1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Если f (x, y) измерима на ∆ и для почти всех x из a 6 x 6 bсуществует интегралϕ(x) =Zdf (x, y)dy,cто ϕ(x) измерима на промежутке a 6 x 6 b.111. Интегралы по множеству бесконечной меры. До сихпор мы рассматривали интегралы на измеримых множествах конечной меры. Расширение понятия интеграла на случай множествабесконечной меры производится по существу так же, как и для интеграла Римана [89]. Пусть на измеримом множестве E бесконечной меры задана измеримая неотрицательная функция f (x).
Рассмотрим какую-либо возрастающую последовательность множествконечной мерыE1 ⊂ E2 ⊂ E3 ⊂ . . . ,(95)для которой E является предельным множеством [103]. Мы можем, например, считать, что En есть произведение E и промежутка∆n (−n 6 x1 6 n; −n 6 x2 6 n). Для ограниченных множеств En111]§ 9. Мера и теория интегрированиясуществуют интегралыZf (x)dx,445(96)Enкоторые в силу неотрицательности f (x) не убывают при возрастании n.Предел монотонной последовательности (96) называется интегралом от f (x) по EZZf (x)dx = limf (x)dx,(97)n→∞EnEи функция f (x) называется суммируемой на E, если указанныйпредел конечен.Нетрудно показать, что этот предел не зависит от выбора возрастающей последовательности En , имеющей E своим предельныммножеством [ср.
89].Отметим, что интегралы (96) могут равняться (+∞). При этоминтеграл от f (x) по E также равен (+∞). Но может случиться,что все интегралы (96) конечны, а предел этой последовательностиравен (+∞).Измеримая на f (x) функция, не удовлетворяющая условиюf (x) > 0, называется суммируемой на E, если суммируемы неотрицательные функции f + (x) и f − (x), и величина интеграла от f (x)на E определяется формулойZZZf (x)dx = f + (x)dx − f − (x)dx.(98)EEE+Если только одна из функций f (x) или f − (x) суммируема, то, каки в [108], интеграл от f (x) по E имеет смысл, но его величина равна(−∞) или (+∞).Для интеграла на измеримом множестве бесконечной мерысправедливо все сказанное в [108], а также теоремы из [109] и теорема Фубини. Доказательства проводятся в основном следующимобразом: сначала используются соответствующие свойства интегралов на множествах En или на произведении некоторого множества имножества En , а затем проводится предельный переход при n → ∞.446Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[111Напомним, что при изложении несобственных кратных интегралов Римана мы указали на то, что эти интегралы сходятся абсолютно [89]. Это относится и к интегралам по бесконечным областям,например к интегралу по всей плоскости. Несобственный простойинтеграл определялся при помощи предельного перехода [85]+∞ZZbf (x)dx = limf (x)dx,b→+∞a(99)aесли указанный предел существует (сходящийся интеграл). Приэтом из сходимости интеграла не следует его абсолютная сходимость.Указанное выше определение интеграла по множеству E бесконечной меры таково, что из суммируемости функции f (x) на Eследует и ее абсолютная суммируемость, т. е.
суммируемость|f (x)| = f + (x) + f − (x).Если мы для функции, суммируемой на промежутке a 6 x 6 b прилюбом b > a, определим интеграл по промежутку a 6 x < +∞ формулой (99), причем указанный в этой формуле предел (конечный)существует, то это определение отлично от указанного выше, и может оказаться, что для |f (x)| предел, входящий в формулу (99),равен (+∞).Г Л А В А IVВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ§ 10. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ112. Сложение и вычитание векторов.
Настоящая главабудет посвящена главным образом изложению векторного анализа.В настоящее время имеет большое число специальных курсов векторного анализа, и мы, не вдаваясь в подробности, выясним лишьосновные понятия и факты, непосредственно связанные с предшествующим материалом и необходимые нам для изложения основматематической физики.При рассмотрении физических явлений мы встречаемся с величинами двух родов — скалярными и векторными.Скалярной величиной или просто скаляром называется величина, которая при определенном выборе единицы меры вполне характеризуется числом, ее измеряющим.Так например, если в пространстве имеется нагретое тело, тотемпература в каждой точке этого тела характеризуется определенным числом, и мы можем сказать поэтому, что температура естьвеличина скалярная.
Плотность, энергия, потенциал представляютсобою также скалярные величины.В качестве примера векторной величины рассмотрим скорость.Чтобы вполне охарактеризовать скорость, недостаточно знать число, измеряющее величину скорости, но необходимо указать и ее направление. Мы можем охарактеризовать скорость, строя вектор —448Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[112отрезок, имеющий в данном масштабе длину, равную величине скорости, и направление, совпадающее с направлением скорости.
Таким образом вектор вполне определяется своей длиной и направлением. Сила, ускорение, импульс представляют собой также векторные величины.Вернемся к примеру нагретого тела. Температура u в каждойточке этого тела характеризуется определенным числом или, какговорят, есть функция точки в пространстве, занятой телом.
Относя пространство к системе прямоугольных координат XY Z, мы можем сказать, что скаляр u есть функция независимых переменных(x, y, z) определенная в той области пространства, которая занята нагретым телом. Здесь мы имеем пример так называемого поляскалярной величины, или скалярного поля.Если же в каждой точке некоторой области определен вектор, томы имеем векторное поле. Таков пример электромагнитного поля,в каждой точке которого имеется определенная электрическая имагнитная сила.В некоторых случаях бывает важно знать точку приложениявектора, т. е.
ту точку пространства, с которой совпадает началовектора. В этом случае мы имеем дело со связанными векторами.Однако в дальнейшем мы будем иметь дело преимущественно сосвободными векторами, т. е. такими, для которых точка приложения может лежать где угодно. Поэтому мы будем считать равнымидва вектора, если они равны по величине (длине) и имеют одинаковое направление.Векторы в дальнейшем мы будем обозначать полужирнымшрифтом A, B, . .
. , их величины (длины) — соответственно символами |A|, |B|, . . . , скаляры же — обычными буквами латинского алфавита.Пусть имеются несколько векторов A, B, C. Из некоторой точкиO построим вектор A, из его конца построим вектор B, из концаэтого вектора — вектор C. Вектор S, который имеет начало в началепервого вектора, а конец в конце последнего вектора, называетсясуммой данных векторов:S = A + B + C.Сумма векторов обладает основными свойствами обыкновен-112]§ 10. Основы векторной алгебры449ной суммы, а именно — свойствами переместительным и сочетательным, выражающимися формулами (рис.
80)A + B = B + A,A + (B + C) = (A + B) + C.Рис. 80.Если из конца вектора A построим вектор C, по величинеравный, а по направлению противоположный вектору B, то векторM, имеющий начало в начале вектора A, а конец в конце вектораC, называется разностью векторов Aи B (рис. 81):M = A − B.Нетрудно видеть, что этот векторвполне определяется соотношениемB + M = A.Обозначим, вообще, через (−N)вектор, по величине равный, а по наРис.
81.правлению противоположный векторуN. Тогда разность векторов A и B можно определить, как суммуA и (−B), т. е.A + (−B) = A − B.Нетрудно показать, что определенные таким образом понятия осумме и разности подчиняются тем же правилам, что и обыкновенные алгебраические сумма и разность, на чем мы останавливатьсяне будем.Правило сложения векторов имеет много приложений в механике и физике. Если, например, точка участвует в нескольких движениях, то ее окончательная скорость получается по правилу сложения из тех скоростей, которые она имеем в отдельных движениях.
По тому же правилу получается равнодействующая несколькихсил, действующих на одну и ту же точку.450Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[113Заметим, что если при сложении конец последнего слагаемоговектора совпадает с началом первого, т. е. если построенная по указанному выше правилу ломаная линия будет замкнутой, то говорят,что сумма рассматриваемых векторов равна нулюA + B + C = 0.В частности, очевидно, чтоA + (−A) = 0.Вообще, вектор называется равным нулю, если его величинаравна нулю. В этом случае о его направлении говорить не приходится.113.
Умножение вектора на скаляр. Компланарностьвекторов. Если имеем вектор A и вещественное число a, то произведением aA или Aa называется вектор, по величине равный |a|·|A|а по направлению совпадающий с A, если a > 0, или противоположный A, если a < 0. В случае a = 0 произведение aA такжеравно нулю.Таким образом, если A и B — два вектора, имеющих одинаковыеили противоположные направления, то между ними существует соотношениеB = nA,которое можно написать в более симметричном видеaA + bB = 0,положив n = − ab .Наоборот, наличие написанного соотношения указывает на то,что векторы A и B имеют одинаковые или противоположные направления.Пусть теперь даны два каких-нибудь вектора A и B, направления которых не совпадают и не противоположны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
