1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 78

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 78)

. . , nx , . . . — составляющие векторов t и n. Но, как мы видели выше, tx , ty , tz пропорциональны dx, dy, dz, а nx , ny , nz —2пропорциональны составляющим вектора N, которые равны ddsx2 ,d2 yds22и ddsz2 , а эти последние в свою очередь, в силу (24), пропорциональны разностямd2 xds − d2 sdx,d2 yds − d2 sdy,d2 zds − d2 sdz.(30)Заменяя в формулах (29) tx , ty , tz на dx, dy, dz; nx , ny , nz — разностями (30) и производя сокращения, убедимся в том, что направляющие косинусы бинормали пропорциональны выражениямA = dyd2 z − dzd2 y,B = dzd2 x − dxd2 z,(31)22 C = dxd y − dyd x,которые мы ввели выше [136].

Обозначая через (x, y, z) координаты переменной точки M кривой (L), можем написать уравнение139]§ 12. Кривые на плоскости и в пространстве531соприкасающейся плоскости в видеA(X − x) + B(Y − y) + C(Z − z) = 0.В тех точках, где длина |N| = 0, т. е. ρ = ∞, все три величины(31) равны нулю, как это следует из (27), и соприкасающаяся плоскость не определена. Не определено и направление главной нормалии бинормали.139. Винтовые линии. Пусть имеется цилиндр с образующими,параллельными оси OZ, и пусть (l) есть его направляющая, лежащая вплоскости XOY (рис.

105).Введем в рассмотрение длину дуги σ кривой (l), отсчитываемую от точки A пересечения этой кривой с осью OXв определенном направлении,и положим, что уравнение направляющей будетx = ϕ(σ),y = ψ(σ).(32)Откладываем на (l) некоторую дугу AN и строим отрезок N M = kσ, параллельРис. 105.ный оси OZ, причем k естьопределенный численный коэффициент (ход винта). Геометрическое число точек M дает винтовую линию (L), начерченную на нашем цилиндре.Параметрические уравнения этой линии будут очевидноx = ϕ(σ),y = ψ(σ),z = kσ.(33)Пусть s — длина дуги кривой (L), отсчитываемая от точки A. Имеем′′ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = [ϕ 2 (σ) + ψ 2 (σ) + k2 ]dσ 2 .Но ϕ′ (σ) и ψ ′ (σ) равны косинусу и синусу угла, образованного касатель′′ной к кривой (l) с осью OX [I, 70], а потому ϕ 2 (σ) + ψ 2 (σ) = 1, ипредыдущую формулу можно переписать в видеpds = 1 + k2 dσ,532Гл.

V. Основы дифференциальной геометрии[139откудаs=p1 + k2 σ.Определим теперь косинус угла, образованного касательной к (L) с осьюOZ:γ=dz dσkdz=·= √;dsdσ ds1 + k2это дает первое свойство винтовой линии: касательные к винтовой линии образуют постоянный угол с некоторым неизменным направлением.Обратимся к третьей из формул (28). В данном случае она дает0=γ1ρилиγ1 = 0,и, следовательно, главная нормаль винтовой линии перпендикулярна коси OZ, т. е. к образующей цилиндра.

Но она, с другой стороны, перпендикулярна к касательной к винтовой линии. Образующая цилиндраи касательная к винтовой линии определяют, как нетрудно видеть, касательную плоскость к цилиндру во взятой точке на винтовой линии, ииз предыдущего вытекает, что главная нормаль винтовой линии перпендикулярна к этой касательной плоскости.

Мы получаем таким образомвторое свойство винтовой линии: главная нормаль к винтовой линииво всех ее точках совпадает с нормалью к цилиндру, на котором этавинтовая линия начерчена.Теперь обратимся к косинусам γ, γ1 , γ2 — углов, образованных осьюOZ с направлениями подвижного триэдра винтовой линии. Принимая во внимание, что γ 2 + γ12 + γ22 = 1 и что γ и γ1 — постоянные, как мы видели уже, мы можем заключить, что и γ2 есть величина постоянная. Третья из формул (282 ) дает, в нашем случае,− γρ − γτ2 = 0 откуда мы видим, что отношение τρ есть величина постоянная; итак, имеем третье свойство винтовой линии: вдоль винтовой линии отношение радиуса кривизны к радиусу кручения естьвеличина постоянная.

Обозначим буквой r радиус кривизны плоскойкривой (l). Принимая во внимание, что квадрат кривизны равен суммеквадратов вторых производных от координат по длине дуги, мы можемнаписать′′′′1= ϕ 2 (σ) + ψ 2 (σ)r2139]§ 12. Кривые на плоскости и в пространстве533и1=ρ2d2 xds22+d2 yds2 2 2d z+=ds2" 2 2 2 2 2 #d yd z1d2 x++=,dσ 2dσ 2dσ 2(1 + k2 )22откуда′′′′ϕ 2 (σ)ψ 2 (σ)11=+=,222ρ(1 + k )(1 + k2 )2(1 + k2 )2 r 2или ρ = (1 + k2 )r, т. е. радиус кривизны винтовой линии отличается отрадиуса кривизны направляющей в соответствующей точке лишь постоянным множителем. Если цилиндр круговой, т.

е. направляющая (l) естьокружность, то r — постоянно, следовательно, и ρ — постоянно, но тогда, согласно третьему свойству, и τ тоже есть постоянная величина, т. е.винтовая линия на круговом цилиндре имеет постоянную кривизну ипостоянное кручение.В заключение выясним еще одно важное свойство винтовых линий.Оно заключается в том, что если взять на цилиндре две точки, то кратчайшее расстояние между этими двумя точками на цилиндре будет даваться винтовой линией, проходящей через эти две точки. В этом отношении винтовые линии на цилиндре совершенно аналогичны прямымлиниям на плоскости.

Указанное свойство обычно выражают, говоря,что винтовые линии суть геодезические линии цилиндра. Вообще геодезическими линиями на заданной поверхности называют линии, дающиекратчайшее расстояние между двумя точками поверхности.Если мы развернем цилиндр на плоскость XOZ, поворачивая еговокруг образующей, проходящей через точку A, то, в силу того, чтоотношение дуги AN к отрезку N M сохраняет постоянное значение k1 ,винтовая линия на плоскости окажется прямой линией. При указанной развертке цилиндра на плоскость длины сохраняются, и упомянутое выше свойство винтовой линии — давать кратчайшее расстояние нацилиндре — становится очевидным. Заметим, что это свойство стоит внепосредственной связи со вторым свойством винтовой линии, т. е. с темфактом, что главные нормали винтовой линии совпадают с нормалямик цилиндру.

В геометрии вообще доказывают, что главные нормали кгеодезической линии на любой поверхности совпадают с нормалями кэтой поверхности.534Гл. V. Основы дифференциальной геометрии[140140. Поле единичных векторов. Пусть t — поле единичных векторов, т. е. в каждой точке пространства задан единичный вектор t. Выведем простую и важную формулу для вектора кривизны N векторныхлиний этого поля. Вводя координаты (x, y, z) и длину дуги s векторнойлинии, мы можем написатьdx= tx ,dsdy= ty ,dsdz= tz .dsОпределим составляющую Nx вектора кривизныNx =∂tx dx∂tx dy∂tx dzdtx=·+·+·ds∂x ds∂y ds∂z dsили∂tx∂tx∂txtx +ty +tz .∂x∂y∂zДифференцируя тождествоNx =t2x + t2y + t2z = 1по x, получим∂ty∂tz∂tx+ ty+ tz= 0.∂x∂x∂xВычитая эту сумму из полученного выше выражения Nx , можем переписать его в виде∂ty∂tz∂tx∂tx−tz −−ty ,Nx =∂z∂x∂x∂ytxт. е. Nx = (rott × t)x и то же самое, очевидно, получится и для двух других составляющих, что и дает искомую формулу для вектора кривизнывекторных линий:N = rott × t.(34)Для того, чтобы линии были прямыми, необходимо и достаточно,чтобы длина N, т.

е. кривизна 1ρ , была равна нулю [137]. Отсюда видно,что для того, чтобы векторные линии единичного поля t были прямые,необходимо и достаточно, чтобыrott × t = 0.(35)Кроме того мы видели, что для существования семейства поверхностей, ортогональных к векторным линиям, необходимо и достаточно [122]rott · t = 0.(36)141]§ 13. Элементы теории поверхностей535Совместное выполнение условий (35) и (36) возможно лишь в случаеrott = 0, ибо если этот вектор отличен от нуля, то условие (35) равносильно параллельности векторов rott и t, а условие (36) равносильно их перпендикулярности.

Отсюда следует, что векторные линии поляединичных векторов t будут нормалями к некоторому семейству поверхностей лишь в том случае, когда rott = 0. Это предложение играетважную роль при изложении начал геометрической оптики.§ 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ141. Параметрические уравнения поверхности. До сихпор мы рассматривали уравнение поверхности в пространстве скоординатными осями X, Y , Z в явной форме z = f (x, y) или внеявной формеF (x, y, z) = 0.(37)Можно написать уравнения поверхности в параметрическойформе, выражая координаты ее точек в виде функций двух независимых переменных параметров u и v:x = ϕ(u, v),y = ψ(u, v),z = ω(u, v).(38)Мы будем предполагать, что эти функции однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные до второго порядка внекоторой области изменения параметров (u, v).Если подставить эти выражения координат u и v в левую частьуравнения (37), то мы должны получить тождество относительноu и v.

Дифференцируя это тождество по независимым переменнымu и v, будем иметь∂F ∂ϕ ∂F ∂ψ ∂F ∂ω·+·+·= 0,∂x ∂u∂y ∂u∂z ∂u∂F ∂ϕ ∂F ∂ψ ∂F ∂ω·+·+·= 0.∂x ∂v∂y ∂v∂z ∂vРассматривая эти уравнения как два однородных уравнения от∂F ∂Fносительно ∂F∂x , ∂y , ∂z и применяя алгебраическую лемму, упомянутую в [116], получим∂ψ ∂ω ∂ω ∂ψ∂F∂ω ∂ϕ ∂ϕ ∂ω∂F=k·−·,=k·−·,∂x∂u ∂v∂u ∂v∂y∂u ∂v∂u ∂v536Гл. V. Основы дифференциальной геометрии∂F=k∂z∂ϕ ∂ψ ∂ψ ∂ϕ·−·∂u ∂v∂u ∂v[141,где k — некоторый коэффициент пропорциональности.Мы считаем, что множитель k по крайней мере одна из разностей, стоящих в правых частях последних формул, отличны отнуля.Обозначим для краткости написанные три разности следующимобразом:d(y, z)∂ω ∂ϕ ∂ϕ ∂ωd(z, x)∂ψ ∂ω ∂ω ∂ψ·−·=,·−·=,∂u ∂v∂u ∂vd(u, v)∂u ∂v∂u ∂vd(u, v)∂ϕ ∂ψ∂ψ ∂ϕd(x, y)·−·=.∂u ∂v∂u ∂vd(u, v)Как известно, уравнение касательной плоскости к нашей поверхности в некоторой ее точке (x, y, z) можно написать в виде [I, 160]∂F∂F∂F(X − x) +(Y − y) +(Z − z) = 0,∂x∂y∂z∂F ∂Fили, заменяя ∂F∂x , ∂y , ∂z пропорциональными величинами, можемпереписать уравнение касательной плоскости так:d(y, z)d(z, x)d(x, y)(X − x) +(Y − y) +(Z − z) = 0.d(u, v)d(u, v)d(u, v)(39)Коэффициенты в этом уравнении, как известно, пропорциональны направляющим косинусам нормали к поверхности.Положение переменной точки M на поверхности характеризуется значениями параметров u и v, и эти параметры называютсяобычно координатами точек поверхности или координатными параметрами.Придавая параметрам u и v постоянные значения, получим двасемейства линий на поверхности, которые мы назовем координатными линиями поверхности: координатные линии u = C1 , вдолькоторых меняется только v, и координатные линии v = C2 , вдолькоторых меняются только u.

Эти два семейства координатных линий дают координатную сетку на поверхности.141]§ 13. Элементы теории поверхностей537В качестве примера рассмотрим сферу с центром в начале координат и радиусом R. Параметрические уравнения такой сферымогут быть написаны в видеx = R sin u cos v,y = R sin u sin v,z = R cos u.Координатные линии u = C1 и v = C2 представляют собой вданном случае, очевидно, параллели и меридианы нашей сферы.Отвлекаясь от координатных осей, мы можем охарактеризоватьповерхность переменным радиусом-вектором r(u, v), идущим из постоянной точки O в переменную точку M нашей поверхности. Частные производные от этого радиуса-вектора по параметрам r′u и r′vдадут, очевидно, векторы, направленные по касательным к координатным линиям.

Составляющие этих векторов по осям OX, OY ,OZ будут, согласно (38), ϕ′u ψu′ , ωu′ и ϕ′v ψv′ , ωv′ , и отсюда видно,что коэффициенты в уравнении касательной плоскости (39) сутьсоставляющие векторного произведения r′u ×r′v . Это векторное произведение есть вектор, перпендикулярный к касательным r′u и r′v ,т. е.

вектор, направленный по нормали поверхности. Квадрат длиныэтого вектора, выражается, очевидно, скалярным произведениемвектора r′u × r′v на самого себя, т. е. проще говоря, квадратом этоговектора4. В дальнейшем будет играть существенную роль единичный вектор нормали к поверхности, который мы можем, очевидно,написать в видеr′ × r′v.(40)m= p u(r′u × r′v )2Изменяя порядок сомножителей в написанном векторном произведении, мы получим для вектора (40) противоположное направление. Мы будем в дальнейшем определенным образом фиксироватьпорядок множителей, т.

Характеристики

Список файлов книги