1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Гармонический анализ611Вводя для любых двух функций ϕ и ψ из L2 обозначениеZ(ϕ, ψ) = ϕψdx,Eможем записать неравенство (60) в виде(ϕ, ψ)2 6 (ϕ, ϕ)(ψ, ψ).(68)Положимfn − f = ϕn ,gn − g = ψn .По условию, (ϕn , ϕn ) → 0 и (ψn , ψn ) → 0 при n → ∞. Составимразность(f, g) − (fn , gn ) = (f, g) − (f + ϕn , g + ψn ) == −(f, ψn ) − (ϕn , g) − (ϕn , ψn ),откуда, применяя (68), получим|(f, g) − (fn , gn )| 6 |(f, ψn )| + |(ϕn , g)| + |(ϕn , ψn )| 6pppppp6 (f, f ) (ψn , ψn )+ (ϕn , ϕn ) (g, g)+ (ϕn , ϕn ) (ψn , ψn ).При n → ∞ правая часть стремится к нулю, откуда |(f, g) −(fn , gn )| → 0, т.
е. (fn , gn ) → (f, g), что совпадает с (67).163. Ортонормированные системы в L2 . Теория ортонормированных систем в L2 получает законченную форму. Первоначальные понятия и формулы те же, что и в [160]. Все функциисчитаются вещественными. Пусть имеется ортонормированная система функций из L2 :ψ1 (x), ψ2 (x), . . . , ψn (x), . .
. ,т. е.ZEψk ψl dx =(0 при1 приk=6 l,k = l.(69)(70)612Гл. VI. Ряды Фурье[163Для любой функции f из L2 можем образовать ее коэффициентыФурье относительно системы (69)Zck = f ψk dx(71)Eи ряд Фурье∞Xck ψk (x),(72)k=1о сходимости которого мы утверждать ничего не можем.Имеем формулуZ XZnnnXX222(f −ak ψk ) dx =f dx −ck +(ak − ck )2 .Ek=1k=1E(73)k=1Наименьшее значение это выражение имеет при ak = ck , причемZZnnXX(731 )(f −ck ψk )2 dx = f 2 dx −c2k ,Ek=1Eоткуда следует неравенство БесселяZ∞X2ck 6 f 2 dx.k=1k=1(74)EЕсли имеет место знак равенства, то соответствующая формулаZ∞Xf 2 dx =c2k(75)k=1Eназывается уравнением замкнутости для функции f относительноортонормированной системы. Это уравнение равносильно тому, чтоотрезок ряда Фурье функцииnXk=1ck ψk (x)163]§ 14.
Гармонический анализ613стремится в L2 к f при n → ∞. Докажем теперь основную в теорииортонормированных систем теорему.Т е о р е м а 9 (Р и с с а — Ф и ш е р а). Если ak — любая заданнаяпоследовательность вещественных чисел, квадраты которых образуют сходящийся ряд∞Xa2k < +∞,(76)k=1то существует единственная функция из L2 , для которой числаak суть коэффициенты Фурье относительно системы (69) и длякоторой имеет место уравнение замкнутости.Образуем функции из L2 :Sn (x) =nXak ψk (x).(77)k=1В силу ортонормированности системы (69), имеемZ(Sq − Sp )2 dx = a2p+1 + a2p+2 + . . .
+ a2q (q > p),Eи из сходимости ряда (76) следует, что правая часть стремится кнулю при p → ∞, т. е. последовательность (77) сходится в себе в L2 .В силу теоремы 7 эта последовательность сходится в L2 к некоторойфункции f (x):limn→∞ZE(f − Sn )2 dx = 0,т. е.limn→∞ZE(f −nXak ψk )2 dx = 0. (78)k=1Пусть ck — коэффициенты Фурье f (x). Вернемся к формуле (73).Левая часть стремится к нулю при n → ∞, и разность, стоящаяв квадратной скобке в правой части, неотрицательна в силу неравенства Бесселя, откуда следует, что ck = ak (k = 1, 2, . .
.), т. е.ak суть коэффициенты Фурье функции f (x), а из (78) следует, чтодля этой функции имеет место уравнение замкнутости. Остается614Гл. VI. Ряды Фурье[163доказать, что функция f (x) с указанными выше свойствами единственна. Пусть, кроме f (x), имеется еще функция g(x) с указанными свойствами. При этом (77) суть отрезки ряда Фурье как дляf (x), так и для g(x), и последовательность Sn (x) стремится в L2 какк f (x), так и к g(x) и, в силу теоремы 5, f (x) и g(x) эквивалентны.Теорема полностью доказана.О п р е д е л е н и е. Ортонормированная система (69) называется замкнутой, если для любой функции f (x) из L2 имеет местоуравнение замкнутости.При доказательстве теоремы 9 мы не предполагали, что система замкнута. Если это имеет место, то в теореме не надо оговаривать, что для f (x) имеет место уравнение замкнутости, т.
е. имеетместоТ е о р е м а 9′ . Если система (69) замкнута, и ak — любая заданная последовательность вещественных чисел, для которой ряд(76) сходится, то существует единственная функция из L2 длякоторой число ak суть ее коэффициенты Фурье.Мы знаем, что, наоборот, для любой функции из f (x) ее коэффициенты Фурье образуют числовую последовательность ak , длякоторой ряд (76) сходится. Таким образом, если система (69) замкнута, то существует биоднозначное соответствие между функциями f (x) из L2 и числовыми последовательностями ak , для которыхряд (76) сходится, причем ak суть коэффициенты Фурье f (x) относительно системы (69).
Введем еще одно.О п р е д е л е н и е. Система (69) называется полной, если вL2 не существует функции, отличной от нуля (т. е. не эквивалентной нулю) и ортогональной ко всем функциям системы(69).Мы докажем, что понятия замкнутости и полноты равносильны, т. е. из замкнутости вытекает полнота и из полноты — замкнутость.Положим, что система замкнута, и пусть функция ω(x) из L2ортогональна ко всем функциям системы (69):ZEωψk dx = 0,(79)163]§ 14.
Гармонический анализ615т. е. все коэффициенты Фурье ω(x) равны нулю. Из уравнения замкнутости (75) получаемZω 2 dx = 0,Eоткуда следует, что функция ω(x) эквивалентна нулю, т. е. системаполная.Положим теперь, что система (69) полная и будем доказыватьее замкнутость от обратного. Пусть имеется функция g(x) из L2 скоэффициентами Фурье ak такая, что для нее уравнение замкнутости не имеет места, т. е.Zg 2 dx >∞Xa2k .k=1EС другой стороны, согласно теореме 9, существует такая функцияиз f (x) ∈ L2 с теми же коэффициентами Фурье, для которой имеетместо уравнение замкнутостиZf 2 dx =ZEa2k ,k=1Eоткуда следует, что∞X2g dx >Zf 2 dx.(80)EНо у разности f (x) − g(x) все коэффициенты Фурье равны нулю,т. е.
эта разность ортогональна ко всем ψk (x), и из полноты следует,что f (x) − g(x) эквивалентна нулю, т. е. f (x) эквивалентна g(x), апотому и f 2 (x) эквивалентна g 2 (x), т. е. интегралы, входящие в (80),должны быть равны. Это противоречие и доказывает замкнутостьсистемы (69).616Гл.
VI. Ряды Фурье[164§ 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ164. Разложение в ряд Фурье. Настоящий параграф мы посвятим более глубокому и строгому изложению теории рядов Фурьеи начнем с изложения доказательства теоремы разложения f в рядФурье. При этом мы будем налагать на f (x) условия, отличные отусловий Дирихле [155], что приведет к упрощению доказательства.В дальнейшем мы дадим доказательство и теоремы Дирихле.Обратимся к ряду Фурье функции f (x):a0 X+(ak cos kx + bk sin kx),2∞(1)k=1где1ak =πZ+πf (t) cos ktdt,1bk =ππZ+πf (t) sin ktdt,πи переменная интегрирования обозначена нами буквою t, чтобы непутать ее при дальнейших вычислениях с переменной x формулы(1). Подставляя выражения ak и bk в формулу (1), найдем суммупервых (2n + 1) членов ряда Фурье функции f (x), которую мыобозначим через Sn (f ):nSn (f ) =a0 X+(ak cos kx + bk sin kx) =2k=1Z+πn1 X1f (t) +(cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt ==π2−πk=11=πZ+πn1 Xf (t) +cos k(t − x) dt.2−πk=1Но имеет место формула [I, 174]1 + cos ϕ + cos 2ϕ + .
. . + cos(n − 1)ϕ =sin n − 12 ϕ + sin ϕ22 sin ϕ2.164]§ 15. Дополнительные сведения из теории рядов Фурье617Заменяя в этой формуле n на (n + 1) и вычитая из обеих частейполовину, получимsin (2n+1)ϕ12+ cos ϕ + cos 2ϕ + . . . + cos nϕ =,22 sin ϕ2откудаnsin (2n+1)(t−x)1 X2+cos k(t − x) =,t−x22sin2k=1(2)и предыдущее выражение для Sn (f ) можно переписать в виде1Sn (f ) =πZ+πsin (2n+1)(t−x)2f (t)dt.2 sin t−x2−πФункцию f (x), заданную в промежутке (−π, π), мы периодически продолжаем с периодом 2π, так что мы можем считать ееопределенной при всех вещественных x и с периодом 2π. Дробь,стоящая под знаком интеграла, в силу (2), также имеет относительно t период 2π. Принимая во внимание замечание из [154], мыможем в предыдущем интеграле заменить промежуток интегрирования (−π, π) любым промежутком длины 2π.
Берем какое-нибудьзначение x независимого переменного и принимаем за промежутокинтегрирования (x − π, x + π):1Sn (f ) =πx+πZf (t)x−πsin (2n+1)(t−x)2dt.2 sin t−x2Отметим еще раз, что во всем дальнейшем мы под f (x) разумеемфункцию, продолженную указанным выше образом из промежутка(−π, π) на все вещественные значения x.x+πRxRРазбиваем весь интеграл на два: одини другой. В перx−πxвом вводим вместо t новую переменную интегрирования z по формуле t = x − 2z, а во втором — по формуле t = x + 2z. Совершая618Гл. VI. Ряды Фурье[164замену переменных под знаком интеграла и вычисляя новые пределы интегрирования, получимπ1Sn (f ) =πZ20π1sin(2n + 1)zdz +f (x − 2z)sin zπZ2f (x + 2z)sin(2n + 1)zdz.sin z0Если мы положим, что f (x) во всем промежутке (−π, π) равнаединице, то очевидно, что свободный член a20 ее ряда Фурье будетравен единице, а остальные члены — нулю, т.
е. Sn (f ) при всяком nбудет равна единице, и мы имеем следующее равенствоπ1=2πZ2sin(2n + 1)zdzsin z(n = 1, 2, 3, . . .).(4)0Прежде чем переходить к доказательству основного предложения о разложении функции в ряд Фурье, докажем лемму:Л е м м а. Если (a, b) есть промежуток (−π, π) или его частьи ψ(z) — функция, непрерывная в (a, b) или имеющая в этом промежутке конечное число разрывов первого рода, то интегралы1πZbψ(z) cos nzdzи1πaZbψ(z) sin nzdzaстремятся к нулю при беспредельном возрастании целого числаn.Если (a, b) есть промежуток (−π, π), то эта лемма буквальносовпадает с теоремой из [159].
Положим теперь, что (a, b) есть часть(−π, π). Продолжим ψ(z) из (a, b) во весь промежуток (−π, π),полагая ее равной нулю в частях промежутка (−π, π), лежащих вне(a, b), т. е. определим новую функцию ψ1 (z) так, что ψ1 (z) = ψ(z)при a 6 z 6 b и ψ1 (z) = 0, если z принадлежит промежутку (−π, π),но находится вне (a, b). При этом мы можем, например, написать1πZba1ψ(z) cos nzdz =πZ+πψ1 (z) cos nzdz,−π164]§ 15. Дополнительные сведения из теории рядов Фурье619и этот интеграл стремится к нулю в силу упомянутой выше теоремыиз [159]. Заметим, что ψ1 (z) также или непрерывна в промежутке(−π, π), или имеет конечное число разрывов первого рода.
Нетрудно показать, что лемма остается справедливой, если (a, b) — любойконечный промежуток.Обращаемся теперь к доказательству основной теоремы разложения f (x) в ряд Фурье. Мы, как всегда, считаем, что f (x) непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода в промежутке −π 6 x 6 π.Умножая обе части равенства (4) на f (x), вводя этот множительпод знак интеграла и вычитая полученное равенство из (3), будемиметьπ1Sn (f ) − f (x) =πZ20[f (x − 2z) − f (x)]sin(2n + 1)zdz+sin zπ1+πZ20[f (x + 2z) − f (x)]sin(2n + 1)zdz,sin zчто можно переписать еще в видеπ1Sn (f ) − f (x) =πZ20f (x − 2z) − f (x) −2zsin(2n + 1)zdz+−2zsin zπ+1πZ2f (x + 2z) − f (x) 2zsin(2n + 1)zdz.
(5)2zsin z0Для того чтобы доказать, что ряд Фурье (1) функции f (x) сходится и имеет суммою f (x), надо показать, что разность [Sn (f ) −f (x)] стремится к нулю при беспредельном возрастании n.Рассмотрим функциюψ(z) =f (x − 2z) − f (x) −2z−2zsin z620Гл. VI. Ряды Фурьев промежутке 0,π2[164. Она может иметь точки разрыва перво-го рода, происходящие от точек разрыва f (x − 2z), и, кроме того, надо особо исследовать значение z = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
