1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Переходим к выяснению свойств измеримых множеств. Отметим, что пустое множествосчитается измеримым и его мера — равной нулю. Прежде всего возникает вопрос — будет ли всякий квадрат или прямоугольник (открытый или замкнутый) со сторонами, параллельными осям, измеримым множеством, и если это так, то чему равна его мера. Неостанавливаясь на доказательстве, сформулируем результат.Т е о р е м а 4. Множество точек замкнутого или открытогопрямоугольника со сторонами, параллельными осям, есть измеримое множество и его мера равна произведению длин его сторон.Т е о р е м а 5.
Открытые множества измеримы.Если E — открытое множество, то для проверки его измеримости достаточно взять O совпадающим с E, и при этом |O − E| = 0.Т е о р е м а 6. Если |E| = 0, то E — измеримое множествои m(E) = 0. Если E — измеримое множество и m(E) = 0, то|E| = 0.Если |E| = 0, то, согласно теореме 3, для любого заданногоε > 0, существует такое O, что E ⊂ O и |O| 6 ε, а потому, в силутеоремы 1, тем более |O − E| 6 ε, т. е. E измеримо и m(E) = 0, ибоm(E) совпадает, по определению, с внешней мерой. Наоборот, еслиE измеримо и m(E) = 0, то и |E| = 0. Теорема доказана.В силу доказанного измеримое множество E меры нуль, или,как обычно говорят, множество E меры нуль определяется следующим свойством: при любом заданном ε > 0 можно покрыть E410Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[103конечным или счетным числом квадратов, сумма площадей которых 6 ε.Т е о р е м а 7. Сумма конечного или счетного числа измеримыхмножеств есть измеримое множество.Пусть En (n = 1, 2, . . .) — измеримые множества, E — их сумма иε > 0 — заданное число. Согласно определению измеримого множества, существуют такие открытые множества On , что En ⊂ On и|On − En | 6 2εn . Сумма On есть некоторое открытое множество O иE ⊂ O.
Но для любых множеств Pn и Qn легко проверить, чтоXXXPn −Qn ⊂(Pn − Qn ).nnnПрименяя это к On и En , имеемXO−E ⊂(On − En ).nПользуясь теоремами 1 и 2, получаемX X|O − E| 6 (On − En ) 6|On − En |nи, в силу |On − En | 6nε2n ,|O − E| 6 ε,что и доказывает измеримость E.Т е о р е м а 8. Замкнутые множества измеримы.Не приводя довольно сложного доказательства этой теоремы,мы сформулируем еще лемму, на которой оно основано [V, 35].Л е м м а. Если расстояние между двумя множествами E1 иE2 положительно, то |E1 + E2 | = |E1 | + |E2 |.Т е о р е м а 9. Если E — измеримое множество, то и CE измеримо.В силу измеримости E существуют такие открытые множестваOn , что E ⊂ On и |On − E| 6 n1 (n = 1, 2, .
. .). Введем замкнутыемножества Fn = COn . Из E ⊂ On следует Fn ⊂ CE, и в силу (4) из103]§ 9. Мера и теория интегрирования411[93] имеем CE − Fn = On − E. Заменяя в левой части Fn на суммуFn , получим∞XCE −Fn ⊂ On − E,n=1откуда∞ 1PCE −6 .Fn nn=1Левая часть не зависит от n, а правая стремится к нулю приn → ∞ и, следовательно,∞PCE −Fn = 0.n=1т. е. разность, стоящая слева, есть множество E0 меры нуль. Поскольку Fn ⊂ CE, мы имеемCE = E0 +∞XFn ,n=1и из теоремы 7 и 8 следует, что CE — измеримое множество.С л е д с т в и е.
Из измеримости CE следует измеримость E =C(CE).Следующая теорема дает критерий измеримости E не через открытые множества, покрывающие E (определение измеримых множеств), а через замкнутые множества, содержащиеся в E.Т е о р е м а 10. Для того чтобы множество E было измеримым, необходимо и достаточно следующее: при любом заданномε > 0 существует такое замкнутое множество F , что F ⊂ E и|E − F | 6 ε.Измеримость E равносильна измеримости CE, а для этого необходимо и достаточно, чтобы для любого заданного ε > 0 существовало такое открытое множество O, что CE ⊂ O и |O − CE| 6 ε.Если положить F = CO и принять во внимание, что в силу (4) из[93], O − CE = E − CO = E − F, то |O − CE| 6 ε можно переписатьв виде |E − F | 6 ε и F ⊂ E, ибо CE ⊂ O [93].
Теорема доказана.412Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[103Т е о р е м а 11. Произведение конечного или счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество. Разность измеримых множеств есть измеримое множество.Если En — измеримые множества, то измеримость их произведений вытекает из формулы [93]:YXEn = CCEnnnи из теорем 9 и 7. Измеримость разности следует из очевиднойформулы A − B = A · CB и измеримости произведения.Т е о р е м а 12.
Мера суммы конечного или счетного числа измеримых множеств попарно без общих точек равно сумме мерслагаемых множеств.Пусть En — измеримые множества попарно без общих точек. Измеримость их суммы следует из теоремы 7. Проведем доказательство при предположении, что все En ограничены, но их число бесконечно. Согласно теореме 10 при любом заданном ε > 0 существуюттакие замкнутые множества Fn , что Fn ⊂ En и |En − Fn | 6 2εn .Множества Fn , очевидно, ограничены и не имеют попарно общихточек. Из формулы En = Fn + (En − Fn ) непосредственно следует|En | 6 |Fn | +ε.2n(34)Для конечной суммы Fn имеем по теореме 1: mmm∞X XX X Fn 6 En , откуда Fn 6 En .
n=1n=1n=1n=1Применяя лемму к сумме Fn и пользуясь (34), получим∞mmm∞X XXXXε=|En | − ε,En >|Fn | >|En | −2nn=1n=1откуда при m → ∞n=1n=1∞∞X XEn >|En | − ε,n=1n=1n=1103]§ 9. Мера и теория интегрирования413или, ввиду произвольности ε,∞∞X XEn >|En |.n=1n=1Сравнивая с неравенством (31), получаем∞∞X XEn =|En |n=1n=1или, в силу измеримости слагаемых и суммы,!∞∞XXmEn =m(En ).n=1n=1Свойство, выражаемое теоремой 12, называется обычно полнойаддитивностью меры Лебега. Прилагательное «полный» выражает тот факт, что аддитивность меры имеет место не только дляконечного, но и для счетного числа множеств, не имеющих попарно общих точек. Таким свойством не обладает мера Жордана.З а м е ч а н и е.
Отметим, что из теорем 2 и 6 следует, что суммаконечного или счетного числа множеств меры нуль есть множествомеры нуль. При этом не предполагается, что слагаемые множествапопарно без общих точек.Т е о р е м а 13. Если A и B измеримы, B ⊂ A и B — конечноймеры, то m(A − B) = m(A) − m(B).Разность A − B = D измерима по теореме 11. В силу B ⊂ Aимеем A = B + D, причем B и D без общих точек и, следовательно,m(A) = m(B) + m(D). Вычитая почленно m(B) < +∞, получаемm(A − B) = m(A) − m(B).Приведем еще два результата, касающиеся предельного перехода для множеств.
Пусть Pn — невозрастающая последовательностьизмеримых множеств, т. е. P1 ⊃ P2 ⊃ P3 ⊃ . . . Пределом Pn приn → ∞ назовем произведение всех Pn :P = lim Pn =n→∞∞Yn=1Pn(P1 ⊃ P2 ⊃ . . .).(35)414Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[103Множество P может быть и пустым. Множество P1 состоит, очевидно, из элементов (точек) P и тех элементов, которые входят вкакое-либо Pk , а, следовательно, и во все Pl при l < k, но не входят вPk+1 . Мы можем, таким образом, представить P1 в виде следующейсуммы множеств, не имеющих попарно общих точек:P1 = P +∞Xk=1откудаm(P1 ) = m(P ) +∞X(Pk − Pk+1 ),[m(Pk ) − m(Pk+1 )] =k=1= m(P ) + limn→∞n−1Xk=1[m(Pk ) − m(Pk+1 )],и из этой формулы непосредственно следуетm(P ) = lim m(Pn ).n→∞(36)Отметим одно следствие полученной формулы.
Пусть имеется бесконечная сумма измеримых множеств: E = E1 + E2 + . . . , и положим Rn = E − (E1 + E2 + . . . + En ). Последовательность Rn невозрастает, и предельное множество R пусто. Действительно, еслипредположить, что имеется точка M , принадлежащая R, т. е. всемRn , то отсюда следует, что M принадлежит E, но не принадлежитни одному из Ek (k = 1, 2, . .
.), а это противоречит тому, что E естьсумма Ek . Таким образом, мы можем утверждать, что m(Rn ) → 0при n → ∞. Если Sn — неубывающая последовательность измеримых множеств Sn , т. е. S1 ⊂ S2 ⊂ . . . , то предельным множествомS называется сумма всех Sn , и нетрудно показать, чтоm(S) = lim m(Sn ).n→∞(37)Вся изложенная выше теория меры легко переносится на случайпрямой и n-мерного пространства [97]. Отметим, что в случае прямой всякое открытое множество есть сумма конечного или счетного104]§ 9.
Мера и теория интегрирования415числа открытых промежутков. Как и для меры Жордана, можнопоказать, что мера Лебега не зависит от выбора осей координат.Приведем некоторые замечания, связанные с теорией меры.Введем полуоткрытые квадраты, определяемые неравенствами:a < x 6 b, c < y 6 d (b − a = d − c), и нанесем на плоскости сетку таких квадратов. Они не имеют попарно общих точек.Пусть O — некоторое ограниченное открытое множество.
Отметимте квадраты, которые входят в O (их конечное число). Каждыйиз оставшихся квадратов поделим на четыре равные части и отметим те из полученных квадратов, которые входят в O, и т. д.Поскольку расстояние любой точки O до ее границы положительно, всякая точка O попадает в один из отмеченных квадратов, т. е.O есть сумма счетного числа полуоткрытых квадратов, а мера Oравна сумме площадей этих квадратов.
Отсюда видно, что мераЛебега множества O совпадает с внутренней мерой Жордана. Еслиприсоединить к множеству O его границу l, то получим замкнутое множество. Оно измеримо по Лебегу, но его мера может бытьбольше меры O.Если F — ограниченное замкнутое множество, то мы можем покрыть его открытым квадратом O и разность O1 = O − F естьоткрытое множество, причем F = O − O1 , и m(F ) = m(O) − m(O1 ).Таким образом, мера F определится через меры открытых множеств.104. Измеримые функции. Переходим к выяснению тогокласса функций, который является основным в теории Лебега. Мыбудем рассматривать функции точки f (x), определенные на измеримых множествах и принимающие вещественные значения. Букваx обозначает точку измеримого множества на прямой или на плоскости, или вообще в n-мерном пространстве. Для f (x) считаются допустимыми и значения (±∞) Если f (x) не принимает этихзначений, то будем говорить, что функция принимает конечныезначения.
Функция называется ограниченной, если абсолютная величина всех ее значений не превышает некоторого числа (конечного).Введем некоторые обозначения. Пусть функция f (x) задана намножестве E. Символ E[f (x) > a] или E[f > a] обозначает множе-416Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[104ство тех точек x из E, в которых f (x) > a. Аналогичный символприменяется и для других типов неравенств или равенств. Еслиf (x) и g(x) — две функции, определенные на E, то символ E[f > g]обозначает множество тех точек x из E, в которых f (x) > g(x).Аналогичный смысл имеет символ E[f = g] и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
