1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

Точная нижняя границамножества положительных чисел S + S ′ называется внешней мероймножества E. Обозначим ее A. Пусть r — длина сторон квадратовсетки.Т е о р е м а. Если r → 0, то S → a и S + S ′ → A, т. е. прибеспредельном измельчании сетки S стремится к внутренней иS + S ′ к внешней мере E.По определению точной нижней границы, при любой сетке квадратов S + S ′ > A.

Нам надо доказать, что при любом заданномε > 0 существует такое η > 0, что S + S ′ < A + ε, если r < η.По определению точной нижней границы, существует такая сетка,что соответствующая ей сумма S + S ′ , которую мы обозначим через S0 + S0′ , меньше A + ε. Пусть r0 — длина сторон квадратов этойсетки. Окаймим (S0 + S0′ ) квадратами со стороной rn0 , где n — целое положительное число, так, чтобы получилось множество (S1 )типа (α), которое образовано квадратами со стороной rn0 и содержит (S0 + S0′ ) строго внутри себя.

Если мы возьмем n достаточнобольшим, то S1 будет сколь угодно мало отличаться от S0 + S0′ , имы можем считать S1 < A + ε. Пусть λ1 — граница (S1 ). Замкнутыемножества λ1 и l не имеют общих точек, и пусть δ — расстояниемежду ними (δ > 0). Если мы возьмем r < √δ2 , то все квадратысетки, имеющие общие точки с E или l, будут находиться внутри(S1 ) и, следовательно, при r < √δ2 будем иметь S + S ′ < S1 < A + ε.Таким образом, число η, о котором мы говорили выше, можно взятьравным √δ2 , и доказано, что S + S ′ → A при r → 0.Если E не имеет внутренних точек, то S = 0 для любой сеткиквадратов. Если же внутренние точки имеются, то S > 0 при достаточном малом r, и аналогично предыдущему можно доказать,что S → a при r → 0.С л е д с т в и е 1.

При определении a и A мы можем исходитьиз какой-либо фиксированной сетки квадратов и измельчать этусетку путем деления каждого квадрата на четыре равных квадрата. При этом мы получим неубывающую последовательность Sn и388Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[95невозрастающую последовательность Sn + Sn′ (n = 1, 2, . . .), причемSn → a и Sn + Sn′ → A при n → ∞, где n — номер сетки, котораяполучилась при n-м шаге измельчения.

Этим соображением удобнопользоваться при доказательстве приводимых далее утверждений.С л е д с т в и е 2. Из S < S + S ′ следует при r → 0, что a 6 A,т. е. внутренняя мера не больше внешней. Если A = 0, то и a = 0,и, следовательно, E не имеет внутренних точек. Можно показать,что существуют такие замкнутые кривые l, которые не пересекают сами себя и имеют параметрическое представление x = ϕ(t),y = ψ(t), где ϕ(t) и ψ(t) — непрерывные функции, и у которыхвнешняя мера положительна. Такие кривые, как можно показать,являются границей области, и у этой области a < A.95. Квадрируемые множества. Множество E называетсяквадрируемым, если a = A, т. е. если его внутренняя и внешняямеры одинаковы. Общая величина этих мер называется при этоммерою множества E и обозначается m(E).Отметим, что если мы будем говорить о мере какого-нибудь множества, то этим самым утверждается, что это множество квадрируемо.

Если A = 0, то, как мы видели, E — квадрируемо и m(E) = 0.Обратно, если m(E) = 0, то A = 0. Такие множества меры нульбудут дальше играть большую роль. Необходимое и достаточноеусловие квадрируемости состоит, очевидно в том, что S и S + S ′имеют одинаковые пределы при r → 0, т. е. в том, что S ′ → 0 приr → 0. Пусть l, как и выше, граница некоторого ограниченного множества E. Точечное множество l не имеет внутренних точек, длянего (S) — пустое множество при любой сетке квадратов и a = 0.Множество (S ′ ) — состоит из тех квадратов сетки, которые имеютобщие точки с l, и необходимое и достаточное условие квадрируемости (S ′ → 0 при r → 0) сводится к тому, что A = 0 для l, т.

е. ктому, что m(l) = 0. Итак,Т е о р е м а. Для квадрируемости E необходимым и достаточным условием является равенство m(l) = 0.Нетрудно показать, что всякое множество типа (α) квадрируемои его мера равна его площади, т. е. сумме площадей, составляющихего квадратов. Путь некоторое множество E1 имеет меру нуль, ипусть задано ε > 0. Выбирая r достаточно малым, мы получим для95]§ 9. Мера и теория интегрирования389величины S ′ , соответствующей E1 , неравенство S ′ < 9ε . Окружаякаждый квадрат, принадлежащий к (S ′ ), восемью прилегающимиквадратами сетки и причисляя их к (S ′ ), если они раньше не входили в (S ′ ), придем к следующему результату: при любом заданномε > 0 множество меры нуль можно заключить строго внутрьмножества типа (α), площадь которого меньше ε.Результаты последних двух номеров легко приводят к следующим утверждениям:1.

Всякая часть множества меры нуль есть множество мерынуль. Сумма конечного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль.2. Если множества E1 и E2 — квадрируемы и E1 ⊂ E2 , тоm(E1 ) 6 m(E2 ).3. Если E1 и E2 — квадрируемые множества, не имеющие общих внутренних точек, то их сумма E = E1 + E2 — квадрируемоемножество и m(E) = m(E1 ) + m(E2 ).Докажем последнее утверждение. Пусть (Sk ) и (Sk + Sk′ ) (k =1, 2) — множества типа (α) для Ek , а (S) и (S + S ′ ) — для E.

Поусловию, (S1 ) и (S2 ) не имеют общих точек, но при сложении E1 иE2 могут появиться в E новые квадраты, так что S1 + S2 6 S. Сдругой стороны, сумма множеств (S1 +S1′ ) и (S2 +S2′ ), покрывающихE1 и E2 вместе с их границами, покрывает и E с ее границей, ибовсякая точка границы E является граничной по крайней мере дляодного из Ek , откуда S + S ′ 6 (S1 + S1′ ) + (S2 + S2′ ). Отметим,что некоторые из квадратов (S1′ ) и (S2′ ) могут совпадать. Такимобразом, приходим к неравенствуS1 + S2 6 S 6 S + S ′ 6 (S1 + S1′ ) + (S2 + S2′ ).При беспредельном измельчении сетки Sk′ → 0, S1 → m(E1 ) и S2 →m(E2 ), откуда S ′ → 0 и S → m(E1 ) + m(E2 ), т. е. E — квадрируемоемножество иm(E) = m(E1 ) + m(E2 ).Доказанное свойство имеет место и для конечного числа слагаемых Ek , не имеющих попарно общих внутренних точек (с в о й с т в оа д д и т и в н о с т и м е р ы).390Гл. III.

Кратные и криволинейные интегралы. . .[95В дальнейшем мы часто будем иметь дело с открытыми множествами и областями. Пусть E — открытое квадрируемое множество и l — его граница (меры нуль). Разобьем E при помощиконечного числа линий ls (s = 1, 2, . . . , m), каждая из которыхесть замкнутое множество меры нуль. Сумма замкнутых множествls и множества l есть замкнутое множество меры нуль. Обозначим его буквою F . Вычитая из E сумму ls , получим открытоеквадрируемое множество E1 . Все точки его границы принадлежат F .Положим, что разбиение E производится прямыми, параллельными осями, и рассмотрим те частичные прямоугольники (иликвадраты), которые содержат точки E1 . Число таких прямоугольников конечно, и множество точек E1 внутри каждого из них естьнекоторое открытое квадрируемое множество, граничные точки которого могут лежать или на F или на границе соответствующего прямоугольника.

Мы получаем, таким образом, конечное число квадрируемых открытых множеств Hk (k = 1, 2, . . . , m), сумма мер которых равна мере E и диаметр Hk не больше диагонали соответствующего прямоугольника. В дальнейшем при разбиении квадрируемого открытого множества (или области) на частимы будем всегда подразумевать, что это производится линиями,имеющими меру нуль.

Если E — область, то при некоторых свойствах l мы и в каждом частичном прямоугольнике будем иметьобласть.Дадим теперь простой пример линии λ меры нуль, а именно положим, что λ имеет явное уравнение y = ϕ(x), где ϕ(x) — непрерывная функция на конечном промежутке a 6 x 6 b. В силуравномерной непрерывности ϕ(x), при заданном ε > 0 существуε, если |x′′ − x′ | 6 δ.ет такое δ > 0, что |ϕ(x′′ ) − ϕ(x′ )| < 3(b−a)ε. При поВыберем r так, чтобы оно было меньше δ и меньше 3(b−a)строении сетки квадратов промежуток (a, b) разобьется на части:a = x0 < x1 < x2 < .

. . < xn−1 < xn = b, причем для средних частейxk − xk−1 = r, а x1 − a 6 r и b − xn−1 6 r. Возьмем те квадратысетки, которые находятся в одной полосе между x = xk−1 и x = xk(k = 1, 2, . . . , n) (рис. 78). В силу xk − xk−1 6 δ, можем утверждать,ε. Квадчто колебание ϕ(x) в промежутке (xk−1 , xk ) меньше 3(b−a)рат, имеющий общую точку с самой нижней (верхней) точкой линии95]§ 9. Мера и теория интегрирования391y = ϕ(x) на промежутке (xk−1 , xk ) может идти вниз (наверх) самоебольшее на r.

Таким образом, сумма высот квадратов сетки, имеющих общие точки с линией λи содержащихся в упомянуε+той полосе, меньше 3(b−a)ε2r, или, в силу r < 3(b−a) , этаε, а сумсумма меньше (b−a)ма площадей этих квадратовε(xk − xk−1 ). Сумменьше b−aмируя по k от k = 1 до k = n,видим, что сумма площадейквадратов, имеющих с λ точки, меньше ε, откуда, ввиду произвольности ε, следует, что m(λ) = 0.

Совершенно так же можно показать,что линия x = ψ(y), где ψ(y)Рис. 78.непрерывна в некотором конечном замкнутом промежутке, имеет меру, равную нулю. Назовемпростой всякую кривую, которая может быть разбита на конечноечисло частей, каждая из которых имеет уравнение y = ϕ(x) илиx = ψ(y), где ϕ(x) и ψ(y) непрерывны в соответствующих конечных замкнутых промежутках. Из предыдущего следует, что простая кривая также имеет меру, равную нулю. Такая кривая можетбыть замкнутой кривой, которая не пересекает сама себя. При этомона является границей квадрируемой области.Можно показать, что если кривая l имеет параметрическоепредставление x = ϕ(t), y = ψ(t), где ϕ(t) и ψ(t), а также их производные непрерывны на некотором конечном промежутке t0 6 t 6t1 , кривая не пересекает сама себя, и производные ϕ′ (t) и ψ ′ (t) необращаются одновременно в нуль, если t принадлежит к указанному промежутку, то m(l) = 0.

Если ϕ(t1 ) = ϕ(t0 ) и ψ(t1 ) = ψ(t0 ),но кривая не пересекает сама себя при t0 < t < t1 , то l — замкнутая, сама себя не пересекающая кривая и, при указанных условияхгладкости, ее мера равна нулю.RbИнтеграл ϕ(x)dx, как нетрудно показать, дает площадь в укаa392Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[96занном выше смысле области, ограниченной кривой y = ϕ(x), осьюy = 0 и прямыми x = a и x = b, причем мы считаем, что ϕ(x)непрерывна при a 6 x 6 b и положительна.Отметим, что при определении внутренней и внешней мерыи квадрируемости мы могли бы пользоваться не сеткой равныхквадратов, а сеткой прямоугольников со сторонами, параллельными осям, и считать при этом площадь прямоугольника a 6x 6 b, c 6 y 6 d равной (b − a)(d − c), т.

е. произведению егосторон.96. Независимость от выбора осей. Определение внутренней и внешней меры, а также понятие квадрируемости тесно связано с выбором осей, поскольку мы производим измерение площадейс помощью сетки квадратов со сторонами, параллельными осям.Хорошо известны формулы для новых координат точки при параллельном переносе координатных осей и их повороте. Параллельныйперенос оставляет направление осей прежними и ничто не меняетсяпри определении площади. Иное будет при повороте осей. Граница любого квадрата есть простая линия, и, следовательно, любойквадрат квадрируем. Конечная сумма квадратов любой сетки также квадрируема [95].

Характеристики

Список файлов книги