1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Введем еще новый термин: «почти везде». Если некоторое свойство имеет местово всех точках некоторого измеряемого множества E, кроме, может быть, множества точек меры нуль, то будем говорить, что этосвойство имеет место почти везде на E. Определим теперь классфункций, который лежит в основе теории Лебега.О п р е д е л е н и е. Функция f (x), определенная на измеримоммножестве E, называется измеримой (или измеримой на E), если для любого вещественного числа a, как конечного так и бесконечного (±∞), измеримы множества:E[f > a],E[f < a],E[f > a],E[f 6 a],E[f = a].(38)В дальнейшем мы будем иметь дело с измеримыми множествамии измеримыми функциями, определенными на измеримых множествах.
Введем еще одно важное в теории Лебега понятие.О п р е д е л е н и е. Две функции f (x) и g(x), определенные на E,называются эквивалентными на E, если они равны почти вездена E, т. е. мера множества E[f 6= g] равна нулю.Отметим, что если мера E равна нулю, то любая функция на немизмерима и любые две функции эквивалентны. Это следует непосредственно из того, что всякая часть E имеет меру нуль. Нетруднопоказать, что если функция f1 эквивалентна g1 и f2 эквивалентнаg2 , то f1 + f2 эквивалентна g1 + g2 , f1 f2 эквивалентна g1 g2 и ff12эквивалентна gg21 если соответствующие действия имеют смысл.
Если мы изменим значение f (x) на множестве меры нуль, то получимфункцию, эквивалентную f (x). Отметим еще, что функция, равнаяпостоянной на E, очевидно, измерима.Переходим к теоремам, связанным с понятием измеримых функций и эквивалентных функций.Т е о р е м а 1. Для измеримости множеств (38) при любомa достаточно, чтобы одно из этих множеств, кроме пятого, было измеримо при любом a.104]§ 9. Мера и теория интегрирования417Множества [f > a] и E[f < a] — дополнительные множества, иизмеримость одного из них при любом a равносильна измеримостидругого.
Точно так же измеримость третьего из множеств (38) прилюбом a равносильна измеримости четвертого. Множество пятоеесть разность первого и третьего множеств. Докажем, например,что из измеримости третьего множества при любом a следует измеримость остальных множеств. Действительно, из измеримоститретьего множества следует измеримость четвертого, а также измеримость первого, в силу формулы∞Y1,E[f > a] =E f >a−nn=1а тем самым и второго.
Заметим, что множества E[f = +∞] иE[f = −∞] могут быть представлены в видеE[f = +∞] =E[f = −∞] =∞Yn=1∞Yn=1E[f > n],E[f < −n].Т е о р е м а 2. Если f (x) измерима на E, то она измерима ина любой измеримой его части E ′ . Если f (x) измерима на конечном или счетном числе множеств En , то она измерима и на ихсумме.Утверждения теоремы вытекают из следующих формул:XE ′ [f > a] = E[f > a]E ′ , E[f > a] =En [f > a].nТ е о р е м а 3. Если f (x) и g(x) эквивалентны на E и одна изних измерима, то и другая измерима.По условию теоремы, множество A = E[f 6= g] имеет меру нуль.На измеримом множестве E ′ = E − A имеем f (x) = g(x), и изизмеримости f (x) на E, и тем самым на E ′ , следует измеримостьg(x) на E ′ .
Но g(x) измерима на A (меры нуль), а тем самым и наE = E ′ + A.418Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[104Т е о р е м а 4. Если f (x) — измеримая функция, то и |f (x)| —измеримая функция.Утверждение теоремы непосредственно следует из формулыE[|f | > a] = E[f > a] + E[f < −a] (a > 0).Т е о р е м а 5. Если f (x) — измеримая функция и c — вещественное число, то f (x) + c и cf (x) — измеримые функции.При c = 0 теорема очевидна. Считаем, что c 6= 0.Первое утверждение следует из формулыE[f + c > a] = E[f > a − c],а второе из формулhaiE[cf > a] = E f >chaiE[cf > a] = E f <cприc > 0,приc < 0.Т е о р е м а 6.
Если f (x) и g(x) — измеримые функции, то множество E[f > g] измеримо.Пронумеруем все рациональные числа [93]: r1 , r2 , . . . Утверждение теоремы следует из формулыE[f > g] =∞XE[f > rn ]E[g < rn ].n=1Т е о р е м а 7. Если f (x) и g(x) — измеримые функции, принимающие конечные значения, то функции f − g, f + g, f g и fg (приg 6= 0)) измеримы.Измеримость f − g следует из формулыE[f − g > a] = E[f > g + a]и теорем 5 и 6.
Измеримость суммы — из формулы f + g = f − (−g)и теоремы 5 при c = −1. Измеримость f 2 — из формулы√√E[f 2 > a] = E[f > a] + E[f < − a] (a > 0),104]§ 9. Мера и теория интегрирования419а измеримость f g из формулыfg =1[(f + g)2 + (f − g)2 ].4Измеримость g1 (при g 6= 0)) следует из формул11> a = E[g > 0]E g <приEga11> a = E[g > 0] + E g <приEga1> a = E[g > 0]приEga > 0,a < 0,a = 0.Наконец, измеримость частного следует из формулы fg = f 1g .Оговорка о конечных значениях необходима, ибо в противном случае действия над функциями могут потерять смысл. Если в некоторой точке f = +∞ и g = −∞, то сумма f + g не имеет смысла.Но если, например, измеримые функции f и g могут приниматьконечные значения и значение (+∞) то сумма f + g имеет всегдасмысл и свойство измеримости ее сохраняется.Большое принципиальное значение имеет следующая теорема,которую мы приводим без доказательства [V, 44]:Т е о р е м а 8.
Если fn (x) (n = 1, 2, . . .) — бесконечная последовательность измеримых на E функций, сходящихся везде или почти везде на E, то и предельная функция f (x) измерима на E.Эта теорема показывает, что предельный переход в классе измеримых функций не выводит из этого класса. Совершенно инуюкартину имели мы для класса непрерывных функций. Предельныйпереход для последовательности непрерывных функций может приводить к разрывным функциям [I, 144] даже при наличии пределавезде.Если fn (x) → f (x) почти везде на E, то на множестве мерынуль, где нет сходимости, функция f (x) доопределяется любым образом, например нулем. При различном доопределении получаютсяэквивалентные функции.Приведем еще один результат, касающийся предельного перехода, который будет нам нужен в дальнейшем [V, 44].420Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[105Т е о р е м а 9. Пусть E — измеримое множество конечной меры и fn (x) — последовательность измеримых на E функций, которые принимают почти везде на E конечные значения и сходятсяпочти везде на E к функции f (x), также принимающей почтивезде на E конечные значения. При этом для любого заданногоε > 0 мера множества точек x, в которых выполнено неравенство |f (x) − fn (x)| > ε стремится к нулю при n → ∞.105. Дополнительные сведения. Прежде чем переходить кпонятию интеграла Лебега, приведем некоторые примеры и дополнительные теоремы.Пусть f (x) и g(x) — эквивалентные функции, непрерывные нанекотором замкнутом квадрате или прямоугольнике ∆. Покажем,что их значения совпадают во всех точках ∆.
Действительно, еслив некоторой точке x0 имеем, например, f (x0 ) − g(x0 ) > 0, то, в силунепрерывности функций, это неравенство сохраняется и в некоторой ε-окрестности x0 . Мера этой окрестности больше нуля, а этопротиворечит предположенной эквивалентности функций.Таким образом, понятие эквивалентности функций не имеетсмысла в классе непрерывных на ∆ функций. Всякая непрерывнаяна ∆ функция f (x) строго индивидуальна. Если две непрерывныефункции f (x) и g(x) отличаются в одной точке x0 , то они отличаются, как мы видели, и на множестве положительной меры из ∆.Совсем иное мы имеем в классе измеримых функций f (x). Изменяяпроизвольным образом значения f (x) на множестве нуль, мы приходим к функции, эквивалентной f (x).
Легко видеть, что если f (x)эквивалентна g(x) и g(x) эквивалентна h(x), то f (x) эквивалентна h(x), и в классе измеримых на некотором множестве E функций функции распределяются на группы эквивалентных функций,причем в каждой такой группе содержится бесчисленное множество функций таких, что значения каждых двух из них отличаютсяна множестве точек из E, имеющем меру нуль. Во многих вопросах теории Лебега целесообразно отождествлять все функции однойгруппы.
Отметим еще один факт. Если f (x) — функция, непрерывная не котором замкнутом множестве E, имеющем изолированныеточки [91], то, меняя значение f (x) в изолированной точке, мы, ненарушая непрерывности f (x), получаем функцию, эквивалентную105]§ 9. Мера и теория интегрирования421f (x). Укажем примеры измеримых функций. Положим, что f (x)непрерывна на ∆.
Нетрудно показать, что множество ∆[f > a] прилюбом a замкнуто, откуда следует измеримость f (x). Можно показать, что если f (x) принимает на ∆ конечные значения и множествоточек разрыва ее непрерывности имеет меру нуль, то f (x) измеримана ∆. Но это условие измеримости является только достаточным.Дадим пример функции f (x) одной переменной, определенной напромежутке ∆ (0 6 x 6 1) и измеримой на нем, причем каждаяточка x из ∆ есть точка разрыва непрерывности f (x).Определим f (x) на ∆ — следующим образом: f (x) = 0, если x —рациональное число, и f (x) = 1, если x — иррациональное число.Счетное множество рациональных точек имеет меру нуль [93], апотому множество иррациональных точек из ∆ имеет меру — единица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
