1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 70
Текст из файла (страница 70)
90). Совершенно так же,как и в [23], нетрудно видеть,Рис. 90.что дифференциальные уравнения векторных линий поля можно написать в видеdydzdx==,AxAyAz(34)121]§ 11. Теория поля471где составляющие Ax , Ay и Az суть определенные функции x, y, z.В силу теоремы существования и единственности через каждуюточку M , при соблюдении этой теоремы, будет проходить однаопределенная векторная линия. Если провести все векторные линии, проходящие через точки некоторого куска поверхности (S), тоих совокупность даст векторную трубку (рис. 90).Выделим в векторном поле некоторый объем (v), и пусть (S)есть поверхность, ограничивающая этот объем, а (n) — направление нормали к (S), внешней по отношению к объему (v). Применимформулу Остроградского [66] к функциям Ax , Ay , Az , считая, чтоэти функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка в области (v) вплоть до ее границы:ZZZ ∂Ay∂Az∂Ax++dv =∂x∂y∂z(v)=ZZ[Ax cos(n, X) + Ay cos(n, Y ) + Az cos(n, Z)]dS(S)или [114]:ZZZ (v)ZZ∂Ay∂Az∂Ax++dv =An dS.∂x∂y∂z(35)(S)Интеграл по поверхности, стоящей в правой части равенства, называется потоком поля через поверхность.
Физический смысл его будет выяснен в дальнейшем. Подынтегральная функция в объемноминтеграле называется расходимостью (дивергеницией) векторногополя 2 и обозначается символом div A:∂Ay∂Az∂Ax++.(36)divA =∂x∂y∂zТаким образом формулу Остроградского можно записать так:ZZZZZdivAdv =An dS,(37)(v)2 div — первыедимость.(S)три буквы французского слова divergence, что значит расхо-472Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[121т. е. объемный интеграл от расходимости равен потоку поля черезповерхность этого объема.
Определение расходимости (36) связано с выбором координатных осей X, Y , Z, но, пользуясь формулой(37), нетрудно дать другое определение расходимости, не связанное с выбором координатных осей. Окружим точку M небольшимобъемом (v1 ), и пусть (S1 ) есть поверхность этого объема. Применяя формулу (37) и пользуясь теоремой о среднем [64], можемнаписатьRRAn dSZZ(S1 ),divA|M1 · v1 =An dS, то есть divA|M1 =v1(S1 )где значение divA берется в некоторой точке M1 объема (v1 ) и v1есть величина этого объема. При беспредельном сжимании объема к точке M , точка M1 будет стремится к точке M , и предыдущая формула в пределе даст величину расходимости в самойточке M :RRAn dSdivA =lim(S1 )(v1 )→Mv1,(38)т.
е. расходимость поля в точке M есть предел отношения потокаполя через малую замкнутую поверхность, окружающую точкуM , к объему, ограниченному этой поверхностью.Предыдущие рассуждения показывают, что всякое векторноеполе A дает некоторое скалярное поле divA, а именно поле своейрасходимости. Мы покажем сейчас, что, пользуясь формулой Стокса, мы естественно придем, кроме того, и к некоторому векторномуполю, порождаемому исходным полем A. ПринимаяP = Ax ,Q = Ay ,R = Az ,напишем формулу Стокса, считая, что функции Ax , Ay , Az непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка в некоторой области, внутри которой находится поверхность (S):121]Z§ 11.
Теория поля473Ax dx + Ay dy + Az dz =(l)=Z Z ∂Ay∂Az−∂y∂z(S)cos(n, X) ++∂Az∂Ax−∂z∂x∂Ax∂Ay−∂x∂ycos(n, Y )+cos(n, Z) dS.(39)Пусть ds — направленный элемент дуги кривой (l), т. е. элементдуги этой кривой, рассматриваемый как малый вектор. Его составляющие на оси будут dx, dy, dz, и выражение, стоящее под знакомкриволинейного интеграла, представляет собою скалярное произведение A · ds, т. е. равно As ds где As — проекция A на касательнуюк (l).Введем вектор с составляющими в любой системе XY Z:∂Ay∂Az−;∂y∂z∂Ax∂Az−;∂z∂x∂Ay∂Ax−.∂x∂y(40)Можно показать, что это псевдокорректор [116].
Он образует векторное поле, которое называется вихрем поля A, и его обозначаютсимволом rotA или curlA3 .Формулу (39) при этом можно переписать так:ZZZAs ds =[rotx A cos(n, X) + roty A cos(n, Y ) + rotz A cos(n, Z)]dS(l)или(S)Z(l)As ds =ZZrotn AdS,(41)(S)где rotn A — составляющая rotA по нормали (n) к поверхности(S). Криволинейный интеграл, стоящий в левой части, называется обычно циркуляцией вектора A вдоль контура (l), и формулу3 rot представляет собою три первые буквы французского слова rotation, чтозначит вращение, а curl есть английское слово, которое равносильно русскомутермину «вихрь».474Гл.
IV. Векторный анализ и теория поля[122Стокса можно формулировать так: циркуляция поля вдоль контура некоторой поверхности равна интегралу по самой поверхности от нормальной составляющей вихря, т. е. равна потоку вихря через поверхность. Формула (41) дает возможность дать определение вихря, не связанное с выбором координатных осей. Пусть (m)есть некоторое направление, проходящее через точку M , и (σ) — малая плоская площадка, проходящая через эту же точку нормальнок (m). Применим к (σ) формулу (41) и воспользуемся теоремойо среднем (направление на границе (m) связано с ориентировкойосей):RAs dsZAs ds = rotm A|M1 σ,т.
е. rotm A|M1 =(λ)σ,(λ)где (λ) есть контур (σ) и M1 — некоторая точка этой площадки.Беспредельно сжимая площадку к точке M и переходя к пределу, получим, как и в случае расходимости, значение составляющейвихря на любое заданное направление (m) в точке M :RAs dsrotm A = lim(λ)(σ)→Mσ.(42)В дальнейшем мы будем иметь многочисленные примеры применения понятий вихря и расходимости и выясним физический смыслэтих понятий.122.
Потенциальное и соленоидальное поля. В [120] мыполучили векторное поле gradU (M ), являющееся градиентов некоторой скалярной функции U (M ). Такое векторное поле называетсяпотенциальным полем. Не всякое векторное поле будет, конечно,полем потенциальным, и мы укажем сейчас необходимые и достаточные условия, при которых заданное векторное поле будет потенциальным. Соотношение A = gradU (M ) равносильно [120]Ax =∂U,∂xAy =∂U,∂yAz =∂U,∂z122]§ 11. Теория поля475т. е.
равносильно тому, что выражениеAx dx + Ay dy + Az dz(43)есть полный дифференциал некоторой функции. В [76] мы видели,что для этого необходимо выполнение трех условий:∂Ay∂Az−= 0,∂y∂z∂Ax∂Az−= 0,∂z∂x∂Ay∂Ax−= 0,∂x∂yа эти три условия в свою очередь равносильны равенству нулювихря поля: rotA, т. е. для того, чтобы векторное поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы вихрь этого поляравнялся нулю. Если это условие выполнено, то, согласно [76], потенциал поля определяется в виде контурного интегралаU (M ) =(M)ZAx dx + Ay dy + Az dz =(M0 )(M)ZAs ds.(44)(M0 )При этом A = gradU (M ), и [76]Z(B)Z(B)As ds =grads U (M )ds = U (B) − U (A).(A)(A)Может случиться, что выражение (43) не будет полным дифференциалом, но будет допускать интегрирующий множитель, т.
е.будет существовать такая функция точки µ(M ), что выражениеµ(Ax dx + Ay dy + Az dz) = dU(45)будет полным дифференциалом. Назовем такое поле квазипотенциальным. Как мы видели в [79], характерной особенностью такогополя будет существование семейства поверхностей U (M ) = C, ортогональных к векторным линиям поля, причем из (45) следует,что µA = gradU или1A = gradU,µ476Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[122т. е. поле A будет в этом случае отличаться от потенциального поля численным множителем µ1 , имеющим в различных точках пространства различные значения.Необходимое и достаточное условие квазипотенциальности полявыражается формулой [79]:∂Ay∂Az∂Ax∂Ax∂Ay∂Az−+ Ay−+ Az−= 0,Ax∂y∂z∂z∂x∂x∂yчто можно написать так:A · rotA = 0,(46)т.
е. необходимым и достаточным условием существования семейства поверхностей, ортогональных к векторным линиям поля, является условие (46), т. е. перпендикулярность векторов A и rotAили равенство нулю rot A.Заметим, что если пространство, занятое полем, многосвязно, топотенциал поля, определяемый по формуле (44), может оказатьсямногозначной функцией [76].Выше мы исследовали векторное поле, у которого вихрь равеннулю, и обнаружили, что такое поле есть поле потенциальное. Векторное поле A, у которого расходимость равна нулю, т. е.
выполнено тождественное условие div A = 0, называется соленоидальным.В силу формулы (37) для такого поля имеемZZAn dS = 0,(47)(S)где (S) — произвольная замкнутая поверхность, внутри которой наше поле везде существует.Примем за поверхность (S) часть некоторой векторной трубки,выделенную двумя ее сечениями (S1 ) и (S2 ) (рис. 91). На боковойповерхности трубки An = 0, так как A находится в касательнойплоскости к этой боковой поверхности. Если для сечений (S1 ) и(S2 ) возьмем направление нормали (n) в одну и ту же сторону поотношению к движению вдоль трубки, то на одном сечении (S1 )123]§ 11. Теория поля477Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
