1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 74
Текст из файла (страница 74)
КоэффициентРис. 93.при этом произведении будет∂ψ1 ∂ψ1∂ω1 ∂ω1∂ϕ1 ∂ψ1++.2∂q1 ∂q2∂q1 ∂q2∂q1 ∂q2(101)Элемент объема в новых координатах (рис. 93) будет ограничентремя парами координатных поверхностей. Из его основной вершины A, которой соответствуют значения q1 , q2 , q3 новых координат,500Гл. IV.
Векторный анализ и теория поля[131будут выходить три ребра: AB, AC и AD. Вдоль ребра AB меняется только q1 , вдоль AC — только q2 и вдоль AD — только q3 .Рассмотрим первое и второе ребра. На первом ребре функции (94)суть функции только q1 , и направляющие косинусы касательной кэтому ребру пропорциональны [I, 160]∂ϕ1,∂q1∂ψ1,∂q1∂ω1.∂q1Совершенно так же направляющие косинусы касательной ковторому ребру пропорциональны∂ϕ1,∂q2∂ψ1,∂q2∂ω1.∂q2Равенство нулю выражения (101), таким образом, равносильно требованию перпендикулярности рассматриваемых двух ребер.Если потребовать, чтобы в выражении (100) обратились в нуль икоэффициенты при dq1 dq3 и dq2 dq3 , то это будет равносильно требования, чтобы все три ребра элементарного объема в новых координатах были взаимно перпендикулярны. Таким образом, необходимым и достаточным условием ортогональности системы криволинейных координат является то, чтобы выражение ds2 содержало только члены с квадратами дифференциалов, т.
е. члены сdq12 , dq22 и dq32 .Будем считать в дальнейшем, что криволинейные координатыортогональны.При этом получим для ds2 выражение вида∗ :ds2 = H12 dq12 + H22 dq22 + H32 dq32 ,где2 ++,=2 2 2 ∂ψ1∂ω1∂ϕ12H2 =++,∂q2∂q2∂q22 2 2 ∂ψ1∂ω1∂ϕ12H3 =++.∂q3∂q3∂q3H12∗∂ϕ1∂q12∂ψ1∂q12(102)∂ω1∂q1(103)Коэффициенты Hi (i = 1, 2, 3) называются коэффициентами Ламе.131]§ 11.
Теория поля501Принимая во внимание, что вдоль каждого из ребер элементарногообъема меняется только одна из переменных, мы получим, согласноформуле (102), длины этих реберds1 = H1 dq1 ,ds2 = H2 dq2 ,ds3 = H3 dq3 ,(104)и элемент объема в новых координатах будет выражаться формулойdv = ds1 ds2 ds3 = H1 H2 H3 dq1 dq2 dq3 .(105)Положим теперь, что в пространстве имеется векторное поле A.Расходимость этого поля в некоторой точке M определяется, какизвестно [121], по формулеRRAn dSdivA =lim(S1 )(v1 )→Mv1,где (S1 ) — поверхность, ограничивающая некоторый объем (v1 ), содержащий точку M и беспредельно сжимающийся к этой точке, иv1 — величина этого объема. Применим это к случают элементарного объема в криволинейных координатах q1 , q2 , q3 и определимпоток поля через поверхность этого элементарного объема.
Начнемс определения потока через правую и левую грани. В основной вершине A криволинейные координаты имеют значения q1 , q2 , q3 , а направой грани надо будет заменить q1 на (q1 + dq1 ). Кроме того, направой грани направление внешней нормали совпадает с направлением координатной линии q1 , а на левой — эти направления противоположны. Таким образом на правой грани слагающая An повнешней нормали (n) будет Aq1 , а на левой грани это будет (−Aq1 ),где Aq1 — проекция вектора A на касательную к координатной линии q1 или, как говорят обычно, на координатную линию q1RR.
Ввидумалости граней заменяем поверхностный интеграл по нимAn dSпросто произведением подынтегральной функции на площадь соответствующей грани и таким образом получим для потока черезправую и левую грани выражениеAq1 ds2 ds3 |q1 +dq1и− Aq1 ds2 ds3 |q1 ,502Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[131а поток через обе грани будетAq1 ds2 ds3 |q1 +dq1 − Aq1 ds2 ds3 |q1или, согласно формулам (104),Aq1 H2 H3 dq2 dq3 |q1 +dq1 − Aq1 H2 H3 dq2 dq3 |q1 == [H2 H3 Aq1 |q1 +dq1 − H2 H3 Aq1 |q1 ]dq2 dq3 .Заменяя приращение функции ее дифференциалом, получимокончательно выражение потока через правую и левую грани:∂(H2 H3 Aq1 )dq1 dq2 dq3 .∂q1Совершенно так же поток через заднюю и переднюю грани будет∂(H3 H1 Aq2 )dq1 dq2 dq3∂q2и поток через верхнюю и нижнюю грани∂(H1 H2 Aq3 )dq1 dq2 dq3 .∂q3Складывая полученные три выражения и деля на величину элементарного объема, получаемую из формулы (105), придем к выражению расходимости поля в ортогональных криволинейных координатах∂(H2 H3 Aq1 ) ∂(H3 H1 Aq2 ) ∂(H1 H2 Aq3 )1++.divA =H1 H2 H3∂q1∂q2∂q3(106)Положим теперь, что поле A есть потенциальное поле, т.
е. полеградиента некоторой функции U (M ), то есть A = gradU. В этомслучае составляющая поля Aq1 есть производная функции U понаправлению q1 :1 ∂U∆U=,∆s1 →0 ∆s1H1 ∂q1Aq1 = lim131]§ 11. Теория поля503совершенно аналогичноAq2 =1 ∂U,H2 ∂q2Aq3 =1 ∂U.H3 ∂q3Подставляя эти выражения в формулу (106), получим выражениеоператора Лапласа в криволинейных ортогональных координатах∂ H2 H3 ∂U1+H1 H2 H3 ∂q1H1 ∂q1∂ H3 H1 ∂U∂ H1 H2 ∂U++.
(107)∂q2H2 ∂q2∂q3H3 ∂q3∆U = div gradU =Уравнение Лапласа ∆U = 0 будет выглядеть в координатах q1 ,q2 , q3 следующим образом:∂ H3 H1 ∂U∂ H1 H2 ∂U∂ H2 H3 ∂U++= 0. (108)∂q1H1 ∂q1∂q2H2 ∂q2∂q3H3 ∂q31. С ф е р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы. В случае сферическихкоординат формулы (98) имеют вид [62]x = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θ,причем q1 = r, q2 = θ и q3 = ϕ. Вычисляем ds2 :ds2 = (sin θ cos ϕdr+r cos θ cos ϕdθ−r sin θ sin ϕdϕ)2 +(sin θ sin ϕdr++ r cos θ sin ϕdθ + r sin θ cos ϕdϕ)2 + (cos θdr − r sin θdθ)2 ,или, открывая скобки,ds2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2 ,(109)т.
е. H1 = 1, H2 = r, H3 = r sin θ, причем 0 6 θ 6 π, так чтоH3 > 0. Подставляя в (108), получим уравнение Лапласа в сферических координатах∂∂1 ∂U∂U∂U∂2r sin θ+sin θ+=0∂r∂r∂θ∂θ∂ϕ sin θ ∂ϕ504Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[131или∂1 ∂1 ∂2U∂U2 ∂Ur+sin θ+= 0.∂r∂rsin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ2(110)Найдем решения этого уравнения, зависящее только от радиуса∂Uвектора.
При этом надо считать ∂U∂θ = ∂ϕ = 0 и, следовательно,dUdr2= 0,drdrоткудаdU= −C1drи, интегрируя, получимr2U=илиC1dU=− 2drr ,C1+ C2 ,r(111)где C1 и C2 — произвольные постоянные. Напомним, что r есть расстояние переменной точки M до любой фиксированной точки M0 ,которую мы можем выбрать за начало. В частности, при C1 = 1 иC2 = 0 мы имеем решение 1r о котором мы уже говорили в [90].2. Ц и л и н д р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы. В этом случаеx = ρ cos ϕ,так что q1 = ρ, q2 = ϕ,y = ρ sin ϕ,z = z,q3 = z. Для ds2 имеем:ds2 = dρ2 + ρ2 dϕ2 + dz 2 ,откуда H1 = 1, H2 = ρ и H3 = 1, и уравнение Лапласа в цилиндрических координатах будет, согласно (108),∂U∂ 1 ∂U∂∂U∂ρ++ρ= 0,∂ρ∂ρ∂ϕ ρ ∂ϕ∂z∂zили∂U1 ∂2U∂2U∂ρ++ρ= 0.∂ρ∂ρρ ∂ϕ2∂z 2(112)132]§ 11. Теория поля505Нетрудно показать, как и выше, что решение этого уравнения, зависящее только от расстояния ρ точки до OZ, будетU = C1 lg ρ + C2 .(113)Положим, что значения U не зависят от x, т.
е. что U имеет одинаковые значения в соответствующих точках всех плоскостей, параллельных плоскости XOY . При этом достаточно рассматриватьзначения U на одной плоскости XOY (плоский случай). В прямолинейных прямоугольных координатах уравнение Лапласа в этомслучае будет∂2U∂2U+= 0.∂x2∂y 2Относя плоскость к полярным координатам (ρ, ϕ), получим, всилу (112), уравнение∂U1 ∂2U∂ρ+= 0.∂ρ∂ρρ ∂ϕ2Из выражения (113) видно, что в плоском случае lg ρ будет давать решение уравнения Лапласа, где ρ — расстояние переменнойточки плоскости до какой-либо фиксированной точки. Вместо lg ρ,можно, конечно, брать решение lg 1ρ = − lg ρ. Таким образом в трехмерном пространстве основным решением уравнения Лапласа является величина, обратная расстоянию переменной точки до некоторой постоянной точки, а в плоском случае основным решениембудет логарифм этого обратного расстояния или самого расстояния.132.
Операция дифференцирования для случая переменного поля. Положим, что мы имеем в пространстве некоторое скалярноеполе U (t, M ) или векторное поле A (t, M ), причем в обоих случаях этополе меняется с течением времени, т. е. в каждой точке величина скаляра или вектор суть функции времени t. Положим, кроме того, чтовсе пространство находится в движении, которое характеризуется полемвектора скорости v. Последний вектор мы также считаем зависящим отвремени.Будем следить за изменением величины U с течением времени. Мыможем сделать это двояким образом.506Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[1321.
Фиксируя свое внимание на определенной точке пространства мыбудем определять скорость изменения величины U в этой точке про, костранства. Таким образом мы придем к частной производной ∂U∂tторую можно назвать локальной производной, поскольку мы связываемсебя с определенным местом пространства.2. Иначе мы можем определить скорость изменения величины U ,фиксируя свое внимание на определенной частичке движущейся среды(субстанции). При этом мы должны, дифференцируя по времени, принимать во внимание и движение самих точек среды, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
