1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 68
Текст из файла (страница 68)
IV. Векторный анализ и теория поля[117Пользуясь этими выражениями, читатель без труда проверитсправедливость распределительного закона для векторного произведения, т. е. соотношение(A + B) × C = A × C + B × C.(14)С помощью формулы (10) без труда получим отсюдаC × (A + B) = C × A + C × B,а затем и более общую формулу:(A1 +A2 )×(B1 +B2 ) = A1 ×B1 +A1 ×B2 +A2 ×B1 +A2 ×B2 , (15)вполне аналогичную формуле (8) для скалярного произведения.117. Соотношения между скалярным и векторным произведениями. Составим скалярное произведение вектора A навекторное произведение N = B × C:A · (B × C).Величина векторного произведения B × C = N равна площади параллелограмма, построенного на векторах B и C.
НоA · (B × C) = A · N = |A||N| cos(A, N),и, следовательно, это произведение можно рассматривать как произведение площади |N| упомянутого параллелограмма на проекциювектора A на направление N, перпендикулярное к этой площади,т. е. скалярное произведение A · (B × C) выражает объем параллелепипеда, построенного на векторах A, B и C. Его знак зависитот ориентировки координатных осей. Нетрудно видеть, что если совокупность векторов B, C, A или, что то же, A, B, C имеет ту жеориентировку, что и оси координат, то мы будем иметь знак (+).В это можно убедиться тем же методом непрерывной деформации,которым мы уже пользовались выше1 .1 Зависимость знака произведения A·(B×C) от ориентировки координатныхосей происходит оттого, что множитель B × C зависит от ориентировки осей.Таким образом, рассматриваемая величина A·(B×C) не есть обычный скаляр,величина которого на должна зависеть от выбора координатных осей.
Вообщевеличины, зависимость которых от координатных осей заключается лишь в изменении знака при перемене ориентировки осей, называются псевдоскалярами.117]§ 10. Основы векторной алгебры459При вычислении объема параллелепипеда мы за основание егопринимали параллелограмм, построенный на векторах B и C. Ноточно так же мы могли бы принимать за основание параллелограмм, построенный на векторах C и A или A и B. Мы получаем,таким образом, следующие соотношения:A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B).(16)Следует только обратить внимание на знаки этих трех скалярныхпроизведений.
Они будут одинаковы, так как совокупность векторов (A, B, C), (B, C, A) и (C, A, B) имеет одинаковую ориентировку. Две последние совокупности получаются из первой путем круговой перестановки. При другом порядке векторов знак перейдет вобратный, т. е., например,A · (B × C) = −B · (A × C).(17)Если три вектора A, B, C компланарны, то объем параллелепипеда будет равен нулю, т. е. в этом случаеA · (B × C) = 0.(18)Это равенство есть необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов A, B и C.Рассмотрим теперь векторное произведение A на векторное произведение B · C, т.
е.D = A × (B × C).Так как вектор D перпендикулярен вектору B × C, то он компланарен с B и C, а поэтому [113]:D = mB + nC;но D перпендикулярен и к A, а потому [115]:A · D = mA · B + nA · C = 0,откудаm = µA · C,n = −µA · B,(19)460Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[118после чего оказываетсяA × (B × C) = D = µ{(A · C)B − (A · B)C},и остается только определить коэффициент пропорциональностиµ. Для этого достаточно сравнить слагающие по какой-нибудь изкоординатных осей векторов в левой и правой частях предыдущейформулы. Направим ось OX параллельно A и вычислим слагающие по оси OZ. Заметив, что при сделанном выборе осейAx = |A| = a,Ay = Az = 0,мы имеем для левой части [116]Dz = Ax (B × C)y = a(Bz Cx − Bx Cz ),а для правой [115]µ(aCx Bz − aBx Cz ),отсюда, сравнивая, получим, что µ = 1.Это приводит нас к следующей формуле:A × (B × C) = (C · A)B − (A · B)C.(20)Как следствие из этой формулы, выведем разложение вектора Bпо двум направлениям: параллельному и перпендикулярном к данному вектору A.
Положив в формуле (20) C = A, перепишем ее ввиде(A · A)B = (A · B)A − A × (A × B)илиB = B′ + B′′ ,(21)гдеA × (A × B)A·BA, B′′ = −,A·AA·Aчто и дает искомое разложение, так как очевидно, что вектор B′параллелен, вектор же B′′ перпендикулярен вектору A.B′ =118. Скорости точек вращающегося твердого тела; моментвектора. Понятие векторного произведения имеет многочисленные применения в механике и, в частности, при исследовании движения твердого118]§ 10. Основы векторной алгебры461тела. В дальнейшем мы пользуемся правовращающейся системой координат.Рассмотрим сперва твердое тело, вращающееся вокруг неподвижнойоси (L).
При этом всякая точка M тела будет иметь скорость v, по величине равную произведению расстояния P M точки M от оси вращения(рис. 85) на угловую скорость вращенияω, по направлению же перпендикулярную к плоскости, проходящей через осьвращения и точку M . Эту скорость vгеометрически можно представить следующим образом.Выберем на оси (L) то из двух еенаправлений, по отношению к которому вращение совершается против часовой стрелки, и будем считать его положительным.
Отложив от произвольнойточки A оси в указанном направленииотрезок, длина которого равна ω, мы буРис. 85.дем иметь вектор o, который называется вектором угловой скорости.Обозначив далее через r вектор, определенный отрезком AM , и вспомнив определение векторного произведения, получим без труда следующеевыражение для скорости v:v = o × r,ибо величина векторного произведения o × r равна−−→|r||o| sin(r, o) = ω · |M A| · sin ϕ = ω · |M P | = |v|,а направление совпадает с направлением v.Как известно из кинематики, при любом движении твердого тела,имеющего неподвижную точку O, скорости точек тела в каждый данный момент таковы, как будто бы тело вращалось вокруг некоторой оси,проходящей через точку O (мгновенная ось) с некоторой угловой скоростью ω (мгновенная угловая скорость); положение оси вращения и величина ω, вообще говоря, будут меняться с течением времени.
Согласносказанному выше, в каждый данный момент скорость точки твердоготела определяется векторным произведением вектора мгновенной уг−−→ловой скорости на вектор OM .Рассмотрим другой пример. Пусть к точке M приложена сила, изображенная вектором F, и пусть A есть некоторая точка пространства(рис. 86).462Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[118Моментом силы F относительно точки B называется векторноепроизведение F × r, где r есть вектор, имеющий начало в точке M иконец в точке A. Опустим из точки A перпендикуляр AP на прямую, накоторой лежит сила F. Из прямоугольноготреугольника AM P получим−→|AP | = |r|| sin(r, F)|и, следовательно, величина момента силы Fотносительно точки A будет−→|r||F| sin(r, F)| = |F||AP |,т.
е. равна произведению из величины силы на расстояние точки A до прямой, наРис. 86.которой лежит сила. Направление момента определяется по вышеуказанному правилу определения направлениявекторного произведения. Из сказанного вытекает, между прочим, чтомомент силы не меняется при перемещении точки ее приложения M попрямой, на которой лежит сила. Вместо момента силы относительно точки можно, очевидно, говорить о моменте любого вектора.Выведем выражения слагающих момента.
Пусть (a, b, c) — координаты точки A и (x, y, z) — координаты точки M . Слагающие вектора r будутa − x,b − y,c − z.Пользуясь выражением слагающих векторного произведения, получимследующие слагающие момента:(y − b)Fz − (z − c)Fy ,(z − c)Fx − (x − a)Fz ,(x − a)Fy − (y − b)Fx .Возвращаясь к примеру вращения твердого тела вокруг оси, можем сказать, что скорость точки M твердого тела равна моменту вектора угловой скорости относительно точки M . Обозначая через (x, y, z) координаты этой точки, через (x0 , y0 , z0 ) — координаты начала вектора угловойскорости и через Ox , Oy , Oz — слагающие этого вектора, получим следующие выражения слагающих скорости точки M :(z − z0 )Oy − (y − y0 )Oz ,(x − x0 )Oz − (z − z0 )Ox ,(y − y0 )Ox − (x − x0 )Oy .Определим теперь момент вектора относительно оси.
Пусть в пространстве имеется некоторая прямая ∆, которой придано определенноенаправление (ось).119]§ 11. Теория поля463Моментом вектора F относительно оси ∆ называется алгебраическая величина проекции на эту ось момента вектора F относительнокакой-либо точки A оси ∆.Чтобы доказать законность этого определения, выясним независимость указанной в определении проекции от положения точки A на оси∆. Примем ось ∆ за ось OZ и пусть (0, 0, c) — координаты точки A и(x, y, z) — координаты начала M вектора F.
При таком выборе координатных осей проекция на ось ∆ момента вектора F относительно точкиA совпадает со слагающей его по оси OZ и, в силу предыдущих формул,будет равна xFy − yFx , так как a = b = 0. Эта разность не зависит от c,т. е. от положения точки A на оси ∆.§ 11. ТЕОРИЯ ПОЛЯ119. Дифференцирование вектора. Обобщим понятиедифференцирования на случай переменного вектора A(τ ), зависящего от некоторого численного параметра τ . Будем откладывать вектор от некоторой определенной точки — например начала координат O (рис.
87). При изменении параметра τ конец переменного вектора A(τ ) опишет некоторую кривую (L). Пусть OM1 и OM — положения переменного векторапри значениях (τ + ∆τ ) и τ параметра. Отрезку M M1 соответствует разность A(τ + δτ ) − A(τ ), и отношениеA(τ + ∆τ ) − A(τ )∆τдает некоторый вектор, параллельный отрезку M M1 . Предельное полоРис. 87.жение этого вектора при ∆τ → 0, если оно существует, и будет представлять собою производнуюA(τ + ∆τ ) − A(τ )dA(τ )= lim.∆τ →0dτ∆τ(22)Эта производная есть очевидно вектор, направленный по касательной к кривой (L) в точке M . Он также зависит от τ , и его произ2A(τ )и т. д.водная по τ дает вторую производную d dτ2464Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
