1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 91
Текст из файла (страница 91)
VI. Ряды ФурьеРассмотрим интегралZc[166sin xdx.x0Это есть непрерывная функция c, равная нулю при c = 0 и стремящаясяк π2 при c → +∞. Мы можем отсюда заключить, что при всех положительных c написанный интеграл остается по абсолютной величине меньшим некоторого определенного положительного числа M . Рассмотримтеперь интеграл с двумя положительными пределамиZbsin xdx.xZbsin xdx −x(15)aМы имеем, очевидно,Zbsin xdx =x0aи Zbsin x dx6xaZasin xdxx0 Zb Zasin x sin x +dxdx < M + M = 2M,xx00т. е. интеграл (15) при любых положительных a и b остается по абсолютной величине меньшим некоторого определенного положительного числа2M .Прежде чем переходить к доказательству (13), рассмотрим более простой интегралZbsin mx1dx.πx0Совершая замену переменных t = mx и пользуясь (14), получим прибеспредельном возрастании m:1πZbsin mx1dx =xπ0Zmbsin t1π1dt →= ,tπ220и, следовательно,1πZb0ϕ(+0)1sin mxdx → ϕ(+0).x2166]§ 15.
Дополнительные сведения из теории рядов Фурье629Таким образом для доказательства (13) нам достаточно показать, что1πZb[ϕ(x) − ϕ(+0)]sin mxdx → 0,x0т. е. что при достаточно больших m левая часть написанного по абсолютной величине меньше любого положительного числа ε. Разобьем промежуток интегрирования (0, b) на два: (0, δ) и (δ, b), где δ — малое положительное число, которое будет фиксировано в дальнейшем. Покажем,что каждый из двух интегралов1πZδsin mx[ϕ(x) − ϕ(+0)]dxx0и1πZb[ϕ(x) − ϕ(+0)]sin mxdxx(16)0при достаточно больших m меньше 2ǫ по абсолютной величине.
Ввидуконечного числа разрывов функции ϕ(x) можно взять δ настолько малым, чтобы в промежутке (0, δ) функция ϕ(x) не имела разрывов, такчто ϕ(x ± 0) = ϕ(x). Принимая во внимание, что, по условию, ϕ(x) монотонна, и применяя к первому из интегралов (16) теорему о среднем,получим1πZδ1sin mx[ϕ(x) − ϕ(+0)]dx = [ϕ(δ) − ϕ(+0)]xπ0Zδsin mxdx,x0и, следовательно, Zδ11 sin mx π [ϕ(x) − ϕ(+0)] x dx < π ϕ(δ) − ϕ(+0) · M.0По определению символа ϕ(+0), разность ϕ(δ) − ϕ(+0) → 0 при δ →0 и, следовательно, мы можем приблизить δ настолько к нулю, чтобыправая часть написанного равенства была меньше 2ε .
При этом первый изинтегралов (16) будет по абсолютной величине меньше 2ε при любом m.Фиксируя таким образом положительное число δ, обратимся ко второмуиз интегралов (16). Применяя к нему также теорему о среднем, можемнаписать его в виде1[ϕ(δ) − ϕ(+0)]πZξδ1sin mxdx + [ϕ(b − 0) − ϕ(+0)]xπZbξsin mxdx.x(17)630Гл. VI. Ряды Фурье[166Множители, стоящие перед интегралами, суть постоянные, и нам достаточно доказать, что оба интеграла стремятся к нулю при возрастанииm. Рассмотрим, например, первый из интегралов и совершим в нем замену t = mx.
Получим интегралZmξsin tdt.t(18)mδПри беспредельном возрастании m пределы mδ и mξ беспредельно возрастают, так как δ — фиксированное положительное число и ξ не меньшеδ. Но раз интегралZ∞sin tdtt0есть сходящийся интеграл, то интеграл (18) при беспредельном возрастании его обоих пределов должен стремиться к нулю [85]. Аналогичнорассматривается и второй из интегралов в выражении (17), а потомувсе это выражение стремится к нулю, т.
е. второй из интегралов (16)стремится к нулю и, следовательно, при достаточно больших m он поабсолютной величине меньше ε2 .Равенство (13) и, следовательно, все утверждения леммы доказанынами в предположении, что ϕ(z) не только удовлетворяет условиям Дирихле, но и монотонна. Остается показать, что (13) верно и в том случае,когда ϕ(z) удовлетворяет только условиям Дирихле. В силу условий Дирихле, промежуток (0, b) можно разбить на конечное число частей, вкаждой из которых ϕ(z) монотонна. Пусть (0, b) можно разбить хотя бына три части (0, b1 ), (b1 , b) и (b2 , b), в каждой из которых ϕ(z) монотонна. Интеграл (13) разобьется на три:Zb0sin mzdz =ϕ(z)zZb10sin mzϕ(z)dz +zZb2ϕ(z)sin mzdz+zb1+Zbϕ(z)sin mzdz.z(19)b2К каждому слагаемому правой части применима лемма, так как впромежутках (0, b1 ), (b1 , b2 ) и (b2 , b) функция ϕ(z) монотонна.
Следовательно, первое слагаемое стремится к 12 ϕ(+0), остальные два — к нулю,и интеграл (19) стремится к 12 ϕ(+0), что и требовалось доказать.167]§ 15. Дополнительные сведения из теории рядов Фурье631Заметим, что в интеграле Дирихле (12) число m может беспредельно возрастать любым образом, не обязательно принимая только целыезначения. Полученный результат имеет своим источником тот факт, чтофункция sinzmz при больших значениях m очень часто меняет знак и,кроме того, принимает большие значения при z, близких к нулю.167.
Теорема Дирихле. Пользуясь леммой из предыдущего номера, мы докажем без труда теорему Дирихле [155]. Нам надо доказать, всилу (3), что выражениеπ1πZ2πsin(2n + 1)z1f (x − 2z)dz +sin zπ0Z2f (x + 2z)sin(2n + 1)zdzsin z(20)0(x+0)при беспредельном возрастании n. Рассмотримстремится к f (x−0)+f2вместо (20) выражениеπ1πZ2π1sin(2n + 1)zdz +f (x − 2z)zπ0Z2f (x + 2z)sin(2n + 1)zdz.z(21)0Верхние пределы в обоих интегралах положительны, и функции f (x−2z)и f (x + 2z) удовлетворяют условиям Дирихле в промежутке интегрирования. Кроме того, m = 2n + 1 → ∞, и, по доказанной в предыдущем(x+0). Останомере лемме, выражение (21) стремится к пределу f (x−0)+f2ется доказать, что разность выражений (20) и (21) стремится к нулю.Для этого достаточно показать, что интегралыπ1πZ2f (x − 2z)11−sin zzsin(2n + 1)zdz,f (x + 2z)11−sin zzsin(2n + 1)zdz0π1πZ20стремятся к нулю.
Докажем это для первого интеграла:π1πZ2011f (x − 2z)−sin z zπ1sin(2n + 1)zdz =πZ20ψ(z) sin(2n + 1)zdz, (22)632гдеГл. VI. Ряды Фурье[16711ψ(z) = f (x − 2z)−.sin zzПервый множитель f (x − 2z) имеет в промежутке интегрирования конечное число разрывов первого рода (или непрерывен). Второй35zz − 1!− z3! + z5! − . . .1z − sin z1− ==sin zzz sin z35zz 1!− z3! + z5! − . . .при z → 0 стремится к нулю и никаких разрывов в промежутке0,π2не имеет. Следовательно, к интегралу (22) применима лемма из [164], иэтот интеграл стремится к нулю. Таким образом, утверждение теоремыДирихле доказано.Мы дополним доказанную теорему еще двумя предложениями, которые мы приведем без доказательства.
Полученное нами предложениеобнаруживает лишь то, что во всякой точке промежутка x ряд ФурьеS[f (x)] сходится и имеет суммой f (x), но в этом предложении ничего неупоминается о характере сходимости в промежутке (−π, π). Предложения, которые мы сейчас формулируем, восполняют этот пробел.1. Во всяком промежутке, в котором функция f (x), удовлетворяющая условиям Дирихле, кроме того, непрерывна, и который лежитвнутри промежутка (−π, π), ряд S[f (x)] сходится равномерно.2. Если f (x), удовлетворяющая условиям Дирихле, непрерывна вовсем промежутке (−π, π), и сверх тогоf (−π + 0) = f (π − 0),то ряд S[f (x)] сходится равномерно при всех значениях x.Читатель покажет без труда, что предложения, аналогичные указанным выше, имеют место для рядов, расположенных только по косинусамили только по синусам в случае, если функция определена в промежутке(0, π), со следующими изменениями:При условиях теоремы Дирихле для промежутка (0, π) сумма ряда∞a0 X+ak cos kx;2k=12ak =πZπ0f (t) cos ktdt(23)168]§ 15.
Дополнительные сведения из теории рядов Фурье633равнаиf (x + 0) + f (x − 0)2f (+0) — при x = 0;сумма же ряда∞Xbk sin kx;k=1при0<x<π(24)f (π − 0) — при x = π;bk =2πZπf (t) sin ktdt(25)0будет (24) при 0 < x < π и нуль при x = 0 и x = π.Все эти результаты получаются очень просто, если продолжитьфункцию f (x) в соседний промежуток (−π, 0) четным образом в случае ряда (23) и нечетным в случае ряда (25), как это было сделано в[157].168. Приближение к непрерывной функции полиномами. Нашей следующей задачей является доказательство формулызамкнутости (40) из [159].
Это доказательство будет основано нанекоторых результатах из теории приближений функций полиномами. К изложению этих результатов, которые являются важнымии сами по себе, мы сейчас и переходим. В основе всего здесь лежитследующая теорема:Т е о р е м а 1 (В е й е р ш т р а с с а).
Если f (x) — любая непрерывная в замкнутом конечном промежутке a 6 x 6 b функция,то существует последовательность многочленов P1 (x), P2 (x),. . . , которая стремится равномерно [I, 144] к f (x) во всем замкнутом промежутке (a, b).Заметим прежде всего, что при помощи преобразования x′ =можно промежуток (a, b) привести к промежутку (0, 1), иполиномы от x будут полиномами от x′ и обратно. Можно поэтому считать, что промежуток (a, b) есть (0, 1).
Докажем сначаладва элементарных алгебраических тождества. Напишем формулубинома Ньютонаx−ab−anXm=0Cnm um v n−m = (u + v)n .(26)634Гл. VI. Ряды Фурье[168Дифференцируя это тождество по u и умножая на u, а затем проделывая то же самое с полученным тождеством, будем иметь двановых тождестваnXm m n−mn−1mCn u v= nu(u + v),m=0(27)nX2 m m n−mn−2 m Cn u v= nu(nu + v)(u + v).m=0Полагая в (26) u = x и v = 1 − x, будем иметь1=nXm=0Cnm xm (1 − x)n−m .(28)Умножая (26) на n2 x2 , первое из (27) — на (−2nx), второе из (27) —на единицу и складывая, получим при u = x и v = 1 − x:nX(m − nx)2 Cnm xm (1 − x)n−m = nx(1 − x).m=0Нетрудно показать [I, 60], что правая часть этого равенства, положительна в промежутке (0, 1) и принимает наибольшее значениепри x = 12 , откуда следует при 0 6 x 6 1nX1n.4(29)Покажем теперь, что многочлены nXmCnm xm (1 − x)n−mPn (x) =fnm=0(30)(m − nx)2 Cnm xm (1 − x)n−m 6m=0равномерно стремятся к f (x) в промежутке (0, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
