1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 86

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 86)

VI. Ряды Фурье[157знак, получим разложение∞X1 1k2 + z 2= 2 2 +2π z(k2 − z 2 )2sin2 πzk=11или, замечая, что2получим11k2 + z 2=+,(k2 − z 2 )2(z + k)2(z − k)212sin πz=+∞1 X1.π 2 k=−∞ (z − k)2(23)Формула (221 ) приводит к замечательному разложению функцииctgz в степенной ряд. Умножив обе ее части на πz и заменив πz наz, т. е. z на πz , мы получимzctgz = 1 −∞Xk=12z 2.− z2k2 π 2Но2z 2=k2 π 2 − z 22z 2 =2k2 π 2 1 − k2zπ2z2z4z2z 2n= 2 2 2 1 + 2 2 + 4 4 + . . . + 2n 2n + . . . (|z| < π).k πk πk πk πПодставив это в предыдущую формулу и располагая по степеням z 2 ,имеемzctgz = 1 − 2Заменив z наz,2∞∞∞z4 X 1z2 X 1z 2n X 1−2−..− ....−2π2k2π4k4π 2nk2nk=1k=1k=1получим∞ ∞XX1zz2ctg = 1 −z 2n2n2n22(2π)kn=1k=1Обозначим коэффициент при z 2n через(|z| < 2π).Bn:(2n)!zB1 2 B2 4zBn 2nctg = 1 −z −z −...

−z − ...222!4!(2n)!158]§ 14. Гармонический анализBn =589∞2 · (2n)! X 1.(2π)2nk2n(24)k=1Первые числа Bn нетрудно определить, непосредственно разлагая в рядz/2zctg z2 — хотя бы как частное ряда cos z2 на ряд sinz/2[I, 130]:2B1 =1,6B2 =1,30B3 =1,42B4 =1,30B5 =5,66и непосредственно ясно, что числа Bn рациональны. Они называютсячислами Бернулли. С другой стороны, зная их значение, мы можем определить суммы рядов∞X(2π)2n Bn1=2nk2 · (2n)!k=1(n = 1, 2, . . .).Иногда вместо чисел Бернулли рассматривают числа Эйлера, определяемые по формулам:(−1)k−1 Bk1, A2k+1 = 0 (k = 1, 2, 3, . .

.).A0 = 1, A1 = − , A2k =2(2k)!(25)Если мы в равенстве (24) заменим z на ti , то, так какtttt cos 2it e 2 + e− 2ttttctg =·== t+ ,2i2i2i sin 2it2 e 2t − e− 2te −12окажется2ntB1 t2B2 t4tn−1 Bn t=1−+−+..+ ... =.+(−1)et − 122!4!(2n)!= A0 + A1 t + A2 t2 + A3 t3 + . . . (|t| < 2π).Числа Бернулли и Эйлера встречаются часто в самых разнообразныхотделах анализа.158. Периодические функции периода 2l. Часто бываетнужно разлагать в тригонометрический ряд по косинусам и синусам функцию f (x), определяемую не в промежутке (−π, π), а впромежутке (−l, l) или же — в ряд только по косинусам или только590Гл. VI. Ряды Фурье[158по синусам функцию, определенную в промежутке (0, l).

Эта задача приводится к предыдущей с помощью изменения масштаба, т. е.введения вместо x вспомогательной переменной ξ по формулеx=Положимlξ,πξ=lξf (x) = fππx.l(26)= ϕ(ξ).Если функция f (x) была определена в промежутке (−l, l), то функция ϕ(ξ) будет определена в промежутке (−π, π) переменной ξ.Разлагая функцию ϕ(ξ) в ряд Фурье, получаемa0 X+(ak cos kξ + bk sin kξ),2∞k=1где, в силу (26):Z+πZ+π lξ1ϕ(ξ) cos kξdξ =fcos kξdξ =ππ−π−π+lZ1kπxf (x) cosdx,=ll−lZ+l1kπxf (x) sindx.bk =ll1ak =π(27)−lТаким образом теорема Дирихле остается верной и для промежутка (−l, l) с тем, однако, что разложение (6) заменяетсяразложением∞ kπxkπxa0 X+ak cos+ bk sin,(28)2llk=1причем коэффициенты ak и bk определяются по формулам (27).158]§ 14.

Гармонический анализ591То же относится и к разложениям функции f (x), определеннойв промежутке (0, l), только по косинусам или только по синусам;для функции f (x) получаются рядыa0 Xkπx+ak cos,2l∞k=1bk sink=1kπx,lbk =f (x) coskπxdxl(29)0и∞XZl2ak =l2lZlf (x) sinkπxdx.l(30)0П р и м е р. Разложить по синусам функцию f (x), определенную равенством(при 0 < x < 2l ,sin πxlf (x) =0при 2l < x < l.Мы имеем в данном случае2bk =lZll2kπxf (x) sindx =ll0так как в промежуткеZ2sinπxkπxsindx,ll0l,2lподынтегральная функция обращается в 0.Простое вычисление, которое мы предоставляем сделать читателю, даетпри нечетном k > 1,0kbk =(−1) 2 2k −при четном kπ(k2 − 1)1b1 = ,2так чтоsin πxпри 0 < x < 2l ,l∞0nXпри 2l < x < l,4(−1) n1πx2nπxsin−sin= 1(31)22lπ n=1 4n − 1lпри x = 2l ,20при x = 0 или l.592Гл. VI.

Ряды Фурье[159Промежуток (−l, l) может быть заменен любым промежутком(c, c + 2l) длины 2l, как это мы уже упоминали для промежутка длины 2π. При этом сумма ряда (28) дает f (x) в промежутке (c, c + 2l),и при вычислении коэффициентов по формулам (27) промежуток интегрирования (−l, l) надо заменить промежутком (c, c + 2l).159. Средняя квадратичная погрешность. Укажем теперьдругой подход к теории рядов Фурье. Пусть, как и выше, f (x) —заданная функция в промежутке (−π, π).

Составим линейную комбинацию первых (2n + 1) функций семейства (4):nα0 X+(αk cos kx + βk sin kx),2(32)k=1где α0 , α1 , β1 , . . . , αn , βn — некоторые численные коэффициенты. Написанное выражение называется обычно тригонометрическим полиномом n-го порядка. Рассмотрим погрешность, которая получится, если заменить f (x) суммой (32), т. е. рассмотримразностьnα0 X+(αk cos kx + βk sin kx) .∆n (x) = f (x) −2k=1Наибольшим уклонением ∆n суммы (32) от функции f (x) в промежутке (−π, π) мы назовем наибольшее значение |∆n (x)| в этомпромежутке: чем меньше будет ∆n ,тем точнее тригонометрический полином n-го порядка (32) представляет функцию f (x). Однако величину∆n неудобно принять за меру приближения, и не только потому, чтоисследование этой величины затруднительно, но и потому что при решении вопросов о приближенном представлении функции часто более важно добиться уменьшения погрешноРис.

118.сти в «среднем» или «вероятной» погрешности, чем уменьшения «наибольшего уклонения». На рис. 118159]§ 14. Гармонический анализ593изображены различные приближенные кривые (пунктирные) дляданной функции f (x) (сплошная). Наибольшее уклонение кривой(1 ) меньше, чем кривой (2 ), но в общем кривая (1 ) гораздо большеотличается от истинной, чем кривая (2 ); сколько-нибудь значительные уклонения этой последней встречаются в промежутке (−π, π)гораздо реже, чем уклонения кривой (1 ).При применении способа наименьших квадратов для обработки наблюдений за меру точности наблюдений принимается «средняя квадратичная погрешность», которая определяется следующим образом: пусть при измерении величины z получены значения:z 1 , z 2 , .

. . , zN ;погрешность каждого измерения естьz − zk(k = 1, 2, . . . , N );средняя же квадратичная погрешность δn определяется по формулеN1 X(z − zk )2 ,δn2 =Nk=1т. е. δn есть корень квадратный из среднего арифметического квадратов погрешностей.Именно эту среднюю квадратичную погрешность мы и примем за меру степени приближения суммы (32) к нашей функции f (x). Здесь только нужно помнить, что мы имеем делоне с конечным числом значений, а с бесчисленным множествомих, и притом распределенных непрерывно по всему промежутку (−π, π). Таким образом каждая отдельная погрешность будетне что иное, как ∆n (x), и средняя арифметическая их квадратовбудет12πZ+π∆2n (x)dx,−π594Гл.

VI. Ряды Фурье[159а средняя квадратичная погрешность δn выражения (32) найдетсяиз формулыδn21=2πZ+π∆2n (x)dx =−π1=2π2Z+πnα0 X−(αk cos kx + βk sin kx) dx.f (x) −2(33)k=1−πНам остается теперь подобрать постоянные α0 , α1 , β1 , . . . , αn ,βn так, чтобы величина δn2 была наименьшей, т. е. решить обыкновенную задачу на минимум функции δn2 от (2n + 1) переменных.Прежде всего упростим выражение (33) для δn2 . Произведя возвышение в квадрат, мы находим2nα0 X−(αk cos kx + βk sin kx) =f (x) −2k=1= [f (x)]2 − α0 f (x) − 2nX(αk cos kx + βk sin kx)f (x) +k=1nX+α20+4(α2k cos2 kx + βn2 sin2 kx) + σn , (34)k=1где σn означает линейную комбинацию выражений вида:cos lx cos mx,sin lx sin mx (l 6= m)cos lx sin mx.В силу свойства ортогональности тригонометрических функций[154], интеграл от всех этих выражений по промежутку (−π, π) равен нулю, а следовательно, будет равен нулю и интеграл от σn поэтому промежутку.

Интегралы от cos2 kx и sin2 kx, как известно,равны π, и, подставляя выражение (34) в формулу (33), получимδn21=2πZ+πZ+πα02[f (x)] dx −f (x)dx−2π−π−π159]§ 14. Гармонический анализ595Z+πZ+πn 1Xαk−f (x) cos kxdx + βkf (x) sin kxdx +πk=1−π−π+n1X 2α20+(αk + βk2 ).42k=1Принимая во внимание выражения (9) для коэффициентов Фурье функции f (x), можем переписать выражение δn2 в следующемвиде:δn21=2πZ+πnα0 a0 X2−(αk ak + βk bk )+[f (x)] dx −2k=1−π+n1X 2α20+(αk + βk2 ),42k=1или, вычитая и прибавляя суммуn1X 2a20+(ak + b2k ),42k=1можем написатьδn21=2πZ+πn1X 2a21[f (x)]2 dx − 0 −(ak + b2k ) + (α0 − a0 )2 +424k=1−πn+1X[(αk − ak )2 + (βk − bk )2 ].2(35)k=1Наименьшее значение δn2 будет, очевидно, в том случае, когдадва последних неотрицательных слагаемых в правой части обратятся в нуль, т.

е. это будет иметь место, если положить α0 = a0и вообще αk = ak и βk = bk (k = 1, 2, . . .). Итак, средняя квадратичная погрешность приближенного выражения функции f (x)посредством тригонометрического полинома n-го порядка будет596Гл. VI. Ряды Фурье[159наименьшей, если коэффициенты полинома суть коэффициентыФурье функции f (x).Отметим при этом одно важное обстоятельство.

Характеристики

Список файлов книги