физикии аналогичноX2′′ (x) +откудаω2X2 (x) = 0,a2ωωx + C2′ sin x;aaX1 (x) = C1′ cos[183X2 (x) = C1′′ cosωωx + C2′′ sin x.aaУсловия (62) дают намC1′ = 0,C1′′ cosωlωl+ C2′′ sin= 0,aaи можно положитьC1′′ = C2 sinωl,aC2′′ = −C2 cosωl,aгде C2 — произвольная постоянная. Обозначая для симметрии произвольную постоянную C2′ через C1 , мы получаемX1 (x) = C1 sinωx,aX2 (x) = C2 sinω(l − x).aУсловие непрерывности (63) дает тогда:C1 sinω(l − c)ωcsin ωt = C2 sinsin ωt.aaОстается только удовлетворить последнему условию (64), из которогополучаетсяωω(l − c)ωωcP0sin ωt − C1 cossin ωt = − 2 sin ωt.− C2 cosaaaaaИтак, постоянные C1 и C2 определяются из системы уравененийC1 sinω(l − c)ωc− C2 sin= 0;aaC1 cosP0ωcω(l − c)+ C2 cos=,aaaωоткудаC1 =ω(l−c)aωlaP0 sinaω sin;C2 =P0 sinaω sinωcaωla,и формулы (65) дадут тогда решение задачи в виде:ω(l−c)a P0 sin ωlsin ωxsin ωt, при 0 < x < c,aωasin au(x, t) =ωcsinω(l−x) P0asin a sin ωt, при c < x < l.aω sin ωla(66)184]§ 17.
Волновое уравнение705Читатель проверит без труда тождественность решений (66) и (6) дляV (x, t), разлагая (66) в ряд Фурье по синусам.184. Формула Пуассона. По аналогии с бесконечной струнойзаймемся теперь решением общего волнового уравнения 2∂ u ∂2u ∂2u∂2u2=a+ 2 + 2(67)∂t2∂x2∂y∂zв безграничном пространстве при заданных начальных условиях. Предварительно выведем одно вспомогательное предложение.Для удобства записи дальнейших формул обозначим координаты (x, y, z) через (x1 , x2 , x3 ). Пусть ω(x1 , x2 , x3 ) — любая функция,непрерывная со своими производными до второго порядка в некоторой области D или во всем пространстве. Все дальнейшие рассуждения будут относиться к этой области.
Рассмотрим значенияфункции ω на поверхности Cr (x1 , x2 , x3 ) сферы с центром в точке(x1 , x2 , x3 ) и радиусом r. Координаты точек этой сферы могут бытьвыражены по формуламξ1 = x1 + α1 r,ξ2 = x2 + α2 r,ξ3 = x3 + α3 r,где (α1 , α2 , α3 ) — направляющие косинусы радиусов упомянутойсферы. Мы их можем записать в видеα1 = sin θ cos ϕ,α2 = sin θ sin ϕ,α3 = cos θ,причем угол θ меняется от 0 до π и угол ϕ — от 0 до 2π.
Обозначимчерез d1 σ элемент площади сферы единичного радиуса и через dr σэлемент площади сферы радиуса r:d1 σ = sin θdθdϕ,dr σ = r2 d1 σ = r2 sin θdθdϕ.Рассмотрим среднее арифметическое значений функции ω поповерхности сферы Cr (x1 , x2 , x3 ), т.
е. интеграл от функцииω(x1 , x2 , x3 ) по поверхности упомянутой сферы, деленный на площадь этой поверхности. Величина этого интеграла зависит, очевидно, от выбора центра (x1 , x2 , x3 ) и радиуса r сферы, т. е. упомянутое среднее арифметическое будет функцией четырех переменных706Гл. VII. Уравнения математической физики[184(x1 , x2 , x3 , r). Мы можем записать это среднее арифметическое двояким образом:1v(x1 , x2 , x3 , r) =4πZ2πZπ0ω(x1 + α1 r; x2 + α2 r; x3 + α3 r)d1 σ(68)0или1v(x1 , x2 , x3 , r) =4πr2ZZω(x1 + α1 r; x2 + α2 r; x3 + α3 r)dr σ.CrДокажем, что при любом выборе функции ω функция v удовлетворяет одному и тому же уравнению с частными производными,а именно2∂2v− ∆v + vr = 0,(69)∂r2rгде, как всегда,∂2v∂2v∂2v+ 2 + 2.∆v =2∂x1∂x2∂x3В формуле (68) интегрирование совершается по поверхности единичной сферы, и мы можем дифференцировать по xi под знакоминтеграла.
Таким образом мы имеем1∆v =4πZ2πZπ0и∂v1=∂r4π∆ω(xi + αi r)d1 σ0Z2πZπ X300 k=1∂ωαk d1 σ.∂xkПоследний интеграл мы можем преобразовать в интеграл по поверхности сферы Cr (x1 , x2 , x3 ):1∂v=∂r4πr2ZZ X3∂ωαk dr σ,∂xkCrk=1184]§ 17. Волновое уравнениеи, применяя формулу Остроградского, мы получимZZZ∂v1=∆ωdv,∂r4πr2707(70)Drгде Dr есть сфера с центром (x1 , x2 , x3 ) и радиусом r. Последнеевыражение есть произведение двух функций от r: дроби 1 : 4πr2 иинтеграла. Производная по r от тройного интеграла по сфере Drравна интегралу от той же подынтегральной функции по поверхности Cr этой сферы.
Чтобы убедиться в этом, достаточно, например,выразить интеграл по Dr через сферические координаты. Такимобразом дифференцируя еще раз по r, получим:ZZZZZ11∂2v=−∆ωdv +∆ωdr σ.∂r22πr34πr2DrCrПодставляя все указанные выше выражения для производныхв уравнение (69), мы убедимся непосредственно в том, что этоуравнение действительно удовлетворено. Если r → 0, то из формулы (68) непосредственно вытекает, что v(x1 , x2 , x3 ) стремится кω(x1 , x2 , x3 ), а из (70) вытекает, что ∂v∂r стремится к нулю, так кактройной интеграл формулы (70), согласно теореме о среднем, имеетпорядок r3 , а в знаменателе стоит r2 .
Мы приходим таким образомк следующей теореме:Т е о р е м а. При любом выборе функции ω, допускающей непрерывные производные до второго порядка, функция v, определяемаяравенством (68), удовлетворяет уравнению (69) и начальным данным∂v = 0.(71)v|r=0 = ω(x1 , x2 , x3 ),∂r r=0Покажем, пользуясь этой теоремой, что функцияu(x1 , x2 , x3 , t) = tv(x1 , x2 , x3 , at)удовлетворяет волновому уравнению 2∂ u ∂2u ∂2u∂2u2+ 2+ 2=a∂t2∂x21∂x2∂x3(72)(73)708Гл. VII. Уравнения математической физики[184и начальным условиямu|t=0 = 0,∂u = ω(x1 , x2 , x3 ).∂t t=0(74)Действительно, мы имеем∂v(x1 , x2 , x3 , at)∂u= v(x1 , x2 , x3 , at) + at,∂t∂r2∂2u∂v(x1 , x2 , x3 , at)2 ∂ v(x1 , x2 , x3 , at)=2a+at,∂t2∂r∂r2∆u = t∆v(x1 , x2 , x3 , at),2 ,x3 ,r)где, например, ∂v(x1 ,x∂r2 ,x3 ,at) есть значение производной ∂v(x1 ,x∂rпри r = at. Подставляя предыдущие выражения в уравнение (73),мы получаем для v уравнение (69) при r = at, которое, как доказановыше, действительно имеет место.
Начальные условия (74) непосредственно получаются из (71). Поскольку уравнение (73) естьлинейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами,мы можем утверждать, что функция u1 = ∂u∂t также удовлетворяет этому уравнению. Определим ее начальные данные при t = 0.Принимая во внимание начальные условия (74), мы получим непосредственно для функции u1 = ∂u∂t :u1 |t=0 = ω(x1 , x2 , x3 ).2∂ u1Для производной ∂u∂t = ∂t2 мы имеем, в силу (73), 2∂ 2 u1∂ 2 u1 ∂ u1∂u1 2++=a,∂t t=0∂x21∂x22∂x23 t=0или, дифференцируя первое из начальных условий (74) по координатам, мы получим отсюда∂u1 = 0.∂t t=0Таким образом производная по t от построенного выше решенияволнового уравнения (73), удовлетворяющего начальным условиям184]§ 17. Волновое уравнение709(74), является решением того же уравнения и удовлетворяет начальным условиям∂u1 = 0.(741 )u1 |t=0 = ω(x1 , x2 , x3 ),∂t t=0Возвращаясь к прежним обозначениям координат и взяв в первомслучае начальных условий (74) за ω(x, y, z) некоторую функциюϕ1 (x, y, z), и во втором случае начальных условий (741 ) взяв заω(x, y, z) какую-либо другую функцию ϕ(x, y, z) и сложив таким образом построенные решения, будем иметь решение уравнения (67),удовлетворяющее начальным условиям∂u = ϕ1 (x, y, z).(75)u|t=0 = ϕ(x, y, z),∂t t=0Обозначая для краткости письма через Tr {ω(M )} — среднееарифметическое от функции ω по сфере с центром M (x, y, z) и радиусом r, мы можем написать, согласно сказанному выше, упомянутое решение уравнения (67), удовлетворяющее начальным условиям (75), в видеu(M, t) = tTat {ϕ(M )} +∂[tTat {ϕ(M )}].∂t(76)Эта формула называется обычно формулой Пуассона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
