1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 77

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 77)

Действительно, выберем какоенибудь направление за направление оси X и пусть ϕ есть угол, образованный касательной кривой с этой осью. Как известно, ρ1 = ± dϕds ,и уравнение (12) даетdϕ= ±f (s),dsоткудаZsϕ = ± f (s)ds + C.0Можно считать, что направление оси OX совпадает с направлениемкасательной при s = 0, так что в последней формуле можно считатьC = 0, т. е. мы получаем выражение для угла ϕ:ϕ = ±F (s),гдеF (s) =Zsf (s)ds.0Далее мы знаем, что [I, 70]dx= cos ϕ,dsdy= sin ϕ,dsоткуда, в силу предыдущего равенства,x=Zs0cos[F (s)]ds + C1 ,y=±Zs0sin[F (s)]ds + C2 .135]§ 12. Кривые на плоскости и в пространстве523Помещая начало координат в точку кривой, для которой s = 0,мы должны будем считать C1 = C2 = 0 и получим вполне определенную кривуюx=Zscos[F (s)]ds,0y=±Zssin[F (s)]ds.(121 )0Двойной знак дает только симметрию относительно оси OX.Мы показали таким образом, что уравнению (12) может соответствовать определенная в указанном выше смысле кривая и чтопри выбранной системе координат уравнения (121 ) должны даватьпараметрическое значение этой кривой.

Нетрудно проверить, что,действительно, для кривой, определяемой уравнениями (121 ), кривизна имеет значение, определяемое формулой (12).Уравнение (12) называется естественным уравнением кривой втом смысле, что уравнение это не связано ни с каким случайнымвыбором осей координат и ему соответствует одна вполне определенная кривая (с точностью до симметрии).П р и м е р ы. 1. Если уравнение (12) имеет вид ρ1 = C, т. е. радиус кривизны ρ есть величина постоянная, то, как мы знаем, такому уравнениюудовлетворяет окружность [I, 71]. Из предыдущего следует, что окружность есть единственная кривая с постоянным радиусом кривизны.2.

Положим, что кривизна ρ1 пропорциональна длине дуги1= 2as,ρгде 2a — положительный коэффициент пропорциональности. Предыдущие вычисления дадут в данном случаеx=Zs2cos(as )ds,y=0Zssin(as2 )ds.0В силу сходимости интегралов [86]Z∞02cos(as )ds,Z∞0sin(as2 )ds(13)524Гл. V. Основы дифференциальной геометрии[136можно утверждать, что при беспредельном возрастании s криваябудет стремиться к точке плоскости с координатами, равнымизначениям вышенаписанных интегралов, причем она будет спиралеобразно закручиваться вокруг этой точки (рис. 103). Если вформулах (13) будем придавать sи отрицательные значения, то получим часть кривой, содержащуюся в третьем координатном угле.Полученная здесь кривая называется спиралью Корню. Она встре-Рис. 103.чается в оптике.136.

Основные элементы кривой в пространстве. Кривая(L) в пространстве может быть определена заданием переменного радиуса-вектора r(t) из начала в переменную точку кривой M(рис. 104). Принимая за параметр tдлину дуги кривой s и дифференцируяr по s, получим единичный вектор касательной к кривой [119]dr= t.ds(14)Производная от t по s называетсявектором кривизны:Рис. 104.dt= N,ds(15)и длина этого вектора кривизны дает кривизну кривой 1ρ , а обратная величина ρ называется радиусом кривизны. Как и в случаеплоской кривой, вектор N перпендикулярен к t, и направление вектора N называется направлением главной нормали кривой. Вводяединичный вектор главной нормали n, можно написатьN=1n.ρ(16)136]§ 12. Кривые на плоскости и в пространстве525Введем еще один единичный вектор, перпендикулярный к t и n:b = t × n.(17)Этот вектор называется единичным вектором бинормали.Три единичных вектора t, n и b, имеющих ту же ориентировку,что и координатные оси, составляют, как говорят, переменный триэдр, связанный с кривой (L).

Если кривая плоская, то векторы t и nнаходятся в плоскости кривой и, следовательно, единичный векторбинормали b есть постоянный вектор длины единица, перпендикулярный к плоскости кривой. Для кривой неплоской производная dbdsхарактеризует отклонение кривой от плоской формы и называется вектором кручения. Докажем, что вектор кручения параллеленглавной нормали. Согласно формуле (17)dndb= N×n+t×.dsdsНо векторы N и n совпадают по направлению, и, следовательно,их векторное произведение равно нулю, т. е.dndb=t×,dsds(18)откуда вытекает перпендикулярность векторов dbds и t. С другойстороны, как всегда, производная единичного вектора dbds перпендикулярна к самому вектору b. Таким образом, вектор dbds , перпендикулярный векторам t и b, будет действительно параллеленвектору n, и мы можем записать1db= n,dsτ(19)где численный коэффициент τ1 называется кручением кривой, а обратная величина τ — радиусом кручения, или радиусом второй кривизны.

Заметим, что величина τ1 может быть как положительной,так и отрицательной, в противоположность кривизне 1ρ , котораявсегда не отрицательна. Существование вектора касательной, вектора кривизны и вектора кручения связано, конечно, с существованием производных, через которые они выражаются.526Гл. V. Основы дифференциальной геометрии[136Выведем теперь формулы для вычисления кривизны и кручения. Вводя координатные оси OX, OY , OZ и соответствующие имединичные векторы i, j и k, можно написатьdydzdxi+j + k,dsdsdsd2 xd2 yd2 zN = 2 i + 2 j + 2 k,dsdsdsr = xi + yj + zk,t=откуда для длины вектора N получим 2 2 2 2 2 2d xd yd z1=++.ρ2ds2ds2ds2Из формулы (19) вытекает, что кручениескалярное произведение1τ(20)можно выразить какdb1=·nτdsили, в силу (18),1=τdnt×· n.dsЗаменяя n его выражением из формулы (16)n = ρN,получим1=τdρd(ρN)dNt×· ρN = t ×N+ρ· ρN =dsdsdsdρdN= ρ (t × N) · N + ρ2 · t ×· N.dsdsНо векторное произведение t × N перпендикулярно вектору N, апотому первое из слагаемых в последнем выражении равно нулю,и мы получаемdN12= ρ t×· N,τds136]§ 12.

Кривые на плоскости и в пространстве527или, переставляя множители в векторном произведении,1dN= −ρ2× t · N.τdsСовершая круговую перестановку векторов и пользуясь формулами (14) и (15), получим окончательно 3dr d2 rd r1= −ρ2× 2 · 3.(21)τds dsdsЗаметим, что коэффициент при (−ρ2 ) есть объем параллелепиdr d2 r d3 r, ds2 , ds3 [117].педа, построенного на векторах dsВозвратимся к формуле (20) для кривизны. В ней предполагается, что координаты x, y, z выражены как функции длины дуги.Преобразуем теперь формулу (20) к новому виду, годному для любого параметрического задания кривой.

Для этого нам надо будетвыразить производную от координат по длине дуги через дифференциалы координат. Дифференцируя формулуds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 ,(22)dsd2 s = dxd2 x + dyd2 y + dzd2 z.(23)получимКроме того, имеем [I, 74]d2 xds − d2 sdxd2 yd2 yds − d2 sdyd2 x=,=,232dsdsdsds3d2 zd2 zds − d2 sdz=.ds2ds3Подставляя это в формулу (20), будем иметь в силу (22)(24)1=ρ2ds2 [(d2 x)2 +(d2 y)2 +(d2 z)2 ]−2dsd2 s(dxd2 x+dyd2 y+dzd2 z)+(d2 s)2 ds2=ds6528Гл. V.

Основы дифференциальной геометрии[136или, в силу (22) и (23),1=ρ2(dx2 +dy 2 +dz 2 )[(d2 x)2 +(d2 y)2 +(d2 z)2 ]−(dxd2 x+dyd2 y+dzd2 z)2=.ds6(25)Вспомним теперь элементарное алгебраическое тождество,необходимое в дальнейшем [116]:(a2 + b2 + c2 )(a21 + b21 + c21 ) − (aa1 + bb1 + cc1 )2 == (bc1 − cb1 )2 + (ca1 − ac1 )2 + (ab1 − ba1 )2 . (26)Применяя это тождество к числителю в выражении (25), можемнаписать окончательную формулу для квадрата кривизныA2 + B 2 + C 21=,2ρ(dx2 + dy 2 + dz 2 )3(27)гдеA = dyd2 z − dzd2 y,B = dzd2 x − dxd2 z,C = dxd2 y − dyd2 x.Если кривая (L) есть траектория движущейся точки, то векторскорости определится из формулыv=dsdr=t.dtdyДифференцируя еще раз по времени, получим вектор ускоренияw=d2 sds dtdv= 2t+· ,dtdtdt dtили, в силу (15) и (16),ds ds dtd2 sv2d2 s= 2t+ nw= 2t+dtdt dt dsdtρdsv=,dt137]§ 12.

Кривые на плоскости и в пространстве529откуда видно, что вектор ускорения имеет составляющую по каса22тельной, равную ddt2s , и по главной нормали — равную vρ , а составляющая по бинормали равна нулю.137. Формулы Френе. Введем обозначение для направляющих косинусов осей подвижного триэдра относительно неподвижных координатных осей, указанное в прилагаемой таблице.Формулы Френе дают выраженияXYZпроизводной от написанных девяти наtαβγправляющих косинусов по s.nα1β1γ1Составляющие единичного вектора tbα2β2γ2суть α, β и γ, и формула1dt=N= ndsρдает первые три формулы Френе:α1dα=,dsρdββ1=,dsρdγγ1= .dsρ(28)Точно так же формула (19) приводит к следующим трем формуламФрене:α1dβ2β1dγ2γ1dα2=,=,= .(281 )dsτdsτdsτРассмотрение подвижного триэдра дает непосредственно n =−t × b, и, дифференцируя по s, получим1111dn= − n × b − t × n = − t − b.dsρτρτЭто дает три последние формулы Френе:α α2dα1=− −,dsρτdβ1ββ2=− − ,dsρτdγ1γγ2=− − .dsρτ(282 )Пользуясь формулами (28), нетрудно показать, что если вдольлинии (L) кривизна ρ1 равна нулю, то это есть прямая линия.Действительно, тождество 1ρ = 0 даетdβdγdα=== 0,dsdsds530Гл.

V. Основы дифференциальной геометрии[138откуда видно, что α, β и γ суть постоянные. Но, как известно [I,160], направляющие косинусы касательной α, β и γ равны соответdydzственно dxds , ds и ds , и раз эти производные — постоянные, то самикоординаты x, y, z суть полиномы первой степени от s, т. е. линияесть действительно прямая.Точно так же нетрудно показать, что если вдоль кривой кручение равно нулю, то эта кривая есть плоская кривая.138. Соприкасающаяся поверхность. Плоскость, определяема векторам и t и n, называется соприкасающейся плоскостьюкривой. Нормалью к этой плоскости служит вектор b. Найдем выражения для направляющих косинусов этого вектора.Ввиду того, что это — единичный вектор, его направляющие косинусы равны его составляющим bx , by , bz . Из формул (17) вытекаетα2 = bx = ty nz − tz ny ,β2 = b y = t z n x − t x n z ,(29)γ2 = bz = tx ny − ty nx ,где tx , .

Характеристики

Список файлов книги