1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 96

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 96)

Определим отдельно c0 , ck и c−k , где175]§ 16. Дополнительные сведения из теории рядов Фурье665k — целое положительное число. Согласно (17) и (16) имеем1c0 =2lZ+l−l1ck =2lZ+l−lc−k =f (ξ)dξ =12la0,2ak − ibkkπξkπξf (ξ) cos− i sindξ =,ll2Z+l−lak + ibkkπξkπξf (ξ) cos+ i sindξ =.ll2Подставляя в ряд (17) и суммируя отдельно по положительными отрицательным значкам, получимf (x) =a0 X ak − ibk i kπx X ak + ibk −i kπxl .+e l +e222∞∞k=1k=1Слагаемые двух написанных сумм при одинаковых k суть мнимые сопряженные величины. Соединяя их в одно слагаемое, получим вещественную величинуak + ibk −i kπxkπxak − ibk i kπxkπxl= ak cose l +e+ bk sin,22llи предыдущее выражение для f (x) совпадает с рядом Фурье (16),откуда и следует равносильность (17) и (16).175.

Кратные ряды Фурье. Ряды и интегралы Фурье могут служить и для представления функций от двух и большегочисла независимых переменных. Рассмотрим, например, функциюf (x, y) периодическую, периода 2l относительно x и периода 2mотносительно y. Рассматривая функцию f (x, y) как функцию от x,мы имеем+∞Xσπx(18)f (x, y) =cσ (y)ei l ,σ=−∞666Гл. VI. Ряды Фурье[175гдеZ+lσπξ1f (ξ, y)e−i l dξ.cσ (y) =2l−lФункция cσ (y), в свою очередь, может быть разложена в рядвида+∞Xτ πycσ (y) =cστ ei m ,τ =−∞гдеcστ1=2mZ+mZ+l Z+mπητησξ1−i τmf (ξ, η)e−iπ( l + m ) dξdη.cσ (η)edη =4lm−l −m−m(19)Подставив полученное выражение для cσ (y) в формулу (18), получим+∞ X+∞Xσπxi τ πyf (x, y) =cστm ei l ,σ=−∞τ =−∞откуда, раскрывая скобки, имеем формулу+∞Xτyσxf (x, y) =cστ eiπ( l + m ) ,(20)σ, τ =−∞которая обобщает ряд Фурье на случай двух переменных.Таким же образом для периодической функции f (x1 , x2 , x3 ) оттрех независимых переменных периода 2ω1 относительно x1 , периода 2ω2 относительно x2 и периода 2ω3 относительно x3 , мы имеемf (x1 , x2 , x3 ) =где+∞Xcσ1 σ2 σ3 eiπ(σ 1 x1ω1+σ 2 x2ω2+σ 3 x3ω3),(21)σ1 ,σ2 ,σ3 =−∞cσ1 σ2 σ3 =1=8ω1 ω2 ω3Zω1 Zω2 Zω3−ω1 −ω2 −ω3f (ξ1 , ξ2 , ξ3 )e−iπ(σ1 ξ 1ω1+σ2 ξ 2ω2+σ3 ξ 3ω3)dξ1 dξ2 dξ3 .(22)175]§ 16.

Дополнительные сведения из теории рядов Фурье667Выделяя вещественную часть в формулах (20) и (21), получимразложение в ряд Фурье в вещественной форме. Ряд (20) при l =m = π имеет видf (x, y) =∞X(2)(a(1)σ,τ cos σx cos τ y + aσ,τ cos σx sin τ y+σ,τ =0(4)+ a(3)σ,τ sin σx cos τ y + aσ,τ sin σx sin τ y).(23)Мы не выписываем выражений для коэффициентов и не проводимисследования условий разложимости f (x, y) в ряд Фурье.

Укажемодно достаточное условие: если f (x, y) имеет период 2π по x и y,непрерывна и имеет непрерывные частные производные при всех xи y, то она разлагается в ряд Фурье при всех x и y. Отметим, чтов формуле (23) σ и τ могут независимо друг от друга стремиться кбесконечности∞m XnXX=lim.m→∞n→∞σ,τ =0σ=0 τ =0Формула Фурье для функции двух переменных имеет вид1f (x, y) =(2π)2+∞+∞+∞+∞ZZZZdα1dξdα2f (ξ, η)ei[α1 (ξ−x)+α2 (η−y)] dη,−∞−∞−∞−∞(24)причем интегрирование по α1 и α2 надо понимать так, как это указано в конце [173]. В вещественной форме будем иметьf (x, y) =+∞+∞Z∞ZZ∞Z1dα1dξ dα2f (ξ, η) cos α1 (ξ − x) cos α2 (η − y)dη.= 2π0−∞0−∞(25)Эта формула имеет место, если функция f (x, y), определенная навсей плоскости, непрерывна, имеет частные производные первогопорядка, при любом фиксированном y абсолютно интегрируема по668Гл. VI.

Ряды Фурье[175x на промежутке −∞ < x < +∞ и при любом фиксированном xабсолютно интегрируема по y на промежутке −∞ < y < +∞.Если, например, функция f (x, y) есть четная функция от x иy, то вместо формулы (25) можно писатьf (x, y) =Z∞Z∞Z∞Z∞4cos α1 xdα1 cos α1 ξdξ cos α2 ydα2 f (ξ, η) cos α2 ηdη.= 2π000(26)Аналогичным образом может быть написана формула Фурье и дляфункции f (x1 , x2 , . . . , xn ) любого числа независимых переменных.Г Л А В А VIIУРАВНЕНИЯС ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ§ 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ176. Уравнение колебаний струны. Вопрос об интегрировании дифференциальных уравнений с частными производнымипринадлежит к наиболее трудным и обширным отделам анализа, издесь мы ограничимся рассмотрением основных задач из указаннойобласти. Настоящий параграф мы посвятим задачам, связанным стак называемым волновым уравнением 2∂ u ∂2u ∂2u∂2u∂2u2=a++или= a2 ∆u,∂t2∂x2∂y 2∂z 2∂t2где∂2u ∂2u ∂2u+ 2 + 2 = div grad u.∂x2∂y∂zК этому уравнению мы пришли при рассмотрении звуковых иэлектромагнитных колебаний.

Положим, что u не зависит от y и z,т. е. что u имеет одинаковое значение во всех точках любой плоскости, перпендикулярной оси OX. В этом случае волновое уравнениепринимает вид2∂2u2∂ u=a,∂t2∂x2∆u =670Гл. VII. Уравнения математической физики[176и в таких случаях говорят обычно, что имеется плоская волна. Мыпокажем сейчас, что такое же уравнение получается при рассмотрении малых поперечных колебаний натянутой однородной струны.Под струной мы понимаем тонкую нить, которая может свободно изгибаться. Допустим, что она находится подвоздействием сильного натяжения T0 и в состоянии равновесия без внешних сил направлена по оси OX.

Если мыведем ее из положения равновесия и, кроме того, подвергнем действию какой-нибудьсилы, то струна начнет колеРис. 120.баться, причем точка струны,занимавшая при равновесии положение N с абсциссой x, к моменту t займет положение M . Мы ограничимся рассмотрением толькопоперечных колебаний, предполагая, что все движение происходитв одной плоскости и что точки струны движутся перпендикулярнооси OX (рис. 120).

Смещение N M точек струны мы обозначим через u. Это смещение и будет искомой функцией двух независимыхпеременных x и t.Выделим элемент струны M M ′ , который при равновесии занимал положение N N ′ . Считая деформации малыми, мы будем пренебрегать квадратом производной ∂u∂x по сравнению с единицей. Пустьα — острый угол, образованный направлением касательной к струнес осью OX. Мы имеемtgα =∂u∂xи∂u∂utgα= q ∂x ≈sin α = p.22∂x1 + tg α1 + ∂u∂xОбозначим через F силу, действующую на струну перпендикулярно к оси OX и рассчитанную на единицу длины.

На рассматриваемый элемент M M ′ действуют следующие силы: натяжение в точкеM ′ , направленное по касательной в точке M ′ , причем оно образуетострый угол с осью OX, натяжение с точке M , направленное по176]§ 17. Волновое уравнение671касательной в точке M и образующее тупой угол с осью OX, и сила F dx, направленная по оси u. Ввиду сделанного предположениямалости деформаций мы считаем оба упомянутых выше натяжения равным по величине натяжению T0 . Положим сначала, что мыимеем равновесие струны под действием упомянутой силы F . Проектируя на ось u, будем иметь следующее условие равновесия:T0 sin α′ − T0 sin α + F dx = 0,(1)где α′ — значение упомянутого угла α в точке M ′ , т.

е. ∂u∂u,, sin α =sin α′ =∂x M ′∂x Mи, следовательно,T0∂u∂xM′−∂u∂x + F dx = 0.(2)MРазность, стоящая в квадратных скобках, выражает приращение функции ∂u∂x , вызванное изменением x на dx. Заменяя это приращение дифференциалом, получим [I, 50] ∂u∂2u∂u−=dx.∂x M ′∂x M∂x2Подставляя в (2) и сокращая на dx, будем иметь уравнение равновесия струны∂2u(3)T0 2 + F = 0.∂xДля получения уравнения движения нам достаточно, по принципу Даламбера, к внешней силе добавить еще силу инерции, которую мы получим следующим образом: скорость точки M есть∂u2очевидно ∂u∂t , а ускорение ∂t2 , и поэтому сила инерции элемента′M M , равная с обратным знаком взятому произведению ускоренияна массу, будет∂2u− 2 ρdx,∂t672Гл. VII.

Уравнения математической физики[176где ρ есть линейная плотность струны, т. е. масса единицы длины,а сила инерции, рассчитанная на единицу длины, будет−ρ∂ 2u,∂t2причем мы считаем ρ постоянной величиной.Итак, уравнение движения мы получим, заменяя в уравнении2(3) F на F − ρ ∂∂t2u , что даетρ∂2u∂2u=T+ F.0∂t2∂x2Разделив на ρ и положивT0= a2 ,ρF= f,ρ(4)мы получаем уравнение вынужденных поперечных колебаний струны2∂ 2u2∂ u=a+ f.(5)∂t2∂x2Если внешняя сила отсутствует, мы имеем f = 0 и получаемуравнение свободных колебаний струны2∂2u2∂ u=a.∂t2∂x2(6)В томе IV мы укажем другой вывод уравнения (5) на основепринципа Гамильтона.Выше мы предполагали, что внешняя сила распределена по всейструне непрерывно; но иногда приходится иметь дело с силой P , сосредоточенной в одной точке C.

Этот случай можно рассматриватьлибо как предельный случай предыдущего, считая, что сила действует на бесконечно малый элемент длины ε около точки C, но такчто произведение ее величины на ε стремится к конечному пределу,отличному от нуля, при ε → 0, либо же непосредственно, прилагая′уравнение (2) к элементу M M около точки C и заменяя там F dxнапри этом, что мы не добавляем к F dx силы инерции P2. Заметим∂ u− ∂t2 ρdx , так как считаем, что она стремится к нулю при dx → 0.176]§ 17. Волновое уравнение673Считая, что концы элемента приближаются к точке C, и обозначив предельные значения, к которым стремится ∂u∂x , когда мыприближаемся к точке C справа или слева, соответственно через ∂u∂u,,∂x +∂x −мы получаем в пределе из уравнения (2)" #∂u∂u−= −P.T0∂x +∂x −(7)Мы видим, таким образом, что в точке C действия сосредоточенной силы струна имеет угловую точку, т.

Характеристики

Список файлов книги