1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 83
Текст из файла (страница 83)
В силу указанного обстоятельства поверхности со средней кривизной, равной нулю,называются минимальными поверхностями.Из формулы (84) вытекает также формула дифференцированияинтеграла по переменной замкнутой поверхности по параметру. Допустим, что положение некоторой переменной замкнутой поверхности определяется значением параметра λ и что при λ = λ0 поверхность занимает положение (S), а при λ, близких к λ0 , — положение(S1 ), близкое к (S).
Установим между точками M поверхности (S)151]§ 13. Элементы теории поверхностей563и точками M1 поверхности (S1 ) соответствие по нормалям, как этоописано выше. При этом n будет функцией u, v и λ, которая обращается тождественно относительно u и v в нуль при λ = λ0 , т. е.n(u, v, λ0 ) ≡ 0.(86)Пусть далее f (N ) — некоторая функция точки в пространстве,не зависящая от параметра λ. Величина интегралаZZI(λ) =f (M1 )dS1(87)(S1 )будет зависеть от параметра λ, так как от этого параметра зависитвид поверхности.
Найдем выражение для производной I ′ (λ0 ). Умножая обе части (84) на dudv, можем написать dS1 = (1 − 2nH)dS, ивыражение (87) перепишется так:ZZZZI(λ) =f (M1 )dS −f (M1 )2nHdS.(S)(S)При этом область интегрирования — исходная поверхность(S) — уже не зависит от λ, и мы можем применить обычное правило дифференцирования под знаком интеграла [83].
Точка M1 лежитна поверхности (S1 ), и пусть M — соответствующая ей точка на поверхности (S), так что отрезок M M 1 = n(u, v) нормален к (S), т. е.имеет направление m. Множитель f (M1 ) при дифференцированиипо λ при λ = λ0 дастlimλ→λ0f (M1 ) − f (M )=λ − λ0∂f (M ) ∂n f (M1 ) − f (M ) M M 1= lim·,=·λ→λ0λ − λ0∂m∂λ λ=λ0MM1где m — направление нормали m. Принимая во внимание, что мно∂nжитель n обращается в нуль при λ = λ0 и обозначая через ∂λ0значение производной при λ = λ0 , получимZZZZ∂f (M ) ∂n∂n′·dS −dS.I (λ0 ) =f (M )2H(88)∂m∂λ0∂λ0(S)(S)564Гл.
V. Основы дифференциальной геометрии[152Пусть уравнение переменной поверхности (S1 ) написано в неявной формеϕ(M1 ; λ) = 0 или ϕ(x, y, z, λ) = 0.Дифференцируя по λ как непосредственно, так и через посредство M1 , так же, как это мы делали с функцией f (M1 ), получимпри λ = λ0∂ϕ(M1 , λ0 ) ∂ϕ(M1 , λ0 ) ∂n·+= 0.∂λ0∂m∂λ0∂nи подставляя в формулу (88), получимОпределяя отсюда ∂λ0следующее выражение для производной:′I (λ0 ) = −ZZ∂f∂m(S)∂ϕ∂λ0∂ϕ∂mdS + 2ZZ(S)fH∂ϕ∂λ0∂ϕ∂mdS.(90)Если в интеграле (87) и подынтегральная функция f содержитпараметр λ, то так же, как и в [132], к правой части (90) надодобавить слагаемое видаZZ∂fdS.∂λ0(S)152.
Огибающая семейства поверхностей и кривых. В [13]при исследовании особых решений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка мы ввели понятие об огибающейсемейства плоских кривых. Точно так же исследование решенийуравнений с частными производными приводит к понятию огибающей семейства поверхностей. Выясним в кратких чертах это понятие.Пусть имеется семейство поверхностей с одним параметромF (x, y, z, a) = 0.(91)Фиксируя численное значение a, получим определенную поверхность семейства. Рассмотрим новую поверхность (S), которая имеет152]§ 13. Элементы теории поверхностей565то же уравнение (91), но с переменным a, получаемым из уравнения∂F (x, y, z, a)= 0.∂a(92)Можно сказать, что уравнение (S) получится исключением a изуравнений (91) и (92). Если фиксировать значение a = a0 , то, с одной стороны, получится определенная поверхность (S0 ) из семейства (91), а с другой стороны, подставляя a = a0 в уравнения (91)и (92), получим некоторую линию (l0 ) на поверхности (S), так чтоповерхности (S) и (S0 ) будут иметь общую линию (l0 ).
Покажем,что они будут иметь общую касательную плоскость вдоль (l0 ).Для поверхности (91), в силу постоянства a, проекции dx, dy, dzбесконечно малого перемещения вдоль поверхности должны удовлетворять соотношению∂F∂F∂Fdx +dy +dz = 0.∂x∂y∂zНа поверхности (S) a — переменно, и мы должны написать∂F∂F∂F∂Fdx +dy +dz +da = 0.∂x∂y∂z∂aНо, в силу (92), это соотношение совпадает с предыдущим, т. е.на (S0 ) и (S) в общих точках бесконечно малое перемещение перпендикулярно одному и тому же направлению, у которого направляющие косинусы пропорциональны:∂F,∂x∂F,∂y∂F,∂zоткуда и следует, что (S0 ) и (S) касаются вдоль (l0 ).
Таким образом исключая a из уравнений (91) и (92), получим, вообще говоря,уравнение огибающей поверхности семейства (91), причем касаниеимеет место вдоль некоторой линии.П р и м е р. Пусть имеется семейство сфер с центром на оси OZ и данным радиусом rx2 + y 2 + (z − a)2 = r 2 .566Гл.
V. Основы дифференциальной геометрии[152Дифференцируем по a:−2(z − a) = 0.Исключая a, получим уравнение кругового цилиндраx2 + y 2 = r 2 ,который касается каждой из вышеуказанных сфер вдоль окружности.Рассмотрим теперь семейство поверхностей, содержащее два параметра:F (x, y, z, a, b) = 0.(93)Исключая a и b из написанного уравнения и уравнений∂F (x, y, z, a, b)= 0,∂a∂F (x, y, z, a, b)= 0,∂b(94)получим, как нетрудно показать, поверхность (S), которая касается поверхностей семейства (93).
Но в данном случае касание будетиметь место не вдоль линии, но лишь в некоторой точке. Действительно, фиксируя значения a = a0 и b = b0 , мы, с одной стороны,получим определенную поверхность (S0 ) из семейства (93), а с другой стороны, подставляя a = a0 и b = b0 в три уравнения (93) и(94), получим, вообще говоря, некоторую точку M0 на поверхности(S).
В этой точке, при соблюдении некоторых условий, (S) касается(S0 ).П р и м е р. Пусть имеется семейство сфер с центром на плоскостиXOY и заданным радиусом r:(x − a)2 + (y − b)2 + z 2 = r 2 .Дифференцируем по a и b:−2(x − a) = 0,−2(y − b) = 0;исключая a и b, получим уравнение z 2 = r 2 , т. е. огибающая будет состоять из двух параллельных плоскостей z = ±r, которые касаются каждойиз вышеуказанных сфер в некоторой точке.По поводу нахождения огибающей семейства поверхностей можно сделать то же замечание, что и по поводу нахождения огибающей семейства кривых [13], а именно, например, исключение aиз уравнений (91) и (92) может привести не только к огибающей152]§ 13.
Элементы теории поверхностей567поверхности, но и к геометрическому месту особых точек поверхностей семейства (91), т. е. таких точек, в которых поверхность неимеет касательной плоскости. Если левая часть уравнения (91) естьнепрерывная функция с непрерывными производными первого порядка, то всякая поверхность, которая во всех своих точках касается различных поверхностей семейства (91), может быть получена указанным выше приемом исключения a из уравнений (91) и(92). Вообще в этом и следующем параграфах мы не приводим доказательств и не уточняем условий, ограничиваясь приведением вобщих чертах основных фактов.Рассмотрим теперь семейство линий в пространстве, зависящееот одного параметра:F1 (x, y, z, a) = 0,F2 (x, y, z, a) = 0.(95)Будем искать огибающую этого семейства, т.
е. такую линию Γ, которая во всех своих точках касается различных кривых семейства(95). Мы можем считать, что Γ также определяется уравнениями(95) [13], в которых только a не есть постоянная, но переменная.Проекция dx, dy, dz на оси бесконечно малого перемещения вдолькривых (95) должны удовлетворять уравнениям:∂F1dx +∂x∂F2dx +∂x∂F1dy +∂y∂F2dy +∂y∂F1dz = 0,∂z∂F2dz = 0.∂zСовершенно так же проекции δx, δy, δz бесконечно малого перемещения вдоль Γ должны удовлетворять уравнениям∂F1δx +∂x∂F2δx +∂x∂F1δy +∂y∂F2δy +∂y∂F1δz +∂z∂F2δz +∂z∂F1δa = 0,∂a∂F2δa = 0.∂aУсловия касания сводятся к пропорциональности этих проекций,т. е.δyδzδx==,dxdydz568Гл. V.
Основы дифференциальной геометрии[153а эти условия, в силу предыдущих соотношений, равносильны двум∂F21уравнениям ∂F∂a δa = 0 и ∂a δa = 0, или, считая δa 6= 0, т. е. a — непостоянной, получим два уравнения∂F1 (x, y, z, a)= 0,∂a∂F2 (x, y, z, a)= 0.∂a(96)Четыре уравнения (95) и (96) не определяют, вообще говоря, линии,т. е. семейство линий в пространстве не имеет, как правило, огибающей. Но если эти четыре уравнения сводятся к трем, т.
е. одноиз них есть следствие остальных, то из этих трех уравнений координаты (x, y, z) определяются как функции параметра a, т. е. мыполучаем линию в пространстве, которая и будет огибающей [илигеометрическим местом особых точек линий (95)]. В следующемномере мы будем иметь пример семейства прямых в пространстве,имеющих огибающую.153. Развертывающиеся поверхности. В качестве частногослучая рассмотрим семейство плоскостей с одним параметром a:A(a)x + B(a)y + C(a)z + D(a) = 0.(97)Огибающая поверхность (S) получится исключением a из двухуравнений)A(a)x + B(a)y + C(a)z + D(a) = 0,(98)A′ (a)x + B ′ (a)y + C ′ (a)z + D′ (a) = 0.При фиксированном a эти два уравнения дают некоторую прямую (la ), и поверхность (S) есть геометрическое место этих прямых,т.
е. обязательно линейчатая поверхность. Дальше мы увидим, чтоне всякая линейчатая поверхность может быть получена указаннымвыше путем. Вдоль прямой (la ) поверхность (S) касается плоскости (97), т. е. вдоль прямолинейной образующей (la ) поверхность(S) имеет одну и ту же касательную плоскость. Таким образомна (S) семейство касательных плоскостей зависит только от одногопараметра a, характеризующего образующую (la ). В общем случае семейство касательных плоскостей к поверхности зависит от153]§ 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
