1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Положим, что во взятой точке x функция f (x) не только непрерывна, но и имеет производную. Из определения производной и из очевидного равенства−2z= −2z→0 sin zlimвытекает, что ψ(x) стремится к определенному пределу, равному−2f ′ (x), когда z → 0. Отсюда вытекает, что к функции ψ(z) применима вышеуказанная лемма, и первое слагаемое в правой частиформулы (5) стремится к нулю при беспредельном возрастании n.Точно так же доказывается, что и второе слагаемое стремится кнулю, а отсюда вытекает, что и разность [Sn (f ) − f (x)] стремится кнулю во взятой точке x. Мы получаем таким образом следующуютеорему:Т е о р е м а.
Если f (x) непрерывна или имеет конечное числоразрывов первого рода в промежутке (−π, π), то ее ряд Фурьесходится и имеет суммою f (x) во всякой такой же точке x, вкоторой f (x) имеет производную.Нетрудно получить и более общие результаты. Положим, что вточке x функция непрерывна или даже имеет разрыв непрерывности первого рода, но существуют конечные пределыlimh→+0f (x − h) − f (x − 0)−hиlimh→+0f (x + h) − f (x + 0).h(6)Геометрически существование этих пределов, т. е. производныхслева и справа, равносильно существованию определенной касательной слева и справа.
При этом имеет место следующее дополнение к доказанной теореме: если существуют конечные пределы (6), то в этой точке ряд Фурье функции f (x) сходится и(x+0)[что равно f (x), если f (x) непреего сумма равна f (x−0)+f2рывна].165]§ 15. Дополнительные сведения из теории рядов ФурьеУмножая (4) наf (x−0)+f (x+0)2621и вычитая из (3), можем написатьf (x − 0) + f (x + 0)=2πZ21f (x − 2z) − f (x − 0) −2z=sin(2n + 1)zdz+π−2zsin zSn (f ) −0π1+πZ2f (x + 2z) − f (x + 0) 2zsin(2n + 1)zdz. (7)2zsin z0Надо доказать, что правая часть стремится к нулю при беспредельном возрастании n.Принимая во внимание существование пределов (6), мы можемутверждать, что при z → 0 обе дробиf (x + 2z) − f (x + 0)f (x − 2z) − f (x − 0)и−2z2zимеют конечные пределы, и, рассуждая совершенно так же, как ивыше, мы убедимся, что оба интеграла, стоящих в правой части(7), стремятся к нулю при беспредельном возрастании n. Такимобразом приведенное выше дополнение к теореме доказано.При значениях x = π и x = −π в силу периодического продолжения f (x), пределы (6) сведутся к пределамf (−π + h) − f (−π + 0)h→+0hlimи сумма ряда будетиf (π − h) − f (π − 0),h→+0−hlimf (−π + 0) + f (π − 0).2Заметим, что во всех примерах, рассмотренных нами в предыдущем параграфе, f (x) удовлетворяет во всех точках условиям доказанной теоремы или дополнения к ней.165.
Вторая теорема о среднем. Для доказательства теоремы Дирихле и более подробного изучения ряда Фурье нам будет необходимо622Гл. VI. Ряды Фурье[165одно предложение интегрального исчисления, которое имеет некоторуюаналогию с теоремой о среднем, изложенной в томе I [I, 95], и называется обычно второй теоремой о среднем. Это предложение формулируетсяследующим образом: если ϕ(x) — монотонная ограниченная функция вконечном промежутке a 6 x 6 b с конечным числом точек разрыва,f (x) — непрерывная функция, тоZbϕ(x)f (x)dx = ϕ(a + 0)aZξf (x)dx + ϕ(b − 0)aZbf (x)dx,(8)ξгде ξ — некоторое число из промежутка (a, b).Нетрудно видеть, что достаточно доказать формулу (8) для случаявозрастающей (неубывающей) функции ϕ(x), ибо если ϕ(x) — убывающая, то [−ϕ(x)] есть возрастающая функция и, применяя формулу (8) к[−ϕ(x)] и меняя в обеих частях знаки на обратные, получим равенство(8) и для самой ϕ(x).
Покажем еще, что достаточно доказать формулу (8) для того случая, когда ϕ(a + 0) = 0. Действительно, пусть дляэтого случая формула (8) доказана, и рассмотрим ϕ(x), которая указанному условию не удовлетворяет. Введем новую монотонную функциюψ(x) = ϕ(x) − ϕ(a + 0). У этой функции предельные значения на границах будут ψ(a + 0) = 0 и ψ(b − 0) = ϕ(b − 0) − ϕ(a + 0). По предположению,к функции ψ(x) формула (8) применима, и, в силу ψ(a + 0) = 0, она даетZbψ(x)f (x)dx = ψ(b − 0)aZbf (x)dx,ξилиZb[ϕ(x) − ϕ(a + 0)]f (x)dx = [ϕ(b − 0) − ϕ(a + 0)]aZbf (x)dx,ξоткудаZbaϕ(x)f (x)dx = ϕ(a + 0) Zbaf (x)dx −ZbξZbf (x)dx + ϕ(b − 0) f (x)dx,ξа из этого равенства непосредственно вытекает формула (8) для ϕ(x).Итак, достаточно доказать формулу (8) для возрастающей или, лучше165]§ 15.
Дополнительные сведения из теории рядов Фурье623сказать, неубывающей функции ϕ(x), у которой ϕ(a + 0) = 0. Значениятакой функции в промежутке (a, b) будут, очевидно, неотрицательными.Для доказательства разобьем промежуток (a, b) на части, отметив внем точкиx0 = a, x1 , x2 , . . . , xi−1 , xi , .
. . , xn−1 , xn = b.Как известно [I, 95],Zxif (x)dx = f (ξi )(xi − xi−1 ),xi−1где ξi — некоторое значение, лежащее внутри промежутка (xi−1 , xi ). Составим суммуnXi=1nXϕ(ξi )f (ξi )(xi − xi−1 ) =ϕ(ξi )i=1Zxif (x)dx.xi−1При беспредельном возрастании n и уменьшении наибольшей из длинпромежутков (xi−1 , xi ) эта сумма стремится к определенному интегралу[I, 116], т. е. мы имеемZbϕ(x)f (x)dx = limnXϕ(ξi )i=1aZxif (x)dx.xi−1Займемся теперь исследованием суммыnXi=1ϕ(ξi )Zxif (x)dx =nXi=1xi−1= ϕ(ξ1 )Zbaϕ(ξi ) Zbf (x)dx −xi−1f (x)dx +ZbxinXi=2f (x)dx =[ϕ(ξi ) − ϕ(ξi−1 )]Zbf (x)dx.Zbf (x)dx (10)(9)xi−1ИнтегралыZbaf (x)dx,Zbx1f (x)dx,Zbx2f (x)dx, .
. . ,Zbxi−1f (x)dx, . . . ,xn−1624Гл. VI. Ряды Фурье[165являются частными значениями функцииZbf (x)dx = −xZxf (x)dx,(11)bкоторая есть непрерывная функция от переменного предела интегрирования x [I, 96], а потому все значения (10) лежат между наименьшим инаибольшим значениями m и M функции (11).Принимая во внимание, что в выражении (9) все множителииϕ(ξ1 )ϕ(ξi ) − ϕ(ξi−1 )неотрицательны, и заменяя в этом выражении значения (10) справа наm, а затем на M , получимnXi=1nXi=1ϕ(ξi )Zxif (x)dx >Zxif (x)dx 6xi−1ϕ(ξi )xi−1ϕ(ξ1 ) +ϕ(ξ1 ) +i=2nXi=2то естьϕ(ξn )m 6nXnXϕ(ξi )i=1Zxi[ϕ(ξi ) − ϕ(ξi−1 )] m = ϕ(ξn )m,[ϕ(ξi ) − ϕ(ξi−1 )] M = ϕ(ξn )M,f (x)dx 6 ϕ(ξn )M,xi−1или в пределе при n → ∞ и беспредельном уменьшении наибольшей издлин промежутков (xi−1 , xi ) мы имеемξn → b − 0иϕ(ξn ) → ϕ(b − 0),и неравенство будетϕ(b − 0)m 6Zbϕ(x)f (x)dx 6 ϕ(b − 0)M,aт.
е.Zbaϕ(x)f (x)dx = ϕ(b − 0)P,165]§ 15. Дополнительные сведения из теории рядов Фурье625где P — некоторое число, лежащее в промежутке (m, M ). Но непрерывная функция (11) принимает в промежутке (a, b) все значения, лежащиемежду ее наименьшим и наибольшим значениями m и M [I, 43], в томчисле и P , а потому в промежутке (a, b) наверно найдется такое значениеξ, при которомZbf (x)dx = P,ξи, следовательно,Zbϕ(x)f (x)dx = ϕ(b − 0)aZbf (x)dx,ξа это совпадает с формулой (8) в силу условия ϕ(a + 0) = 0. Заметим,что формулу (8) можно доказать, не предполагая непрерывности f (x) иконечного числа разрывов у ϕ(x), на чем мы, однако, останавливатьсяне будем. Отметим, наконец, что вместо формулы (8) можно доказатьболее общую формулуZbϕ(x)f (x)dx = AaZξf (x)dx + BaZbf (x)dx,ξгде числа A и B должны удовлетворить следующим условиям: A 6 ϕ(a+0)и B > ϕ(b − 0).С л е д с т в и е.
В [159] мы видели, что при некоторых условиях коэффициенты Фурье an и bn функции f (x) стремятся к нулю, при n → ∞.Если f (x) удовлетворяет условиям Дирихле, то можно доказать болееточный результат, а именно, что an и bn при больших n будут бесконечно малыми порядка не ниже n1 , т. е. для них будет иметь место оценкавидаMM, |bn | <,|an | <nnгде M — определенное положительное число.
По условию, промежуток(−π, π) можно разбить на конечное число частей, в каждой из которых f (x) монотонна и ограничена. Пусть (α, β) — одна из этих частей.Коэффициент an будет суммой конечного числа слагаемых вида1πZβαf (x) cos nxdx,626Гл. VI. Ряды Фурье[166которое можно преобразовать по теореме о среднем1πZβ1f (x) cos nxdx = f (α + 0)παZξ1cos nxdx + f (β − 0)παZβcos nxdx =ξf (α + 0)(sin nξ − sin nα) + f (β − 0)(sin nβ − sin nξ).πnМы получим таким образом для отдельного слагаемого в выражении an, где M = π2 |f (α + 0)| + π2 |f (β − 0)|. Оценка того же видаоценку вида Mnочевидно будет и для всей суммы конечного числа таких слагаемых, т. е.для |an |.
Аналогичное рассуждение годится и для bn .Если f (x) непрерывна, f (−π) = f (π) и существует производная f ′ (x),удовлетворяющая условиям Дирихле, то, интегрируя по частям и принимая во внимание, что в силу f (−π) = f (π) внеинтегральный членобратится в нуль, получим=nbn =nπZ+πZ+πZ+π11f (x) sin nxdx = −f (x)d cos nx =f ′ (x) cos nxdx.ππ−π−π−πНо последний интеграл, как коэффициент Фурье функции f ′ (x), удовлетворяющей условиям Дирихле, имеет вышеуказанную оценку, и для bnполучаем при сделанных предположениях оценкуM.n2Аналогичная оценка получится и для an . Более подробное рассмотрение оценок коэффициентов Фурье в зависимости от свойств функцииf (x) будет нами дано позже.|bn | 6166.
Интеграл Дирихле. Из формулы (3) видно, что вопрос о сходимости ряда Фурье, т. е. о существовании предела суммы Sn (f ), приводится к исследованию интеграла типаZbϕ(z)sin mzdz.sin zaМы будем рассматривать более простой интеграл, а именно интегралвидаZbsin mz1ϕ(z)dz,(12)πza166]§ 15. Дополнительные сведения из теории рядов Фурье627который называется интегралом Дирихле.
Мы докажем по поводу этогоинтеграла следующую лемму:Л е м м а. Если ϕ(z) удовлетворяет условиям Дирихле в промежутке (a, b), то: 1) если a = 0 и b > 0, то при беспредельном возрастании mинтеграл (12) имеет предел 12 ϕ(+0); 2) если a = 0 и b < 0, то этот пре; 4)дел равен 12 ϕ(−0); 3) если a < 0 и b > 0, то предел равен ϕ(−0)+ϕ(+0)2если a и b > 0 или a и b < 0, то упомянутый предел равен нулю. Нетрудно видеть, что достаточно доказать одно первое утверждение.
Считая егодоказанным, мы можем легко получить из него остальные. Докажем, например, утверждения 3 и 4, считая первое доказанным:1πZbsin mz1ϕ(z)dz =zπaZbsin mz1ϕ(z)dz −zπ0Zaϕ(z)sin mzdz.z0Если a и b > 0, то, в силу утверждения 1, уменьшаемое и вычитаемое вправой части имеет предел 12 ϕ(+0), и, следовательно, разность стремитсяк нулю, что и доказывает утверждение 4. Если же a < 0 и b > 0, то,заменяя в вычитаемом переменную интегрирования z на (−z), получим1πZbϕ(z)sin mz1dz =zπaZbϕ(z)sin mz1dz +zπ0Z−asin mzϕ(−z)dz.z0Так как b и (−a) > 0, то можем применить к обоим интегралам утверждение 1 и получим1πZbϕ(z)sin mz11ϕ(−0) + ϕ(+0)dz → ϕ(+0) + ϕ(−0) =.z2220Перейдем теперь к доказательству утверждения 1, т.
е. покажем, что приb>0Zbsin mz11ϕ(z)dz → ϕ(+0).(13)πz20При доказательстве будем пока считать, что ϕ(x) не только удовлетворяет условиям Дирихле, но и монотонная в промежутке (0, b).Мы имели раньше следующий результат:Z∞0πsin xdx = .x2(14)628Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
